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3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义(学案)

河南师大附中导学案

高二数学人教选修 2-2

编写: 濮乐辉

校审:高二分校备课组

§3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义
主备人:金春霞 审核人:张利霞 使用时间:高二文科下期

【学习目标】 1、通过类比实数间的加减及运算律,自主预习,掌握复数的加法减法运算及运算律; 2、通过与向量联系,了解复数加减运算的几何意义; 3、通过本课的学习让学生注意数形结合思想的运用。 【学习重点】 重点:复数复数加减法运算及复数加减法运算的几何意义。 【学法指导】 由复数的几何意义,可用向量表示复数,因而复数的加减运算可转化为向量的加减运算,为 理解复数加减运算的规定奠定的基础,学习时注意知识内在联系与运用. 学习过程: 一、 【知识链接】 1.虚数单位 i :它的平方等于 ?1,即 2.对于复数 z ? a ? bi?a, b ? R? : 当 b≠0 时, z 为虚数; 当 a=0 且 b≠0 时, z 为纯虚数; 当且仅当 a=b=0 时, z 就是实数 0. 3.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 4.复数几何意义: 复数 z 当且仅当 b=0 时, z 是实数 a ;

i 2 ? ?1 ;

? a ? bi?a, b ? R?

一一对应

复平面内的点 z

?a, b?
一一对应 复平面内的向量 OZ=

复数 z 二、新课导学: 【问题探究】 探究一、复数代数形式的加减运算 引导 1:复数 z1 与 z 2 的和的定义

? a ? bi?a, b ? R?

???

? a ,b?

设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di ,则 z1 ? z2 ? 引导 2: 复数 z1 与 z2 的差的定义 设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di ,则 z1 ? z2 ? 容易得到: (1) 复数的加法运算满足交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 (2) 复数的加法运算满足结合律:

?z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ? ?z2 ? z3 ?

点拨:复数的加法运算法则可叙述为,两复数相加,等于其实部与实部相加,虚部与虚部相 加.对于复数加减法的运算律可根据复数的加减运算进行验证 .注意复数的加减运算的规定 可借助复数的几何意义加以理解体会. 探究二、复数加减运算的几何意义 引导:设复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di ,在复平面上所对应的向量为 OZ1 、OZ2 ,即 OZ1 、 b), d), 以 OZ1 、 OZ2 的坐标分别为 OZ1 =(a, OZ2 =(c, OZ2 为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2, 则对角线 OZ 对应的向量是 OZ . 由复数的几何意义知,向量 OZ 对应的复数即为复
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河南师大附中导学案

高二数学人教选修 2-2

编写: 濮乐辉

校审:高二分校备课组



.这就是复数加法的几何意义.

思考:复数减法的几何意义?

点拨:使用向量法研究复数的加减运算的几何意义,体现了复数的几 何意义的运用,注意这种数与形的结合思想在后续学习过程中的应用. 【典例分析】 例 1、计算: ?5 ? 6i ? ? ?? 2 ? i ? ? ?3 ? 4i ? 解: 点拨:考察复数的加减运算.复数的减法本质上可以看成是复数的加法,故本题可看成是三 个复数相加. 例 2、 已知复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? 1 ? 2i 在复平面内对应的点分别为 A、 B, 求 AB 对应的复数 z , 引导:可依据复数的加法运算先将前两个复数相加,再与第三个复数相减.

z 在平面内所对应的点在第几象限?
引导:由复数的减法的几何意义知, AB 对应的复数即为: z2 ? z1 . 解: 点拨: 任何向量所对应的复数, 是这个向量的终点所对应数减去始点所对应的复数所得的差. 【目标检测】 1.已知复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? 1 ? 2i 则复数 z ? z2 ? z1 在复平面内所表示的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) B.可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数 ) B.等腰三角形
2



D.第四象限

2.一个实数与一个虚数的差( A.不可能是纯虚数 C.不可能是实数 A.直角三角形

3.复平面上三点 A、 B、 C 分别对应复数 1 , 2i , 5 ? 2i , 则由 A、 B、 C 所构成的三角形是 ( C.锐角三角形 D.钝角三角形 4.计算(- 2 ? 3i) ? ( 3 ? 2i) ? [( 3 ? 2 ) ? ( 3 ? 2 )i] =

5. 已 知 复 数 z1 ? a ? 3 ? ?a ? 5?i , z2 ? a ?1 ? a 2 ? 2a ?1 i?a ? R? 分 别 对 应 向 量 OZ1 、

???? ? ????? ? OZ2 (O 为原点) ,若向量 Z1Z2 对应的复数为纯虚数,求 a 的值. ????? ? 提示:依据复数加减运算的几何意义,先确定向量 Z1Z2 对应的复数,再根据纯虚数的定义
列出条件式求解. 【总结提升】 本节内容借助了向量方法研究了复数的加减运算及其几何意义,体现了数形结合思想的运 用,在学习过程中,可借助向量来理解记忆复数的加减运算及其运算律. 【总结反思】 知识 重点 能力与思想方法 【自我评价】你完成本学案的情况为( ) A.很好 B.较好 C.一般
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?

?

???? ?

. . . D.较差


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