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必修4第三章三角恒等变形 (专题复习用)


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必修(4)第三章
考情分析

三角恒等变换
考点新知 能从两角和公式推导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式,体会化归思想的应用.

第 2 课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式 掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切),能运用 它们进行简单的三角函数式的化简、求值及 恒等式证明.

π π 4 24 1. 已知 sinα =- ,α ∈?- , ?,则 sin2α =__________.答案:- 5 25 2 2 ? ? 解析:∵ ∴ π π π 4 3 sinα=- ,α∈?- , ?,∴ α∈?- ,0?,cosα= . 5 5 ? 2 2? ? 2 ?

24 sin2α=2sinαcosα=- . 25 3 5 ,则 cos2α =________.答案:- 3 3 2 2sinαcosα=- , 3

2. 已知 α 为第二象限角,sinα +cosα = 解析:∵ sinα+cosα= 3 ,∴ 3

1 (sinα+cosα)2= ,∴ 3

2 3 即 sin2α=- .∵ α为第二象限角且 sinα+cosα= >0, 3 3 ∴ π 3 2kπ+ <α<2kπ+ π(k∈Z),∴ 2 4 3 4kπ+π<2α<4kπ+ π(k∈Z),∴ 2 5 . 3 2α为第

三象限角,∴

cos2α=- 1-sin22α=-

π 3 7 3. 若 sin( +θ)= ,则 cos2θ =________.答案:- 2 5 25 π 3 3 7 解析:∵ sin? +θ?= ,∴ cosθ= ,∴ cos2θ=2cos2θ-1=- . 5 25 ?2 ? 5 4.函数 f(x)=sinxcosx 的最小正周期是________.答案:π 1 解析:∵ f(x)=sinxcosx= sin2x,∴ 2 5. 若 T= 2π =π. 2

5π 7π α ≤α ≤ ,则 1+sinα + 1-sinα =________.答案:-2sin 2 2 2 5π 7π 5π α 7π ≤α≤ , ∴ ≤ ≤ .∴ 2 2 4 2 4 1+sinα+ 1-sinα=
2

解析: ∵

α α 1+2sin cos + 2 2

α α 1-2sin cos = 2 2

?sinα+cosα? + 2? ? 2

2

?sinα-cosα? = - ?sinα+cosα? - 2? 2? ? 2 ? 2

?sinα-cosα?=-2sinα. 2 2? ? 2

1. 二倍角公式

1 坚持还是放下?相信你会选择坚持!学习快乐。 。 。

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sin2α =2sinαcosα; cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ; tan2α = 2. 降幂公式 sin2α = 1-cos2α 1+cos2α sin2α ; cos2α = ; sinα cosα = . 2 2 2

2tanα . 1-tan2α

经典例题及变式讲解——师生互动完成 题型 1 化简求值 例 1 计算:(tan10°- 3)· sin40°. 2(sin10°cos60°-cos10°sin60°)sin40° ?sin10°- 3cos10°? 解:原式=? ?·sin40°= cos10° cos10 ° ? ? -2sin50°sin40° -2sin40°cos40° -sin80° = = = =-1. cos10° cos10° cos10° 变式训练 计算:sin50°(1+ 3tan10°). 解:原式=sin50°?1+ =2sin50°· =2sin50°·

? ?

cos10°+ 3sin10° 3sin10°? =sin50°· ? cos10° cos10° ?

sin30°cos10°+cos30°sin10° cos10°

sin40° 2cos40°sin40° sin80° = = =1. cos10° cos10° cos10° 题型 2 给值求值 π 1 例 2 已知 α∈?0, ?,tanα = ,求: 2 2? ? π (1) tan2α 的值; (2) sin?2α+ ?的值. 3? ? 2tanα 1 4 解:(1) 因为 tanα= ,所以 tan2α= = . 2 1-tan2α 3 π 4 3 (2) 因为 α∈?0, ?,所以 2α∈(0,π).又 tan2α>0,所以 sin2α= ,cos2α= . 5 5 2? ? 所以 sin?2α+

?

π π 4 1 3 π? 3 4+3 3 =sin2αcos +cos2αsin = ? + ? = . 3 3 5 2 5 2 10 3?

变式训练 已知 α+β= 3π 1 ,则 cos2α +cos2β + 2cosα cosβ =________.答案: 4 2

1+cos2α 1+cos2β 1 解析:原式= + + 2cosαcosβ=1+ (cos2α+cos2β)+ 2cosαcosβ 2 2 2 =1+cos(α+β)cos(α-β)+ =1- 2 [cos(α+β)+cos(α-β)] 2

2 2 ? 2 1 2? cos(α-β)+ ? - + cos(α-β)= . 2 2 ? 2? 2 2 题型 3 给值求角 1 1 例 3 已知 α、β∈(0,π ),且 tan(α-β)= ,tanβ =- ,求 2α-β 的值. 2 7

2 坚持还是放下?相信你会选择坚持!学习快乐。 。 。

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1 1 - 2 7 tan(α-β)+tanβ 1 解:∵ tanα=tan[(α-β)+β]= = = >0,∴ 1 1 3 1-tan(α-β)tanβ 1+ ? 2 7 2tanα tan2α= = 1-tan2α 1 2? 3 π 3 0<2α< , 2= >0,∴ 4 2 1 ? 1-? ?3? 1 tanβ=- <0, 7

π 0<α< . 2





3 1 + 4 7 tan2α-tanβ tan(2α-β)= = =1. ∵ 3 1 1+tan2αtanβ 1- ? 4 7 π <β<π,-π<2α-β<0,∴ 2 2α-β=- 3π . 4



变式训练 θ θ θ 已知 θ 是第三象限角,|cosθ |=m,且 sin +cos >0,求 cos . 2 2 2 θ 解:∵θ 为第三象限角,|cosθ|=m,∴ 为第二或四象限角,cosθ=-m. 2 θ θ θ θ ∵sin +cos >0,∴ 为第二象限角,∴cos =- 2 2 2 2 题型 4 二倍角公式的应用 例 4 1+cosθ =- 2 1- m . 2

π .已知函数 f(x)=4sinxcos(x+ )+ 3. (1) 求 f(x)的最小正周期; (2) 求 f(x)在区间 3

?-π ,π ?上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. ? 4 6?
π π 解:(1) f(x)=4sinx(cosxcos -sinxsin )+ 3=2sinxcosx-2 3sin2x+ 3 3 3 2π π =sin2x+ 3cos2x=2sin?2x+ ?. 所以 T= =π. 2 3? ? π π π π 2π π 1 (2) 因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ ,所以- ≤sin?2x+ ?≤1, 4 6 6 3 3 2 3? ? 所以-1≤f(x)≤2, 当 2x+ π π π π π π =- ,即 x=- 时,f(x)min=-1,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)max=2. 3 6 4 3 2 12

变式训练 已知函数 f(x)=-2sin2x+2 3sinxcosx+1. π π (1) 求 f(x)的最小正周期及对称中心; (2) 若 x∈?- , ?,求 f(x)的最大值和最小值. ? 6 3? [审题视点] 逆用二倍角公式,化为正弦型函数再求解. 解: (1) f(x)= 3sin2x+ cos2x = 2sin?2x+ 2π π? ,所以 f(x)的最小正周期为 T= =π .令 2 6?

?

sin?2x+

?

kπ π π? kπ π ? =0,则 x= - (k∈Z),所以 f(x)的对称中心为? 2 12 6? ? 2 -12,0?(k∈Z).
3

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π π 5π π π π 1 (2) 因为 x∈ ?- , ? ,所以- ≤ 2x + ≤ . 所以- ≤ sin ?2x+ ? ≤ 1 ,所以- 6 6 6 2 6? ? 6 3? ? π π 1≤f(x)≤2.所以当 x=- 时,f(x)的最小值为-1;当 x= 时,f(x)的最大值为 2. 6 6 定时训练 π 1. (2013· 四川)设 sin2α =-sinα ,α ∈? ,π ?,则 tan2α =________.答案: 3 ?2 ? π 解析:由 sin2α=-sinα,得 2sinαcosα=-sinα.又 α∈? ,π?,故 sinα≠0, ?2 ? 1 3 于是 cosα=- ,进而 sinα= ,于是 tanα=- 3, 2 2 ∴ tan2α= 2tanα 2?(- 3) = = 3. 1-tan2α 1-3 24 7

2. 已知向量 a=(sinθ ,cosθ ),b=(3,-4),若 a∥b,则 tan2θ =______ 答案:- 解析:∵ a∥b,∴ -4sinθ-3cosθ=0,



3? 2?? 2tanθ ?-4? 3 24 tanθ=- ,从而 tan2θ= = . 2=- 4 7 1-tan2θ 3 - ? 1-? ? 4?

π π 4 17 2 3. 设 α 为锐角,若 cos?α+ ?= ,则 sin(2α+ )=__________.答案: 12 50 6? 5 ? 解析:设 α+ π 4 3 24 =θ,cosθ= ,sinθ= ,sin2θ=2sinθcosθ= , 6 5 5 25

π π 17 2 π π 7 cos2θ=2cos2θ-1= , sin?2α+ ?=sin?2θ- ?=sin2θ· cos -cos2θ· sin = . 25 4 4 50 12? 4? ? ? π 2 1 4. (2013· 贵州)已知 sin2α = ,则 cos2?α+ ?=________.答案: 3 6 4? ? π 1 π 2 1 1 解析:因为 sin2α= ,所以 cos2?α+ ?= ??1+cos2?α+ ??= (1-sin2α)= . 3 6 4? 2 ? 4 ?? 2 ? ? 1 π 3π 7 5. 已知 sinθ+cosθ= ,且 ≤θ ≤ ,则 cos2θ=________.答案:- 5 2 4 25 1 12 49 解析: 将 sinθ+cosθ= 两边平方, 得 sinθcosθ=- , 所以(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ= , 5 25 25 7 π 3π 7 则 sinθ-cosθ=± .又 ≤θ≤ ,所以 cosθ<0,sinθ>0,所以 sinθ-cosθ= , 5 2 4 5 7 故 cos2θ=cos2θ-sin2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=- . 25 π 7 ? 1 ?2π ? 6. 已知 sin? ?6+α?=3,则 cos? 3 -2α?=________.答案:-9 π 2?π ? 1 ?π ? ? 7 ?π ? 7 解析:由 sin? ?6+α?=3,得 cos2?6+α?=1-2sin ?6+α?=9,即 cos?3 +2α?=9, 2π π 7 -2α?=cos?π-? +2α??=- . 所以 cos? ?3 ? ? ?3 ?? 9
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sin2x+2sin2x π ? 3 17 7 +x = , π <x< π ,求 7. 若 cos? 的值. ?4 ? 5 12 4 1-tanx 解:由 π ? 3 π 17 7 5 π 4 +x = ,sin? +x?=- . π<x< π,得 π<x+ <2π. 又 cos? ?4 ? 5 ?4 ? 12 4 3 4 5

π ? π? π π π π 2 7 2 +x - =cos? +x?cos +sin? +x?sin =- ,从而 sinx=- cosx=cos?? , 4 ? 4? ?4 ? 4 ?4 ? 4 ?? 10 10

? 7 2?· ?- 2?+2?-7 2? 2 - 2sinxcosx+2sin x ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? 28 tanx=7.故原式= = =- . 75 1-tanx 1-7
2

2

8. 已知函数 f(x)=sin2ω x+ 3sinω xsin?ωx+

?

π π? (ω>0)的最小正周期为 . 2 2?

π (1) 写出函数 f(x)的单调递增区间; (2) 求函数 f(x)在区间?0, ?上的取值范围. 3? ? 解:(1) f(x)= 1-cos2ωx π 1 3 3 1 1 + sin2ωx= sin2ωx- cos2ωx+ =sin?2ωx- ?+ .因为 2 2 2 2 2 6? 2 ?

π 2π π π 1 T= ,所以 = (ω>0),所以 ω=2,f(x)=sin?4x- ?+ .于是由 2 6? 2 ? 2ω 2 2kπ- π π π kπ π kπ π ≤4x- ≤2kπ+ ,解得 - ≤x≤ + (k∈Z). 2 6 2 2 12 2 6

kπ π kπ π? 所以 f(x)的增区间为? ? 2 -12, 2 + 6 ?(k∈Z). π π π 7π π 1 - ,1?, (2) 因为 x∈?0, ?,所以 4x- ∈?- , ?,所以 sin?4x- ?∈? ? 6 ? 6 3? 6 ? 6? ? 2 ? ? 3 0, ? 所以 f(x)∈? ? 2? π 3 0, ?. 故 f(x)在区间?0, ?上的取值范围是? ? 2? 3? ?

1. 已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路为: (1) 先化简所求式子; (2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手); (3) 将已知条件代入所求式子,化简求值. 2. 应用倍角公式,一是要选择合适的公式,二是要注意正用和逆用. 3. 降幂公式是解决含有 cos2x、sin2x 式子的问题较常用的变形之一,它体现了逆用二倍角 公式的解题技巧.

第 3 课时 考情分析

简单的三角恒等变换 考点新知 能运用三角函数各种公式进行恒等变换 以及解决综合性问题.

灵活掌握公式间的关系,能运用它们进行三 角函数式的化简、求值及恒等式证明.

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2.

函数 y= 3cos4x+sin4x 的最小正周期为________.答案:

π 2

解析: y= 3cos4x+sin4x=2( 2.

π π π 3 1 cos4x+ sin4x)=2?cos cos4x+sin sin4x?=2cos?4x- ?, 2 2 6 6? ? 6 ? ?

4 5 16 在△ABC 中,若 cosA= ,cosB= ,则 cosC=________.答案: 5 13 65

4 5 π 解析:在△ABC 中,0<A<π,0<B<π,cosA= >0,cosB= >0,得 0<A< , 5 13 2 π 3 12 0<B< ,从而 sinA= ,sinB= ,所以 cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B) 2 5 13 3 12 4 5 16 =sinA· sinB-cosA· cosB= ? - ? = . 5 13 5 13 65 2. 4 θ θ 10 已知 cosθ = , 且 270°<θ<360°, 则 sin =___ ,cos =___ . 答案: 5 2 2 10 θ 270°<θ<360°,∴ 135°< <180°.∴ 2 1+cosθ =- 2 4 1+ 5 3 10 =- . 2 10 θ sin = 2 1-cosθ = 2 - 3 10 10

解析:∵

4 1- 5 2



10 θ ;cos =- 10 2

3 7 4. 已知 sinα = ,α 是第二象限角,且 tan(α+β)=1,则 tan2β =________.答案:- 5 24 3 3 解析:由 sinα = 且 α 是第二象限角,得 tanα =- ,∵ 5 4 ∴ tan(α+β)-tanα tanβ =tan[(α+β)-α]= =7.∴ 1+tan(α+β)tanα (α+β)-α=β, 2tanβ 7 tan2β = =- . 24 1-tan2β

5. 已知 sin2α =

π 5 2 5 ,且 α∈?0, ?,则 sin4α -cos4α =________.答案:- 5 5 4? ?

2 5 解析:sin4α -cos4α =sin2α -cos2α =-cos2α =- 1-sin22α =- . 5

三角函数的最值问题 (2) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y=asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ),其中 cosφ = a b ,sinφ = . a2+b2 a2+b2

② y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x 可先降次,整理转化为上一种形式. acosx+b? asinx+b? ③ y= ?或y=ccosx+d?可转化为只有分母含 sinx 或 cosx 的函数式或 csinx+d? ? sinx=f(y)(cosx=f(y))的形式,由正、余弦函数的有界性求解. (2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y=asin2x+bcosx+c 可转化为 cosx 的二次函数式.
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c c ② y=asinx+ (a、b、c>0),令 sinx=t,则转化为求 y=at+ (-1≤t≤1)的最值, bsinx bt 一般可用基本不等式或单调性求解. 经典例题及变式讲解——师生互动完成 题型 1 三角形中的恒等变换 例2 C C 已知△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2sin2 +cos = 2,求 2 2 角 C 的大小. C? C C C C C? ? 解:由 2sin2 +cos = 2,得 2? ?1-cos2 2 ?+cos 2 = 2,整理得 cos 2 ? 2cos 2 -1?=0. 2 2 C C π C 2 舍去cos =0?, 因为在△ABC 中,0<C<π ,所以 0< < .所以 cos = ? 2 ? 2 2 2 2? π C π 从而 = ,即 C= . 2 4 2 变式训练 在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= 3b .求角 A 的大小. π 解:由已知,得 2sinAsinB= 3sinB,且 B∈?0, ?, 2? ? ∴ sinB≠0,∴ sinA= π π 3 ,且 A∈?0, ?,∴ A= . 2 3 2? ?

题型 2 角的构造技巧与公式的灵活运用 例 2 求 sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值. 解:(解法 1)因为 40°=30°+10°, 于是原式=sin210°+cos2(30°+10°)+sin10°cos(30°+10°) 2 ? 3cos10°-1sin10°? +sin10°?( 3cos10°-1sin10°) =sin210°+ 2 2 2 ?2 ? 3 3 = (sin210°+cos210°)= . 4 4 ( 解法 2) 设 x = sin210 °+ cos240 °+ sin10 ° cos40 °, y = cos210 °+ sin240 °+ cos10 ° sin40°.则 x+y=1+1+sin10°cos40°+cos10°sin40°=2+sin50°=2+cos40°, 1 1 1 3 3 x-y=cos80°-cos20°- =-sin50°- =-cos40°- .因此 2x= ,故 x= . 2 2 2 2 4 变式训练 求 sin220°+cos280°+ 3sin20°cos80°的值. 1 1 解:sin220°+cos280°+ 3sin20°cos80°= (1-cos40°)+ (1+cos160°) 2 2 1 1 + 3sin20°cos(60°+20°)=1- cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°) 2 2 + 3sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°) 1 1 3 3 3 =1- cos40°- cos40°- sin40°+ sin40°- sin220° 2 4 4 4 2 3 3 1 =1- cos40°- (1-cos40°)= . 4 4 4 题型 3 三角函数的综合问题
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π π 例 3 函数 f(x)=sin? +x?sin? -x?+ 3sinxcosx(x∈R). ?4 ? ?4 ? π A? (2) 求 f? ?的值; (2) 在△ABC 中,若 f? ? 2 ?=1,求 sinB+sinC 的最大值. ?6? π π π 1 3 解:(1) f(x)=sin? +x?sin? -x?+ 3sinxcosx= cos2x+ sin2x=sin?2x+ ?, 2 2 6? ?4 ? ?4 ? ? π 所以 f? ?=1. ?6? π π π A? π? ? (2) 因为 f? ? 2 ?=1,所以 sin?A+ 6 ?=1.因为 0<A<π ,所以 A+ 6 = 2 ,即 A= 3 . 2π π 3 3 sinB+sinC=sinB+sin? -B?= sinB+ cosB= 3sin?B+ ?. 2 6? ? 3 ? 2 ? 2π π π 5π π 1 因为 0<B< ,所以 <B+ < ,所以 <sin?B+ ?≤1, 3 6 6 6 2 6? ? 所以 sinB+sinC 的最大值为 3. 变式训练 已知 a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx),设 f(x)=a· b. π (1) 求函数 f(x)的最小正周期; (2) 当 x∈?0, ?时,求函数 f(x)的最大值和最小值. 2? ? 解:(1) f(x)=a· b=(cosx+sinx)· (cosx-sinx)+sinx· 2cosx=cos2x-sin2x+2sinxcosx =cos2x+sin2x= 2

? 2cos2x+ 2sin2x?= 2sin?2x+π?. 4? ? 2 ?2 ?

∴f(x)的最小正周期 T=π. π π π 5π π π π (2) ∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ ,∴当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)有最大值 2; 2 4 4 4 4 2 8 π 5π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)有最小值-1. 4 4 2 定时训练 4 17 2 1. 已知 θ 为锐角,sin(θ +15°)= ,则 cos(2θ-15°)=________.答案: 5 50 4 ? 2 3? 解析:因为 θ 为锐角,且 sin(θ+15°)= ∈ ,所以 θ+15°∈(45°,60°), 5 ?2,2? 4?2 7 2θ+30°∈(90°,120°),所以 cos(2θ+30°)=1-2sin2(θ+15°)=1-2?? ?5? =-25, 从而 sin(2θ+30°)= 1-cos2(2θ+30°)= 24 , 25

所以 cos(2θ-15°)=cos[(2θ+30°)-45°]=cos(2θ+30°)cos45°+sin(2θ+30°)sin45° 7 2 24 2 17 2 =- ? + ? = . 25 2 25 2 50 π π 2. 函数 f(x)=cos?x+ ??cos(x+ )的最小正周期为________.答案:π 6 2? ? 解析:∵ f(x)=-sinx·( π 3 1 1 1 cosx- sinx)= - sin?2x+ ?,∴ 2 2 4 2 ? 6? T=π.

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3. 计算:

sin47°-sin17° cos30° 1 =________.答案: cos17° 2

sin47°-sin17° cos30° sin(30° +17° )-sin17° cos30° 解析: = cos17° cos17° sin30° cos17° +cos30° sin17° -sin17° cos30° sin30° cos17° 1 = = =sin30° = . cos17° cos17° 2 4. 设 α、β∈(0,π ),且 sin(α+β)= 5 α 1 16 ,tan = ,则 cosβ =________.答案:- 13 2 2 65 π π α∈? , ?. ?4 2?

解析: ∵

α 1 tan = , ∴ 2 2

α 1 2tan 2? 2 2 4 tanα= = 而 α∈(0, π), ∴ 2= , α 1 ? 3 1-? 1-tan2 ?2? 2

由 tanα=

sinα 4 4 3 5 2 = 及 sin2α+cos2α=1 得 sinα= ,cosα= ;又 sin(α+β)= < , 5 5 13 2 cosα 3

3π 12 ∴ α+β∈( ,π),cos(α+β)=- . 4 13 ∴ 12 3 5 4 16 cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=- ? + ? =- . 13 5 13 5 65

x x x 1 5. 已知函数 f(x)=sin cos +cos2 - . 2 2 2 2 (1) 若 f(α)= π 2 ? , α ∈(0, π ), 求 α 的值; (2) 求函数 f(x)在? ?-4,π ?上最大值和最小值. 4

1+cosx 1 1 π? π? 1 2 2 解: (1) f(x)= sinx+ - = (sinx+cosx)= sin? f(α)= sin? ?x+4 ?.由题意知: ?α+4? 2 2 2 2 2 2 = π 1 2 π π 5π π 5π 7π α+ ?= .∵α∈(0,π),即 α+ ∈? , ?,∴α+ = ,即 α= . ,即 sin? ? 4? 2 4 4 ?4 4 6 12 4 ?

π? π π 5π 2 1 (2) ∵ - ≤α≤π, 即 0≤α+ ≤ ,∴f(x)max=f? ?4?= 2 ,f(x)min=f(π)=-2. 4 4 4 6. 已知 ω>0,a=(2sinωx+cosωx,2sinω x-cosωx),b=(sinωx,cosω x).f(x)=a· b.f(x) π 图象上相邻的两个对称轴的距离是 . 2 π (1) 求 ω 的值; (2) 求函数 f(x)在区间?0, ?上的最大值和最小值. 2? ? 解:f(x)=a· b=(2sinωx+cosωx)sinωx+(2sinωx-cosωx)cosωx 3 1 =2sin2ωx+3sinωxcosωx-cos2ωx=1-cos2ωx+ sin2ωx- (1+cos2ωx) 2 2 π 1 3 1 3 2 ? = (sin2ωx-cos2ωx)+ = sin?2ωx-4 ? ?+2. 2 2 2 π (1) 因为函数 f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是 ,所以函数 f(x)的最小正周期 2 T=π,则 ω=1. (2) ω=1,f(x)= π 1 3 2 ? π ? π 3π? ? π? sin?2x-4? ?+2.∴ x∈?0, 2 ?,∴ 2x-4∈?-4, 4 ?, 2

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π π 则当 2x- =- ,即 x=0 时,f(x)取得最小值-1; 4 4 3 2+ 1 π π 3π 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 . 4 2 8 2 2π 7. 设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ω x(ω>0)的最小正周期为 . 3 π (1) 求 ω 的值; (2) 若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到, 2 求 y=g(x)的单调增区间. 解:(1) f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+cos2ωx π? =sin2ωx+cos2ωx+2= 2sin? ?2ωx+4?+2, 2π 2π 3 依题意得 = ,故 ω 的值为 . 2ω 3 2 π π 5π x- ?+ ? +2= 2sin?3x- ?+2, 3? (2) 依题意得 g(x)= 2sin? 2 ? ? 4? ? 4? ? π 5π π 2 π 2 7π 由 2kπ- ≤3x- ≤2kπ+ (k∈Z),得 kπ+ ≤x≤ kπ+ (k∈Z), 2 4 2 3 4 3 12 2 π 2 7π? 故 y=g(x)的单调增区间为? ?3kπ+ 4,3kπ+12 ?(k∈Z). 8. 设函数 f(x)= 3sinxcosx+cos2x+a. (1) 写出函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; 3 π π (2) 当 x∈?- , ?时,函数 f(x)的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 2 ? 6 3? 解:(1) f(x)= 1+cos2x π 3 1 2x+ ?+a+ ,∴ T=π. sin2x+ +a=sin? 6? ? 2 2 2

π π 3π π 2π 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,得 +kx≤x≤ +kπ. 2 6 2 6 3 2π π ? 故函数 f(x)的单调递减区间是? +kπ, +kπ (k∈Z). 3 ?6 ? π? π π π π 5π 1 ? π π? (2) ∵ - ≤x≤ ,∴ - ≤2x+ ≤ .∴ - ≤sin? ?2x+6?≤1.当 x∈?-6, 3 ?时,原函 6 3 6 6 6 2 1 1 1 3 1+a+ ?+?- +a+ ?= ,∴ a=0. 数的最大值与最小值的和为? 2? ? 2 2? 2 ?

1. (1) 三角函数式的化简原则一是统一角, 二是统一函数名. 能求值的求值, 必要时切化弦, 更易通分、约分. (2) 三角函数化简的方法主要是弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂. 2. 三角恒等式的证明主要从两方面入手: (1) 看角:分析角的差异,消除差异,向结果中的角转化. (2) 看函数:统一函数,向结果中的函数转化.

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第 4 课时 考情分析

三角函数的综合应用 考点新知 2. B 级考点:① 同角三角函数的基本关系式 ② 二倍角公式 ③ 三角函数的图象和性质

理解和掌握同角三角函数的基本关系 式、三角函数的图象和性质、两角和与差的 正弦余弦与正切公式、二倍角公式,并能运 用它们解决有关三角函数的综合问题.

π 1 将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π )个单位后,得到函数 y=sin?x- ?的图象, 6? ? 11 则 φ=________.答案: π 6 11 解析:将函数 y=sinx 向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位得到函数 y=sin(x+φ).只有 φ= π 6 11 ? ? π? 时有 y=sin? ?x+ 6 π?=sin?x- 6 ?. 2. tan π 1 - =________.答案:-2 3 12 π tan 12 sin

π π π π π -?cos2 -sin2 ? -cos cos 12 12 12? 6 ? 12 解析:原式= - = = =-2 3. π π π π π 1 cos sin sin cos sin 12 12 12 12 2 6 π 1 3. 已知函数 f(x)= 3sinxcosx-cos2x+ (x∈R), 则 f(x)在区间?0, ?上的值域是________. 2 4? ? 解析:f(x)= π π π π π 3 1 sin2x- cos2x=sin?2x- ?.当 x∈?0, ?时,2x- ∈?- , ?, 2 2 6 ? 6 3? 6? 4? ? ?

3? ? 1 故值域为 - , ? 2 2 ?.

1. 同角三角函数的基本关系式:sin2α +cos2α =1,tanα =

sinα . cosα

2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式:sin(α±β)=sinα cosβ ±cosα sinβ , cos(α±β)=cosα cosβ sinα sinβ ,tan(α±β)= tanα ±tanβ . 1 tanα tanβ

3. 二倍角公式:sin2α =2sinα cosα ,cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α , tan2α = 2tanα . 1-tan2α

4. 三角函数的图象和性质 经典例题讲解及变式训练 题型 1 三角恒等变换

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例 1 已知 sin?A+

?

π? 7 2 π π = ,A∈? , ?. 4 ? 10 ?4 2?

5 (1) 求 cosA 的值; (2) 求函数 f(x)=cos2x+ sinAsinx 的值域. 2 π π π π 3π π 7 2 π 2 解:(1) 因为 <A< ,且 sin?A+ ?= ,所以 <A+ < ,cos?A+ ?=- . 4 2 2 4 4 10 4 ? 10 4? ? ? π π π π π π? ? 所以 cosA=cos ?A+ ?- =cos?A+ ?cos +sin?A+ ?sin 4 4 4 4 4 4 ? ? ? ? ? ?? ? =- 2 2 7 2 2 3 · + · = . 10 2 10 2 5

4 5 (2) 由(1)可得 sinA= . 所以 f(x)=cos2x+ sinAsinx 5 2 1 2 3 1 sinx- ? + ,x∈R.因为 sinx∈[-1,1],所以,当 sinx= 时, =1-2sin2x+2sinx=-2? 2? 2 ? 2 3 3 -3, ?. f(x)取最大值 ;当 sinx=-1 时,f(x)取最小值-3.所以函数 f(x)的值域为? 2? ? 2 是训练 1 2 2 (2013· 上海卷)若 cosxcosy+sinxsiny= ,sin2x+sin2y= ,则 sin(x+y)=________答案: 2 3 3 1 解析:由题意得 cos(x-y)= ,sin2x+sin2y=sin[(x+y)+(x-y)]+sin[(x+y)-(x-y)] 2 =2sin(x+y)cos(x-y)= 2 3 2 sin(x+y)= . 3

题型 2 三角函数的图象与性质 例 2 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ ≤π )为偶函数,且其图象上相邻两对称轴之 间的距离为π . 2 (1) 求函数 f(x)的表达式; (2) 若 sinα +f(α)= ,求 3 2sin?2α - π? +1 4? ? 的值. 1+tanα

解: (1) ∵ f(x)为偶函数, ∴ sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ), 即 2sinωxcosφ=0 恒成立, ∴ cos π φ=0,又∵ 0≤φ≤π,∴ φ= . 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π,∴ T=2π, 2 ∴ ω=1,∴f(x)=cosx. sin2α-cos2α+1 2 (2) ∵ 原式= =2sinαcosα,又∵ sinα+cosα= ,∴ 1+2sinαcosα 3 1+tanα 4 5 5 = , 即 2sinαcosα=- ,故原式=- . 9 9 9 在已知值求角中,应合理选择三角函数形式进行求解,避免增根. 【示例】 (本题模拟高考评分标准,满分 14 分) 若 sinα = 5 10 ,sinβ = ,且 α、β 均为锐角,求 α+β 的值. 5 10

学生错解:

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解: ∵ α 为锐角, ∴ cosα = 1-sin2α = ∵ sin(α+β)=sinα cosβ +cosα sinβ =

2 5 3 10 .又 β 为锐角, ∴ cosβ = 1-sin2β = . 5 10

2 ,由于 0°<α <90°,0°<β <90°, 2

∴ 0°<α +β<180°,故 α+β=45°或 135°. 审题引导: 在已知值求角中,角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现 增根不能排除.要避免上述情况的发生,应合理选择三角函数形式进行求解,根据计算结 果,估算出角的较精确的取值范围,并不断缩小角的范围,在选择三角函数公式时,一般 已知正切函数值,选正切函数,已知正余弦函数值时,若角在(0,π)时,一般选余弦函数, 若是?-

?

π π? , ,则一般选正弦函数. 2 2? 2 5 .(2 分)又 β 为锐角, 5

规范解答: 解: ∵ α 为锐角,∴ cosα = 1-sin2α =

3 10 2 ∴ cosβ = 1-sin2β = .(4 分)且 cos(α+β)=cosα cosβ -sinα sinβ = ,(10 分) 10 2 π π 由于 0<α< ,0<β < ,所以 0<α+β<π , 2 2 π 因为 y=cosx 在[0,π ]上是单调递减函数,故 α+β= .(14 分) 4 错因分析: 没有注意挖掘题目中的隐含条件,忽视了对角的范围的限制,造成出错. 事实上,仅由 sin(α+β)= 题设中 sinα= 2 ,0°<α+β<180°而得到 α+β=45°或 135°是正确的,但 2

5 1 10 1 < , sinβ= < , 使得 0°<α<30°, 0°<β<30°从而 0°<α+β<60°, 5 2 10 2

故上述结论是错误的.在已知值求角中,应合理选择三角函数形式进行求解,避免增根.本 题中 0<α+β<π, 因为 y=cosx 在[0,π]上是单调函数, 所以本题先求 cos(α+β)不易出错. 定时训练 π x π (x-1) 1. 函数 f(x)=cos cos 的最小正周期为________.答案:2 2 2 πx π(x-1) πx πx 1 2π 解析:f(x)=cos cos =cos ·sin = sinπx,最小正周期为 T= =2. 2 2 2 2 2 π π π 1 ? 2. 已知函数 f(x)=sin?x+ ?,其中 x∈?- ,a?,若 f(x)的值域是? ?-2,1?,则 a 的取值 6? ? ? 3 ? π 范围是________.答案:? ,π? ?3 ? 解析:若- π π π π π π π 7π ≤x≤ a,则- ≤ x+ ≤a+ ,因为当 x+ =- 或 x+ = 时, 3 6 6 6 6 6 6 6

π π 7π π π 1 1 ? sin?x+ ?= ,所以要使 f(x)的值域是? ?-2,1?,则有 2 ≤a+ 6 ≤ 6 ,即 3 ≤a≤π, 6? 2 ? π 即 a 的取值范围是? ,π?. ?3 ? 3. (2013· 新课标Ⅰ卷)设当 x=θ 时, 函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值, 则 cosθ =________. 2 5 答案:- 5
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解析:∵ f(x)=sinx-2cosx= 5 令 cosφ=

? 5sinx-2 5cosx?. 5 ?5 ?

5 2 5 ,sinφ=- ,则 f(x)= 5(sinxcosφ+sinφcosx)= 5sin(x+φ), 5 5 π π ,k∈Z,即 x=2kπ+ -φ, 2 2 π -φ,k∈Z, 2

当 x+φ=2kπ+

k∈Z 时,f(x)取最大值,此时θ=2kπ+ ∴ cosθ=cos?2kπ+

?

π 2 5 -φ?=sinφ=- 5 . 2 ?

1. 三角变换的基本策略是化异为同,即将函数名称、角、次数等化异为同. 2. 对于函数 y=Asin(ωx+φ)+B,常用“五点法”画图象,运用整体思想研究性质. 3. 求三角函数的单调区间、周期,及判断函数的奇偶性,要注意化归思想的运用,通过恒 等变换转化为基本三角函数类型,注意变形前后的等价性. 4. 解三角函数的综合题时应注意: (1) 与已知基本函数对应求解,即将 ωx+φ 视为一个整体 X; (2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数,如 y=Asin(ωx+φ)+B 或 y=asin2x+ bsinx+c; (3) 换元方法在解题中的运用.

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