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北京市房山区2013届高三第一次模拟考试 (数学理)(解析版)


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北京市房山区 2012 年高三第一次模拟试题 高三数学(理科)
考 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间为 120 分钟 。 生 2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置,在试卷上作答无效。 须 3. 考试结束后,将答题卡交回,试卷按学校要求自己保存好。 知 第I卷 选择题(共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项,直接涂在答题卡上。 1.已知集合 M ? ?a, 0? , N ? x 2 x ? 5 x ? 0, x ? Z , 如果M ? N ? ?, 则a等于
2

?

?





(A) 1 (B) 2 (C) 1或2 (D) 【答案】C

5 2

【解析】 N ? x 2 x 2 ? 5x ? 0, x ? Z ? ? x 0 ? x ?

?

?

? ?

5 ? , x ? Z? ? {1, 2} ,因为 M ? N ? ?, ,则 a ? 1 或 2 ?

a ? 2 ,选 C.
2.如果 a ? (1, k ) , b ? (k , 4), 那么“ a / / b ”是“ k ? ?2 ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】B
2 2 【解析】因为 a / / b ,所以 1? 4 ? k ? 0 ,即 4 ? k ,所以 k ? ?2 。所以“ a / / b ”是“ k ? ?2 ”的必要

?

?

?

?





(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?

?

?

?

不充分条件,选 B. 3.如图, PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PO 交圆 O 于 B, C 两点, PA ? 3, PB ? 1,则 ?ABC =( (A) 70 (B) 60
? ?

)

(C) 45 (D) 30

?

?

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【答案】B
2 【解析】连结 AO ,则因为 PA 为切线,所以 PA ? PB?PC ,所以 PC ? 3,BO ? PC ? PB ? 3 ? 1 ? 2 ,

即圆的半径为 1,在直角三角形 PAO 中 AO ? 三角形,所以 ?ABC ? 60 ,选 B.
?

1 PO ,所以 ?P ? 30? , ?AOB ? 60? ,所以 ?AOB 为正 2

4.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为 (1, ? 3) .若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系,则点 P 的极坐标可以是 ( (A) (2, ? ) 3 【答案】A 【解析】因为点 P 的直角坐标为 (1, ? 3) , ,所以 ? ? 1 ? 3 ? 2 ,设极角为 θ,则 tan ? ? ? 3 ,所以 )

?

(B) (2,

4? ) 3

(C) (1, ? ) 3

?

(D) (2, ?

4? ) 3

2k? ? ,k ? Z , (因为点 P 在第四象限)所以点 P 的极坐标 (2, 2k? ? ),k ? Z ,选 A. 3 3
5.执行如图所示的程序框图, 则输出的 n 的值为 ( )

?

?

(A)5(B)6 (C)7 【答案】C

(D)8

【解析】第一次循环, s ? 0 ? 4 ? 4, n ? 1 ? 1 ? 2 ;第二次循环, s ? 4 ? 4 ? 2 ? 12, n ? 2 ? 1 ? 3 ; 第三次循环, s ? 12 ? 4 ? 3 ? 24, n ? 3 ? 1 ? 4 ;第四次循环, s ? 24 ? 4 ? 4 ? 40, n ? 4 ? 1 ? 5 ;
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第五次循环, s ? 40 ? 4 ? 5 ? 60, n ? 5 ? 1 ? 6 ;第六次循环, s ? 60 ? 4 ? 6 ? 84, n ? 6 ? 1 ? 7 ;第七次循 环,满足条件,输出 n ? 7 ,选 C.

? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0 ? f ( x) ? ? 2 6.已知函数 ,则对任意 x1 , x2 ? R ,若 0 ? x1 ? x2 ,下列不等式成立的是 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0 ?
( ) (A) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 (B) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

(C) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 【答案】D

(D) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

【解析】当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,所以 f (? x) ? x2 ? 2 x ? 1 ? f ( x) 。当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,所以

f (? x) ? x2 ? 2x ?1 ? f ( x) ,即函数 f ( x) 为偶函数,且当 x ? 0 时,函数 f ( x) 单调递增,所以

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,选 D.
7.直线 y ? kx ? 3 与圆 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 4 相交于 M , N 两点, MN ? 2 3 , k 的取值范围是( 若 则
2 2

)

(A) ( ??, ? 【答案】B

12 ) 5

(B) ( ??, ?

12 ] 5

(C) ( ??,

12 ) 5

(D) ( ??,

12 ] 5

【解析】由圆的方程可知圆心坐标为 (1, ?2) ,半径为 r ? 2 。圆心到直线 kx ? y ? 3 ? 0 的距离

d?

k ? (?2) ? 3 k 2 ?1

?

k ?5 k 2 ?1

。又 d ? r ? (
2 2

MN 2 ) ,因为 MN ? 2 3 ,所以 2

d 2 ? r2 ? (
B.

MN 2 k ?5 12 12 2 3 2 ) ? 4?( ) ? 1 ,即 ? 1 ,解得 k ? ? ,即 k 的取值范围是 ( ??, ? ] ,选 5 5 2 2 k 2 ?1

8.如图,边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A , D 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上移动,则 OB ? OC 的最大 值 ( ) (A) 2 (B) 1 ? 2 (C) ? (D)4 是

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【答案】A 【解析】设 ?OAD ? ? ,因为 AD ? 1 ,所以 OA ? cos ?,OD ? sin ? ,则 ?BAx ? 以 xB ? cos(

?
2

? ?,AB ? 1 ,所

??? ? ? ? ? ) ? OA ? sin ? ? cos ? , yB ? sin( ? ? ) ? cos ? ,即 OB ? (sin ? ? ,cos ) ? ,同理 cos ? 2 2 ??? ? C (sin ? ,sin ? ? cos ? ) , OC ? (sin ? ,sin ? ? cos? ) 。所以
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OC OB? ? (sin ? ? cos? ,cos? )? ? ,sin ? ? cos? ) ? 1 ? sin 2? ,所以当 sin 2? ? 1 时, OB? 的最大 OC (sin

?

值为 2,选 A. 第 II 卷 非选择题(共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答题卡上的指定位置。 9. i 是虚数单位,则 【答案】

i ? __. 1? i

1 1 ? i 2 2

【解析】

i i(1 ? i) i ? i2 1? i 1 1 ? ? ? ? ? i. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2 2

10. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 .

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【答案】

2 3

【解析】由三视图可知该几何体是底面是正方体,一条侧棱垂直于底面的四棱锥。底面边长为 1,高为 2, 所以四棱锥的体积为 ?1 ? 2 ?
2

1 3

2 。 3

11.已知函数 f ?x ? ? sin ??x ? ? ? ( ? >0, 0 ? ? ? ? )的图象如图所示,则 ? ? __, ? =__.

【答案】

【解析】由图象可知,

T 3? 5? 5? 5? 2? 8 ?? ? ? ? ,即 T ? ,又 T ? ,所以 ? ? 。所以 2 8 8 4 4 ? 5 8 8 8? ? f ? x ? ? sin( x ? ? ) 。又 f ?? ? ? sin( ? ? ? ? ) ? 1 ,即 ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,所以 5 5 5 2 ? 8? 11? 11? 9 ?? ? ? 2 k? ? ? ? 2k? 。因为 0 ? ? ? ? ,所以当 k ? 1 时, ? ? ? ? 2? ? ? 。 2 5 10 10 10

8 9 , ?; 5 10

12.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲 学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有 【答案】120 【解析】分两步计算;第一步,先安排甲学校参观,因为甲学校连续参观两天,从 7 天中找连续的两天, 可以是周一周二,可以是周二周三,可以是周三周四,可以是周四周五,可以是周五周六,可以是周六周 种.

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1

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日,有 C6 ? 6 种方法.第二步,安排另两所学校,因为另两所学校各参观一天,从剩下的 5 天中任选 2 天, 有 A5 ? 20 种方法.最后,两步方法数相乘,共有 6 ? 20 ? 120 种方法.
2

13.设 f (x) 是定义在 R 上不为零的函数,对任意 x, y ? R ,都有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ,若

1 , a n ? f (n)( n ? N * ) ,则数列 {an } 的前 n 项和的取值范围是 2 1 【答案】 [ ,1) 2 a1 ?
【解析】 因为 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) , 所以令 x ? n, y ? 1 , f ( ) f 1 得 n ?( )

.

? n1? ( ) f

, 即

f (n ?) 1 ? f1 。 ( ) f ( n)

因为 a1 ?

1 1 1 a 1 , a n ? f (n)( n ? N * ) ,所以 a1 ? f (1) ? ,即 n ?1 ? ,所以数列 {an } 是公比为 ,首项为 2 2 2 an 2

1 1 (1 ? ( ) n ) 1 1 a1 (1 ? q n ) 2 2 ? 1 ? ( 1 )n 。 的等比数列, 所以 Sn ? 所以 S1 ? Sn ? 1 , 即 ? Sn ? 1 , 所以 {an } ? 1 2 2 1? q 2 1? 2 1 1 的前 n 项和的取值范围是 ? S n ? 1 ,即 [ ,1) 。 2 2
14. F 是抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点,过焦点 F 且倾斜角为 ? 的直线交抛物线于 A, B 两点,设

a AF ? a, BF ? b,则:①若 ? ? 60? 且 a ? b ,则 的值为 ______ ;② a ? b ? ______ (用 p 和 ? 表 b
示). 【答案】① 3 ;② AB ?

2 p tan2 ? ? 1 2p 或 sin 2 ? tan2 ?

?

?
p , 0) 。过焦点 F 且倾斜角为 ? 的直线方程为 2

【解析】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,抛物线的焦点坐标 F (

p p 2 tan 2 ? y ? tan ? ( x ? ) ,代入 y 2 ? 2 px 得 tan 2 ? x 2 ? (tan 2 ? ? 2) px ? ? 0 。①当 ? ? 60? 时,方程为 2 4 3 p 3 p2 5 p2 x ? p, x2 ? 。又 3x ? 5 px ? ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? p, x1 x2 ? ,解得 1 2 6 4 3 4
2

a ? AF ? x1 ?

p p p 2p p a ? 2 p, b ? BF ? x2 ? ? ? ? ? 3 。②由①知 2 6 2 3 ,所以 b 2
p 2 tan 2 ? tan 2 ? ? 2 p2 ? 0 ,则 x1 ? x2 ? p, x1 x2 ? 4 tan 2 ? 4 ,所以

tan 2 ? x 2 ? (tan 2 ? ? 2) px ?

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a ? b ? x1 ? x2 ? p ,即 a ? b ?

2 p ? tan 2 ? ? 1? tan ?
2

?

2p sin 2 ? 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已 知 ?ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 是 a , b , c ,

tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B , a ? 2, c ? 19 .
(Ⅰ)求 tan( A ? B) 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

16.(本小题共 13 分) 今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当雷锋志愿者,学生的名额分配如 下: 高一年级 10 人 高二年级 6人 高三年级 4人

(I)若从 20 名学生中选出 3 人参加文明交通宣传,求他们中恰好有 1 人是高一年级学生的概率; (II)若将 4 名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是相 互独立的) ,记安排到高一年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

17.(本小题共 14 分) 在 直 三 棱 柱

ABC ? A1B1C1





B C ?

1

C C =2 , AB ? BC . 点 M , N 分 别 是 ? A B

CC1 , B1C 的中点, G 是棱 AB 上的动点.
(I)求证: B1C ? 平面 BNG ; (II)若 CG //平面 AB1 M ,试确定 G 点的位置,并给出证明; (III)求二面角 M ? AB1 ? B 的余弦值.

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18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln( ? x) ? mx. 1

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(I)当 m ? 1 时,求函数 f (x) 的单调递减区间; (II)求函数 f (x) 的极值;
2 (III)若函数 f ( x ) 在区间 ? 0, e ? 1? 上恰有两个零点,求 m 的取值范围. ? ?

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 A ? 0, ?1? ,离心率为 (I)求椭圆 G 的方程; (II)设直线 y ? kx ? m 与椭圆相交于不同的两点 M , N .当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

6 . 3

20. (本小题共 13 分) 在直角坐标平面上有一点列 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )?, Pn ( xn , yn )? ,对一切正整数 n ,点 Pn 位于函数 1

y ? 3x ?

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项, ? 1 为公差的等差数列 ?xn ? . 4 2

(I)求点 Pn 的坐标; (II)设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?,中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 cn 的顶点为

1 1 1 且过点 Dn (0, n 2 ? 1) , 记与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线的斜率为 k n , 求: ; ? ??? Pn , k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n
(III)设 S ? x | x ? 2xn , n ? N , T ? y | y ? 4 yn , n ? N ,等差数列 ?an ? 的任一项 an ? S ? T ,
* *

?

?

?

?

其中 a1 是 S ? T 中的最大数, ? 265 ? a10 ? ?125,求 ?an ? 的通项公式.

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北京市房山区 2012 高三第一次模拟试题参考答案 高三数学(理科) 一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 A 5 C 6 D 7 B 8 A

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9.

1 1 ? i; 2 2

10.

2 ; 3

11.

8 9 , ?; 5 10

12. 120;

13. ? ,1? ; ?2 ?

?1 ?

14. ① 3 ;② AB ?

2p 2 p tan2 ? ? 1 或 sin 2 ? tan2 ?

?

?

三、解答题(写出必要的文字说明,计算或证明过程。共 80 分) 15. (本小题共 13 分) 解: (I)解? tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B

? 3(1 ? tan A tan B)
? tan( A ? B) ? tan A ? tan B ? 3 1 ? tan A tan B
????????5 分 ????????7 分

(II)由(I)知 A ? B ? 60? ,? C ? 120?

? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
∴ 19 ? 4 ? b ? 2 ? 2 ? b? ?
2

? 1? ? ? 2?
????????10 分

∴b ? 3 ∴ S ?ABC ?

1 1 3 absin C ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 3 3 2
????????13 分

?

16. (本小题共 13 分) 解: (I)设“他们中恰好有 1 人是高一年级学生”为事件 A ,则
1 2 C10 C10 15 P? A? ? ? 3 38 C20

答:若从选派的学生中任选 3 人进行文明交通宣传活动,他们中恰好有 1 人是高一年级学生的概率为

15 . 38
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?????????4 分
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(II)解法 1: ? 的所有取值为 0,1,2,3,4.由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为 以 ?????????6 分

1 .所 3

16 ?1? ? 2? P?? ? 0? ? C ? ? ? ? ? ; 81 ? 3? ? 3?
0 4

0

4

?1? P?? ? 1? ? C ? ? ? 3?
1 4

1

32 ? 2? ; ? ? ? 81 ? 3?
1

3

24 8 8 ?1? ? 2? 3? 1? ? 2 ? P?? ? 2? ? C ? ? ? ? ? ? ; P?? ? 3? ? C4 ? ? ? ? ? ; 81 27 ? 3? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? 81
2 4

2

2

3

1 ?1? ? 2? P?? ? 4? ? C ? ? ? ? ? . 81 ? 3? ? 3?
4 4

4

0

?????????11 分

随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81
?????????12 分

所以 E? ? 0 ?

16 32 24 8 1 4 ? 1? ? 2? ? 3 ? ? 4 ? ? ????????13 分 81 81 81 81 81 3

解法 2:由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为

1 . ???????5 分 3 1 1 则随机变量 ? 服从参数为 4, 的二项分布,即 ? ~ B(4, ) .?????7 分 3 3

随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

16 81 1 4 所以 E? ? np ? 4 ? ? 3 3
17. (本小题共 14 分)

32 81

8 27

8 81

1 81
???????13 分

(I) 证明:∵在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC ? CC1 ,点 N 是 B1C 的中点, ∴ BN ? B1C ??????????1 分

AB ? BC , AB ? BB1 , BB1 ? BC ? B
∴ AB ⊥平面 B1 BCC1 ?????????2 分
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B1C ? 平面 B1 BCC1
∴ B1C ? AB ,即 B1C ? GB ???????3 分 又 BN ? BG ? B ∴ B1C ? 平面 BNG ?????????????4 分

(II)当 G 是棱 AB 的中点时, CG //平面 AB1 M .???????????5 分 证明如下: 连结 AB1 ,取 AB1 的中点 H,连接 HG, HM , GC , 则 HG 为 ?AB1 B 的中位线 ∴ GH ∥ BB1 , GH ?

1 BB1 ???????6 分 2

∵由已知条件, B1 BCC1 为正方形 ∴ CC1 ∥ BB1 , CC1 ? BB1 ∵ M 为 CC1 的中点, ∴ CM ?

1 CC1 2

????????7 分

∴ MC ∥ GH ,且 MC ? GH ∴四边形 HGCM 为平行四边形 ∴ GC ∥ HM 又 ∵ GC ? 平面AB1 M , HM ? 平面AB1 M ????????8 分 ????????9 分

∴ CG //平面 AB1 M

(III) ∵ 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 且 AB ? BC 依题意,如图:以 B1 为原点建立空间直角坐标系 B1 ? xyz ,????????10分

? B1 (0,0,0) , B(0, 2, 0) , M (2,1,0) , A(0, 2, 2) , C1 (2,0,0)
则 B1 A ? (0, 2, 2) , B1 M ? (2,1,0) 设平面 B1 AM 的法向量 n ? ( x, y, z) ,
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????

?

世纪金榜 ? ???? ? n ? B1 A ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 ? 则 ? ? ????? ,即 ? , ? 2x ? y ? 0 ?n ? B1M ? 0 ?
令 x ? 1 ,有 n ? (1,?2,2) 又? 平面 B1 AB 的法向量为 B1C1 ? (2,0,0) ,

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????????12分

???? ?

???? ? ? ???? ? ? B1C1 ? n 1 ? cos ? B1C1, n ? = ????? ? = , B1C1 ? n 3
设二面角 M ? AB1 ? B 的平面角为 ? ,且 ? 为锐角

????????13 分

???? ? ? 1 ? cos ? ? ? cos B1C1 , n ? . 3

????????14 分

18. (本小题共 13 分) 解: (I)依题意,函数 f ( x ) 的定义域为 ?? 1,??? , 当 m ? 1 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ,

? f ?( x) ?

1 ?1 1? x 1 ?x ? 1 ? 0 ,即 ?0 由 f ?( x) ? 0 得 1? x 1? x
解得 x ? 0 或 x ? ?1 , 又? x ? ?1 ,? x ? 0

????????2 分

? f ( x) 的单调递减区间为 (0, ??) .
(II) f ?( x) ?

????????4 分

1 ? m , ( x ? ?1) 1? x

(1) m ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立

f (x) 在 (?1, ? ?) 上单调递增,无极值.
(2) m ? 0 时,由于 所以 f (x) 在 ? ? 1,

????????6 分

1 ? 1 ? ?1 m

? ?

1 ? ?1 ? ? 1? 上单调递增,在 ? ? 1, ? ? ? 上单调递减, m ? ?m ?
1 ? 1) ? m ? ln m ? 1 . m
????????9 分

从而 f ( x)极大值 ? f (

(III)由(II)问显然可知,

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2 当 m ? 0 时, f ( x ) 在区间 ? 0, e ? 1? 上为增函数, ? ?

? 在区间 ?0, e 2 ? 1? 不可能恰有两个零点. ? ?
当 m ? 0 时,由(II)问知 f ( x)极大值 = f ( 又 f (0) ? 0 ,? 0 为 f ( x ) 的一个零点.

????????10 分

1 ? 1) , m
????????11 分

? f (e2 ? 1) ? 0 ? ? 若 f ( x) 在 ?0, e ? 1? 恰有两个零点,只需 ? 1 ? ? 2 ?0 ? ? 1 ? e ? 1 m ?
2

?2 ? m(e2 ? 1) ? 0 2 ? ? 2 ? m ?1 即? 1 e ?1 ? m ?1 ? ? e2
(注明:如有其它解法,酌情给分)

????????13 分

19. (本小题共 14 分) 解: (I)依题意可设椭圆方程为

c x2 6 ? y 2 ? 1 ,则离心率为 e ? ? 2 a 3 a
????????4 分



c2 2 ? ,而 b 2 ? 1 ,解得 a 2 ? 3 , a2 3

x2 ? y2 ? 1 . 故所求椭圆的方程为 3

????????5 分

(II)设 P ? xP ,P ?、M ? xM ,M ?、N ? xN ,N ? ,P 为弦 MN 的中点, y y y

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 得 (3k ? 1) x ? 6mkx? 3(m ? 1) ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?3

? 直线与椭圆相交,
?? ? ? 6mk ? ? 4 ? 3k 2 ? 1? ? 3 ? m2 ? 1? ? 0 ? m 2 ? 3k 2 ? 1 ,①
2

????7 分

? xP ?

xM ? x N 3mk m ?? 2 ,从而 yP ? kxP ? m ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 ,

(1)当 k ? 0 时

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? k AP ?

yP ? 1 m ? 3k 2 ? 1 ( m ? 0 不满足题目条件) ?? xP 3mk

∵ AM ? AN ,? AP ? MN ,则

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? ? ,即 2m ? 3k 2 ? 1 , 3m k k
2 把② 代入① m ? 2m ,解得 0 ? m ? 2 , 得



??????????9 分

??????????10 分 ?????????11 分

由② k ? 得
2

2m ? 1 1 1 ? 0 ,解得 m ? .故 ? m ? 2 3 2 2

(2)当 k ? 0 时 ∵直线 y ? m 是平行于 x 轴的一条直线, ∴ ?1 ? m ? 1 综上,求得 m 的取值范围是 ? 1 ? m ? 2 . 20. (本小题共 13 分) ??????????13 分 ??????????14 分

5 3 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 2 2 13 5 3 5 ? yn ? 3 ? xn ? ? ?3n ? ,? Pn (?n ? , ?3n ? ) 4 4 2 4
解: (I) x n ? ?

??????????2 分 ??????????3 分

(II)? cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn .? 设 cn 的方程为:

y ? a( x ?

2n ? 3 2 12 n ? 5 ) ? , 2 4

??????????5 分

把 Dn (0, n 2 ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,

? cn 的方程为: y ? x 2 ? (2n ? 3) x ? n 2 ? 1 .
y ? ? 2 x ? 2n ? 3
当 x ? 0 时, k n ? 2n ? 3

??????????7 分

? ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) k n?1k n (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ??? 7 9 2n ? 1 2n ? 3 k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 2 5 7
??????????9 分

=

1 1 1 1 1 ( ? )? ? 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6

(III) S ? {x | x ? ?(2n ? 3), n ? N , n ? 1} ,

T ? { y | y ? ?(12n ? 5), n ? N , n ? 1} ? { y | y ? ?2(6n ? 1) ? 3, n ? N , n ? 1}
? S ? T ? T , T 中最大数 a1 ? ?17 .
第 14 页(共 15 页)

??????????10 分
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世纪金榜 圆您梦想 设 {an } 公差为 d ,则 a10 ? ?17 ? 9d ? (?265 ?125 ,由此得 , )

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248 ? d ? ?12, 又 ? an ? T ? d ? ?12m(m ? N * ), 9 ? d ? ?24,? an ? 7 ? 24n(n ? N * ). ?

?????????11 分 ?????????13 分

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