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河北省唐山一中高考数学仿真试题四 理_图文

2012 届高考模拟试题(理科试卷 4)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. (1)已知集合 A = {x x > 1} , B = {x x < m} ,且 A A - 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

B = R ,那么 m 的值可以是

2+4i (2)在复平面内,复数 2对应的点位于 (1+i) A 第一象限 B. 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

? y ? ? x ? 2, ? (3)已知不等式组 ? y ? kx ? 1, 所表示的平面区域为面积等于 1 的三角形,则实数 k 的值为 ?x ? 0 ?
1 1 C. 2 2

A.-1 B. ?

D.1

(4)“m< 0”是“函数 f( x)= m+log2x(x≥1)存在零点”的

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

(5)已知向量 a,b,c 满足 | a |?| b |? a ? b ? 2 , (a ? c) ? (b ? 2c) ? 0 ,则 | b ? c | 的最小值为

A.

3 ?1 2

B.

7? 3 2

C.

3 7 D. 2 2

(6)某几何体的正视图如图所示,则该几何体的俯视图不可能的是

(7) 已知 F1,F2 是椭圆

? x2 y 2 右焦点, 点 P 在椭圆上, 且 ?F1 PF2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 2 2 a b

记线段 PF 与轴的交点为 Q,O 为坐标原点,若△F1OQ 与四边形 OF2PQ 的面积之比为 1: 2,则 该椭圆的离心率等于

A. 2 ? 3

B. 2 3 ? 3

C. 4 ? 2 3

D. 3 ? 1

(8) .执行如右图所示的程序框图,输出的 k 值是

A

4

B 5

C 6

D 7

(9)集合 M={a,b,c} ? {—6,—5,—4,—2,1,3, 4}.若关于 x 的不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 恒有实数 则满足条件的集合 M 的个数是 A.18 B.22 C.25 D.27 解,

(10)F1、F2 是双曲线的两个焦点,双曲线上存在点 P, 足∠F1PF2=60?,且|PF1|=2|PF2|,则该双曲线的 心率为 2 B 3 C 2 2 D 2 3

满 离 A

?? x 2 ? ax, x ? 1, ( 11 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ? 若 x ? 1, ?ax ? 1, ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
A a< 2 B

a> 2

C - 2< a< 2

D a > 2或a < - 2

(12)在正方体 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中,若点 P (异于点 B )是棱上一点,则满足 BP 与 AC ' 所成的角为 45 ° 的点 P 的个数为

A

0

B 3

C 4

D

6

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

(13)在(1+x )(1-

2

2

x

) 的展开式中,常数项为__________.

5

(14)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S11=1,S14=13,则 S25=_________.

(| ? | ? .) (15)已知函数 f (x) = sin(2x ?? ) ,
的取值范围为

?

若f ( ) < f ( ) , f ( ) < f ( ) 2 2 4 6

?

?

?

?
4

,则 ?

(0, ? ?) (16).已知定义域为 的函数 f ( x) 满足:①对任意 x ? (0,??) ,恒有 f (2 x) ? 2 f ( x)
成立;当 x ? (1,2] 时, f ( x) ? 2 ? x 。给出如下结论:
m ? ?) ①对任意 m ? Z ,有 f (2 ) ? 0 ;②函数 f ( x) 的值域为 [0, ;③存在 n ? Z ,使得

f (2 n ? 1) ? 9 ;④“函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ? Z ,使得 (a, b) ? (2k , 2k ?1 ) ” 。
其中所有正确结论的序号是 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17) (本小题满分 12 分)在△ABC 中,tan

A+B
2

=2sinC.

(Ⅰ)求∠C 的大小; (Ⅱ)若 AB=1,求△ABC 周长的取值范围.

(18) (本小题满分 12 分) (本小题满分 12 分)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子 里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同, 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏 结束后将球放回原箱)

(Ⅰ)求在一次游戏中, (ⅰ)摸出 3 个白球的概率; (ⅱ)获奖的概率;

(Ⅱ)求在两次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 EX.

(19)如图,△BCD 中,AB=BC=1,∠BAD=120°,O 为△ABC 外心 PO⊥平面 ABC,且 PO= PAC;

的 面

6 (I)求证:BP//平 2

(II)若点 M 为 PC 上,且 PC⊥平面 AMB,求二面角 A—BM 的正弦

— O

(20)如图,过抛物线 x ? 4 y 焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点(A 在第一象限) ,点 C
2

(0,t) (t>1).

(I)若△CBF,△CFA,△CBA 的面积成等差数列,求直线 l 的方程;

(II)若 | AB |? ( , 值范围。

9 64 ) ,且∠FAC 为锐角,试求 t 2 7

的 取

(21) (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? e2 x ? 2ax2 ? 2e2 x, 其中 e 为自然对数的底数。

(I)若函数 f (x)在[1, 2]上为单调增函数,求实数 a 的取值范围;

(II)设曲线 y= f (x)在点 P(1, f (1))处的切线为 L .试问:是否存在正实数 a ,使得函数 y= f (x)的图象被点 P 分割成的两部分(除点 P 外)完全位于切线 L 的两侧?若存在, 请求出 a 满足的条件,若不存在,请说明理由.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做大,如果多做,则按所做的第一题积分。

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 , BE 平分 ?ABC AC 于点 E ,点 D 在 AB 上, DE ? EB . (1)求证: AC 是△ BDE 的外接圆的切线; (2)若 AD ? 2 3, AE ? 6 ,求 EC 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线的极坐标方程为 ? sin ?? ? 的参数方程为 交

? ?

??

2 ,圆 ?? 4? 2

M

? x ? 2 cos? ? ? y ? ?2 ? 2 sin ?

(其中 ? 为参数).

(Ⅰ)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求圆 M 上的点到直线的距离的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | . (Ⅰ)若 a ? ?1, 解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ)如果关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 有解,求 a 的取值范围.

2012 届高考模拟试题(理科试卷 4)答案 一. 选择题: 1-4 DDBA 二、填空题: (13)41 三解答题: (17)解: (Ⅰ)由 tan cos ∴ sin ∵0< (14)100 (15) (π 4 , π ) 12 (16) ①②④

5-8

BDDB

9-12

DBAB

A+B
2

=2sinC 及

A+B
2



π C C - ,得 cot =2sinC, 2 2 2

C
2

C
2

=4sin

C
2

cos

C
2

,…………………………………………………………3 分

π C C ,cos >0,sin >0, 2 2 2 2 C 1 C 1 C π π 2 ∴sin = ,sin = , = ,C= .……………………………………6 分 2 4 2 2 2 6 3 <

C

AB BC CA 2 3 (Ⅱ)由正弦定理,得 = = = ,△ABC 的周长 sinC sinA sinB 3
2 3 2 3 2π 2 3 3 sinA+ sin( -A)=1+ sinA+cosA+ sinA 3 3 3 3 3 π =1+ 3sinA+cosA=1+2sin(A+ ),…………………………………………9 分 6 π π 5π 1 π ∵ <A+ < ,∴ <sin(A+ )≤1, ……………………………12 分 6 6 6 2 6 18.(Ⅰ) (ⅰ)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i=0,1,2,3) ,则 2 1 C3 C2 1 P (A3)= 2· 2= . C5 C5 5 (ⅱ)设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B=A2∪A3,又 2 2 1 1 1 C3 C2 C2C2 C2 1 P (A2)= 2· 2+ 2 · 2= , C5 C3 C5 C3 2 1 1 7 且 A2、A3 互斥,所以 P (B)=P (A2)+P (A3)= + = . 2 5 10 (Ⅱ)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2. 7 2 9 7 7 21 7 2 49 P (X=0)=(1- ) = ,P (X=1)=C1 (1- )= ,P (X=2)=( ) = . 2 10 100 10 10 50 10 100 所以 X 的分布列是 X 0 1 2 9 21 49 P 100 50 100 9 21 49 7 X 的数学期望 EX=0× +1× +2× = . 100 50 100 5

y=AB+BC+CA=1+

19.

20. .

21.

22.如图,在 Rt△ABC 中, ?C ? 90 ?C ? 90 ,BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E,点 D 在 AB 上, DE ? EB . (1)求证:AC 是△BDE 的外接圆的切线; (2)若 AD ? 2 3 ,AE ? 6 ,求 EC 的长. 解(1)取 BD 的中点 O,连接 OE.

∵BE 平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE.又∵OB=OE,∴∠OBE=∠BEO, ∴∠CBE=∠BEO,∴BC∥OE.………………3 分 ∵∠C=90°,∴OE⊥AC,∴AC 是△BDE 的外接圆的切线. 5 分 (2)设⊙O 的半径为 r,则在△AOE 中,

OA2 ? OE 2 ? AE 2 ,即 ( r ? 2 3 )2 ? r 2 ? 62 解得 r ? 2 3 ,
∴OA=2OE,∴∠A=30°,∠AOE=60°.∴∠CBE=∠OBE=30°. ∴EC=

7分

1 1 1 BE ? ? 3r ? ? 3 ? 2 3 ? 3 . 2 2 2

…………10 分

23 选修 4-4:坐标系与参数方程 (Ⅰ)以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系. ----------------1 分

?? 2 ? ? ? sin?? ? ? ? 4? 2 ? 2 ?? sin ? ? ? cos? ? ? 2 ,? ? sin ? ? ? cos? ? 1. --- -----4 分 ? 2 2 所以,该直线的直角坐标方程为: x ? y ? 1 ? 0. ----------------5 分 (Ⅱ)圆 M 的普通方程为: x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ----------------6 分
圆心 M (0,?2) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ? 所以,圆 M 上的点到直线的距离的最小值为 24 选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1. 由 f ( x) ? 3 ,得, x ? 1 ? x ? 1 ? 3. ① 当 x ? ?1 时,不等式化为 1 ? x ? 1 ? x ? 3, 即 x ? ? .

0 ? 2 ?1 2

?

3 2 . ---------------8 分 2

3 2 ? 2. ----------------10 分 2

3 2

所以,原不等式的解为 x ? ? . ---------------2 分 ② 当 ? 1 ? x ? 1 时,不等式化为 1 ? x ? 1 ? x ? 3, 即 2 ? 3. 所以,原不等式无解. ----------------2 分 ② 当 x ? 1 时,不等式化为 ? 1 ? x ? 1 ? x ? 3, 即 x ?

3 2

3 . 2

3 . ----------------4 分 2 3? ?3 ? ? 综上,原不等式的解为 ? ? ?,? ? ? ? ,?? ?. ------ -----5 分 2? ?2 ? ?
所以,原不等式的解为 x ? (说明:若考生按其它解法解答正确,相应给分) (Ⅱ)因为关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 有解,所以, f ( x) min ? 2. ----------------6 分 因为 x ? 1 ? x ? a 表示数轴上的点到 x ? 1 与 x ? a 两点的距离之和, 所以, f ( x) min ? a ? 1. ----------------8 分

? a ? 1 ? 2,
解得, ? 1 ? a ? 3. 所以, a 的取值范围为 ?? 1,3?. ----------------10 分


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