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广东省珠海市2017届高三上学期期末考试文数试题Word版含答案.doc


广东省珠海市 2016-2017 学年度高三第一学期期末考试 数学文试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若 A ? x 0 ? x ? 2 , B ? ? x 1 ? x ? 2? ,则 A ? B ? ( A. ?x x ? 0? B. ?x x ? 2?

?

?



C. x 0 ? x ? 2

?

?


D. ?x 0 ? x ? 2?

2.设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则复数 z ? A.

1 的虚部是( z 3 D. i 2

1 2

1 B. i 2

C.

3 2

3.为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,则选中的花 中没有红色的概率为( A. ) C.

1 2

B.

2 3

5 6

D.

9 10


1 4.已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线的离心率为( 2
A.

5 4

B.

5 2

C.

3 2

D. 2

5. ?ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c ,已知 A ? A.2 或 8 B. 2 C.8 D.21

?
3

, a ? 2 21, b ? 10 则 c ? (



?? 4? ? ? 6.已知 tan ? ? ? ? ? 2, tan ? ? ? 5? 5 ? ?
A.1 B. ?

? ? ? ?3 ,则 tan ?? ? ? ? ? ( ?



5 7

C.

5 7

D.-1 )

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A. 2 ? 4 3

B. 4 ? 4 3

C. 8 ? 2 3

D. 6 ? 2 3 )

8.已知函数 g ? x ? ? 2x , g ? a ? g ?b ? ? 2 ,若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab 的最大值为( A.

1 2

B.

1 4

C.2

D.4 )

9.阅读如下程序框图,如果输出 i ? 1008 ,那么空白的判断框中应填入的条件是(

A. S ? 2014

B. S ? 2015 )

C. S ? 2016

D. S ? 2017

1 10.函数 f ? x ? ? e x ? 的图象大致为( x

A.

B.

C.

D.

, AC ? BC ? 1,记 A1 B1 的中点为 E , 11. 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ACB ? 90?, AA 1 ?2

平面 C1 EC 与 AB1C1 的交线为 l ,则直线 l 与 AC 所成角的余弦值是( A.
6 5



B.

6 4

C.

6 6

D.

6 3

12.在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD, DC / / AB, AD ? DC ? 1,AB ? 2 , E , F 分别为 AB, BC 的

??? ? ??? ? ??? ? 中点,以 A 为圆心, AD 为半径的圆弧 DE 中点为 P (如图所示).若 AP ? ? ED ? ? AF ,其中

? , ? ? R ,则 ? ? ? 的值是(



A.

2 2

B.

3 2 4

C. 2

D.

3 4

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 函数 f ? x ? ? e x ln x 在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程是 .

?? ? ? 14. 将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? 的图象向左平移 个单位后的图形关于原点对称, 则 2? 6 ? ? ?? 函数 f ? x ? 在 ?0, ? 上的最小值为 . ? 2?
15. 珠海市板樟山森林公园(又称澳门回归公园)的山顶平台上,有一座百子回归碑.百子回 归碑是一座百 年澳门简史, 记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地, 人文资料等, 如中央四数连读为 1999·12·20 标示澳门回归日,中央靠下有 23·50 标示澳门面积约为 23.50 平方公里.百子回归碑实为一个十阶幻方, 是由 1 到 100 共 100 个整数填满 100 个空格, 其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等 .请问下图中对角线上数字 (从 左上到右下)之和为 .

16.已知函数 f ? x ? ? x2 ln x ,若关于 x 的不等式 f ? x ? ? kx ? 1 ? 0 恒成立,则实数 k 的取值范围 是 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 中, a3 ? a5 ? 10, a4 ? a6 ? 20 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? ? ?1? log2 an ,求数列 ?bn ? 的前 29 项和 S29 .
n

18. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 是平行四边形, AB ? 1,AD ? 2,AC ? 3 , E 是 AD 的中点, BE 与 AC 交于点 F , GF ? 平面 ABCD .

(1)求证: AB ? 面 AFG ; (2)若四棱锥 G ? ABCD 的体积为 19. (本小题满分 12 分) 某市为鼓励居民节约用水,拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过 w 立方米按 2 元/立方米收 费,超出 w 立方米但不高于 w ? 2 的部分按 4 元/立方米收费,超出 w ? 2 的部分按 8 元/立方 米收费, 从该市随机调查了 10000 位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如图所示 频率分布直方图:
3 ,求 B 到平面 ADG 的距离. 6

(1)如果 w 为整数,那么根据此次调查,为使 40%以上居民在该月的用水价格为 2 元/立方 米, w 至少定为多少? (2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当 w ? 2 时,估计该市居民该月的人 均水费. 20. (本小题满分 12 分)
?1 ? 已知抛物线 C 的顶点在原点, F ? , 0 ? 为抛物线的焦点. ?2 ?

(1)求抛物线 C 的方程;
3? 2 ? (2)过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A、 B 两点, 与圆 M : ? x ? ? ? ? y ? 8 ? ? 49 交于 D、 E 两 2? ?
2

点,且 D、 E 位于线段 AB 上,若 AD ? BE ,求直线 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? ln ? x ? a ? 的最小值为 0,其中 a ? 0 ,设 g ? x ? ? ln x ? (1)求 a 的值; (2)对任意 x1 ? x2 ? 0,
g ? x1 ? ? g ? x2 ? x1 ? x2 ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围;

m . x

(3)讨论方程 g ? x ? ? f ? x ? ? ln ? x ? 1? 在 ?1, ?? ? 上根的个数. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程

? 2 t ?x ? 1 ? ? 2 ( t 为参数),曲线 C : ? x ? r cos ? ( r ? 0,? 为参数). 已知直线 C1 : ? 2 ? ? y ? r sin ? 2 ? y ? t ? ? 2
(1)当 r ? 1时,求 C1 与 C2 的交点坐标; (2)点 P 为曲线 C2 上一动点,当 r ? 2 时,求点 P 到直线 C1 距离最大时点 P 的坐标. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? a ? a ? R ? . (1)若 a ? ?3 ,求函数 f ? x ? 的最小值;

(2)如果 ?x ? R, f ? x ? ? 2a ? 2 x ? 1 ,求 a 的取值范围. 试卷答案 一、选择题 1-5: DAABA 二、填空题 13. y ? e ? x ? 1? 三、解答题 17. 解:(1)由题意得: 14. ?
3 2

6-10:DDBDA

11、12:CB

15.505

16. ? ??,1?

?a1q 2 ? a1q 4 ? 10 ?a1q 2 ? a1q 4 ? 10 ? ? 即是 ? 3 ? 3 5 5 ? ? ?a1q ? a1q ? 20 ?a1q ? a1q ? 20
1 ? ?a ? 解得 ? 1 2 ? ?q ? 2

1 所以 an ? ? 2n?1 ? 2n?2 2
(2) bn ? ? ?1? log2 an ? ? ?1? ? n ? 2?
n n

Sn ? 1 ? 0 ? ? ?1? ? 2 ? ? ?3? ? ??? ?1? ? n ? 2?
n

当 n 为奇数时 Sn ? ?1 ? 0? ? ? ?1 ? 2? ? ? ?3 ? 4? ? ??? ? ? n ? 4? ? ? n ? 3?? ? ? n ? 2?

=

n ?1 3? n ? ? n ? 2? ? , S29 ? ?13 2 2

18. 解:(1)∵ AB ? 1,AD ? 2,AC ? 3 ∴ BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ∴ AB ? AC 又∵ GF ? 平面 ABCD 且 AB ? ABCD ∴ AB ? GF 又∵ GF ? AC ? F ∴ AB ? 面 AFG (2)由(1)知: S四边形ABCD ? AB ? AC ? 3
1 3 1 VG ? ABCD ? S四边形ABCD ? GF ? .解得: GF ? 3 6 2

? ? 2? 且有 AB ? AE ?1 ?CAD ? ,?BAC ? ∴ ?BAD ? 6 2 3
∴ ?AEB ?

?
6

从而 ?AEF 为等腰三角形,且有 AE ? 1
3 1 1 21 ? ? 易知 AG ? GE ? 3 4 3 6

∴ AF ? EF ?

在 ?AGE 作高 GH ,则 GH ?
S?AEG ?

7 1 3 ? ? 12 4 3

1 3 3 1 2? 3 ? 1? ? ,S?ABE ? ? AB ? AE ? sin ? 2 3 6 2 3 4

1 1 VG ? ABE ? VB ? AEG ,即 S?ABE ? GF ? S?AEG ? h 3 3
得h ?

3 3 3 ,所以 B 到平面 AEG 的距离为 ,即 B 到平面 ADG 的距离为 . 4 4 4

19. 解:⑴我市居民月用水量在区间 ?0.5,1?、 ?1,1.5?、 ?1.5, 2? 、内的频率依次为 0.1、0.15、0.2, 所以该月用水量不超过 2 立方米的居民占 45%,而用水量不超过 1 立方米的居民点 10%, 所以 w 至少定为 2 (2)根据题意,列出居民该月用水费用的数据分组与频率分布表

(每两组数据正确得 1 分,本表格可以以其它形式呈现,数据正确就可以得分) 该市居民该月的人均水费估计为:
2 ? 0.1 ? 3 ? 0.15 ? 4 ? 0.2 ? 6 ? 0.25 ? 8 ? 0.15 ? 10 ? 0.05 ? 12 ? 0.05 ? 16 ? 0.05

(由上面表格中不多于两个数据错误,本步骤不扣分)
? 6.05 (元).

答:当 w ? 2 时,该市居民改月的人均水费约为 6.05 元. 20. 解:(1)由抛物线定义可得

p 1 ? ,则抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 x ; 2 2

(2)显然当直线 l 为 x 轴时不成立;

1 设直线 l 的方程为 x ? ty ? ,取 CD 的中点 N ,连接 MN ,则 MN ? CD ,由于 AC ? BD , 2
所以 N 点也是线段 AB 的中点, 设 A? x1 , y1 ?、B ? x2 , y2 ?、N ? x0 , y0 ? ,则 x0 ?
? y2 ? 2x ? 2 由? 1 ,得 y ? 2ty ? 1 ? 0 ? x ? ty ? ? 2

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

所以 y1 ? y2 ? 2t , ∴ y0 ? t , x0 ? t 2 ? ∵ MN ? AB , ∴
t ?8 ? ?t , 1 3 t2 ? ? 2 2
1 ? 1 ? ,即 N ? t 2 ? , t ? 2 ? 2 ?

整理得 t 3 ? 8 ? 0 ,∴ t ? 2 所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 21.【解析】 (1) f ? x ? 的定义域为 ? ?a, ?? ? , f ? ? x ? ? 1 ? 由 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? 1 ? a ? ? a . 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

1 x ? a ?1 ? x?a x?a

因此, f ? x ? 在 x ? 1 ? a 处取得最小值,故由题意 f ?1 ? a ? ? 1 ? a ? 0 ,所以 a ? 1 .
g ? x1 ? ? g ? x2 ? x1 ? x2 ? 1 知 g ? x1 ? ? x1 ? g ? x2 ? ? x2 对 x1 ? x2 ? 0 恒成立

(2)由

即 h ? x ? ? g ? x ? ? x ? ln x ? x ?

m 是 ? 0, ?? ? 上的减函数. x

h? ? x ? ?

1 m ? 1 ? 2 ? 0 对 ? 0, ?? ? 恒成立, m ? x ? x 2 对 ? 0, ?? ? 恒成立 x x
max

?x ? x ?
2

1 1 ? ,m ? 4 4

(3)由题意知 ln x ?

m m ? x, ? x ? ln x ? x ? 1? x x

m ? x 2 ? x ln x , x2 ? x ln x ? 2x ? ln x ? 1, x ? 1 ,又可求得 x ? 1 时

?

?

? 2x ? ln x ? 1?min ? 1 ? 0 .∴ x 2 ? x ln x 在 x ? 1 时单调递增.
一个根, m ? 1 时无根.

x ? 1 时, x 2 ? x ln x ? 1 , m ? 1 时有

22.解:(1)直线 C1 的普通方程为: x ? y ? 1 ? 0 ,即 y ? x ? 1 , 当 r ? 1时,曲线 C2 的普通方程为: x2 ? y 2 ? 1 ,
?y ? x ?1 ? x ? 0 ? x1 ? 1 ,? 联立方程组 ? 2 解得: ? 1 , 2 ? y1 ? ?1 ? y1 ? 0 ?x ? y ? 1

∴ C1 与 C2 的交点坐标为 ?1,0? , ? 0, ?1? . (2)设点 P

?

2 cos ? , 2 sin ? ,则点 P 到直线 C1 的距离为:

?

d?

2 cos? ? 2 sin ? ? 1 2

?? ? 2cos ?? ? ? ? 1 4? ? , ? 2

?? 3 2 3? ? 则当 cos ? ? ? ? ? ?1 即 ? ? , ? 2k? ? k ? z ? 时, d max ? 3 4? 4 ?
? x ? ?1 此时点 P 的坐标为: ? ,即 P ? ?1,1? . ?y ?1

23.解:(1)当 a ? ?3 时, f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3 , ∵ f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3 = 1 ? x ? x ? 3 ? ?1 ? x ? ? ? x ? 3? ? 4 当且仅当 ?1 ? x ?? x ? 3? ? 0 即 ?3 ? x ? 1 时,等号成立; ∴函数 f ? x ? 的最小值为 4. (2) ?x ? R, f ? x ? ? 2a ? 2 x ? 1 ,可化为: x ? a ? x ? 1 ? 2a , 又 x ? a ? x ? 1 ? ? x ? a ? ? ? x ? 1? ? 1 ? a (当 x ? 1 时,等号成立); 从而 1 ? a ? 2a ,

1 即 ?2a ? 1 ? a ? 2a ,解得 a ? , 3

?1 ? ∴ a 的取值范围为 ? , ?? ? . ?3 ?


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