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1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球


良乡中学数学组 任宝泉

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普通高中课程标准数学2(必修)

第一章 立体几何初步

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 (约2课时)
良乡中学数学组 制作:任宝泉

2013年7月14日

一、复习引入
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前面我们学习了几个常见的多面体,棱柱、棱 锥和棱台。明确了它们的定义及相关概念。

棱柱、棱锥和棱台的特征,三者之间有什么联系? 棱柱、棱锥和棱台的特征,三者有什么特征?
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一、复习引入
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5 1.棱柱的面至少有_____个.

2.棱柱的侧面是 平行四边 形,棱锥的侧面
是 三角 形,棱台的侧面是__ 梯 _形。

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二、提出问题
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请欣赏下面几幅图片

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二、提出问题
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问题1.下面的几何体与多面体不同,仔细观察这些 几何体,它们有什么共同特点或生成规律?

观看演示
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三、概念形成
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概念1.旋转体 圆柱、圆锥、圆台等几何体,都是由一个平面图

形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体,
这类几何体叫做旋转体,这条直线叫做旋转体的 轴。 旋转体形成演示

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三、概念形成
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概念2.圆柱、圆锥圆台的概念 将长方形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的 一边、一直角边、垂直于腰所在的直线旋转一周,

形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台,这条直
线叫做轴,垂直于轴的边旋转而成的面叫做底面, 不垂直于轴的边旋转而成的面叫做侧面,无论旋转 到什么位置,这条边都叫做母线。

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三、概念形成
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相关概念

A1 轴 母线 A
记作:圆柱OO′

O1
B1 侧面

O

底面
B

问题2.圆柱轴截面是什么平面图形?圆柱的侧面 展开图是什么平面图形?
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三、概念形成
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A1 轴

O1

B1

母线
A O

侧面 底面

B

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三、概念形成
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想 一 如何把圆柱变成圆锥? 想 ?
将圆柱的一个底面向中心收缩成一点

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请你仿照圆柱中关于轴、底面、侧面、母线的定义, 在图中指出圆锥的轴、底面和母线? S

A

O B

轴截面
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三、概念形成
普 如何从圆锥变成圆台? 通 高 中 课 程 标 准
O′
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想 一 想 ?

O Bqr6401@126.com

三、概念形成
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类比棱柱、棱锥、棱台的生成规律,想一想圆柱、 圆锥、圆台之间的关系? 圆柱的一个底面收缩为一个点时,可得到圆锥。 圆锥被一个平行于底面的平面截后,截面和底面 之间的部分就是圆台。 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图

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三、概念形成
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概念3.球的概念 半圆绕它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何 体叫做球,半圆弧旋转而成的曲面叫做球面。

球的形成过程

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三、概念形成
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相关概念 形成球的半圆的圆心叫做球心。球心O 连接球面上一点和球心的线段叫做球的半径。OA 连接球面上两点且过球心 的线段叫做球的直径。AB 球:记作球O 问题3.球的轴截面是 什么平面图形?
球心O

A

O

B

球的半径

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三、概念形成
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相关概念 问题5.类比圆的定义,想一想能否用集合的语言 来定义球? 在空间,到一定点的距离等于定长的点的集合叫 做球。

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相关概念 球面被经过球心的平面所截的圆叫做球大圆;被不 经过球心的平面截得的圆叫做球小圆。 地球的经度与纬度
球大圆

球小圆

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三、概念形成
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相关概念 用一个平面 ? 去截球O,不妨设平面 ? 不过球心, 则球小圆的圆心 O ' 与球心O的连线垂直于平面 ? 设球心到截面的距离为d,球的半径为R,截面圆的 半径为r。

则:d

? R ?r
2

2

O
d=0时,球的截面为球大圆, d=r时,球与平面相切。 Bqr6401@126.com

?

P

O'

三、概念形成
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相关概念 在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点 的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度。人们把这 个弧长叫做两点的球面距离。 B
A O

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三、概念形成
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概念4.组合体
我们观察周围的物体,除了柱、锥、台、球等基 本几何体外,还有大量的几何体是由柱、锥、台、 球等基本几何体组合而成的。这些几何体叫做组 合体。

对于组合体,我们可以把它们分解为一些基本几何体来研 究。 Bqr6401@126.com

四、应用举例
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例1.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,

截得圆台的上下底面半径的比是1:4,截去的圆
锥母线长为3cm,求圆台的母线长。
S S

O'

A'

O'

A'

O Bqr6401@126.com

A

O

A

四、应用举例
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例2.如图,将直角梯形ABCD绕AB所在的直线旋转一
周,由此生成的几何体是由哪些简单几何体构成?

D
A

C

D
A

C

B
圆柱体和圆锥体

B

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四、应用举例
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例3.填空:

(1)用一张4×8(cm2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧
面,接头忽略不计,则轴截面面积是 。

(2)圆台的两底半径分别为2cm和5cm,母线长为
。 3 10cm ,则它的轴截面面积是 (3)一个圆台的上下底面面积分别是1cm2和49cm2 一个平行底面的截面面积为25cm2,则这个截面与 上下底面的距离是 。 (4)边长5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面,则从 E点沿圆柱的侧面到相对G点的最短距离是 。
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四、应用举例
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例4.如果圆锥的侧面展开图是半圆,求这个圆锥的

顶角(轴截面中两条母线的夹角)

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四、应用举例
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例5.填空: (1)一个平面去截半径为25cm的球,截面面积是 225cm2,则球心到截面的距离是 。

(2)在北纬45°圈上有甲乙两地,它们的经度分
别是东经140°与西经130°,设地球的半径为R, 则甲、乙两地的球面距离是 。

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五、课堂练习
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1、判断下列几何体是否是圆柱、圆锥、圆台

×
(1)

×
(2)
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×
(3)

五、课堂练习
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2.指出图⑴,⑵中的几何体是由哪些简单几何体构 成的?


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五、课堂练习
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3.如果一个圆柱恰好有一个内切球,试作出它们的 一个轴截面(过轴的截面)图形。

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六、课堂总结
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学习的主要内容
1.圆柱、圆锥、圆台和球的简单概念。 2.圆柱、圆锥、圆台三者之间的联系。 3.圆柱、圆锥、圆台是由什么旋转得到的。

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七、布置作业
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课本第16页,练习A, 弹性作业:

课本:第16页,练习B,1,2,3
优化设计,同步测控,第 页,我夯基,我达标

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下课
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