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高一数学必修1第一章集合教案


第一章集合与函数概念
§1.1 集合
教学目标: (1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; 教学重点.难点 重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择.

1.1.1
(一)集合的有关概念 ⒈定义:一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对 象的全体构成的集合(或集) ,构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员) 。 2.表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母 A,B,C?表示, 而元素用小写的拉丁字母 a,b,c?表示。 3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? 两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; ⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 5.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N*或 N+;N 内排除 0 的集. 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R;

6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如: “地球上的四大洋” (太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋) 。 “中国古代四大发明” (造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大 的数” , “平面点 P 周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0 的解集表示为 ? 1,-2

? ,而不是 ?

1,1,-2

?

⑶无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练 1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: ⑴大于 3 小于 11 的偶数; ⑵我国的小河流; 第1页

⑶非负奇数; ⑷某校 2011 级新生; ⑸血压很高的人; 7.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? ”两种) ⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; ⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 例如,我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集合,则有 3∈A,4 ? A,等等。 练:A={2,4,8,16},则 4 ? A,8 ? A,32 ? A.

8. 空集:定义 9. 集合的分类
观察下列三个集合的元素个数 1.{4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2.{x ? R∣0<x<3}; 2 3. {x ? R∣x +1=0} 由此可以得到

集合的分类 ? ?无限集 : 含有无限个元素的集合

?有限集 : 含有有限个元素的集合 ?空集 : 不含有任何元素的集合?(empty ? set ) ?

(二)例题讲解: 例 1.用“∈”或“ ? ”符号填空: ⑴8N;⑵0N;⑶-3Z;⑷ 2 Q; 练:5 页1题 例 2.已知集合 P 的元素为 1, m, m ? m ? 3 , 若 2∈P 且-1 ? P,求实数 m 的值。
2

练:⑴给出下面四个关系: 3 ? R,0.7 ? Q,0 ? {0},0 ? N,其中正确的个数是:( A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 2 (2)求集合{2a,a +a}中元素应满足的条件? (3)若

)

1? t ? {t},求 t 的值. 1? t
1.1.2

一、集合的表示方法 ⒈列举法:把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“ ?

? ”括起来表示集合的方法叫

第2页

列举法。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},?; 说明:⑴书写时,元素与元素之间用逗号分开; ⑵一般不必考虑元素之间的顺序; ⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序;

⑷集合中的元素可以为数,点,代数式等;
⑸列举法可表示有限集, 也可以表示无限集。 当元素个数比较少时用列举法比较简单; 若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可 以用列举法表示。 ⑹对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能 用省略号,象自然数集N用列举法表示为 ?1, 2,3, 4,5,......? 例 1.用列举法表示下列集合: (1) 小于 5 的正奇数组成的集合; (2) 能被 3 整除而且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合; (3) 从 51 到 100 的所有整数的集合; (4) 小于 10 的所有自然数组成的集合; (5) 方程 x ? x 的所有实数根组成的集合;
2

⒉描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。 。 方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画 一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式: ? x ? A p ( x )

?

如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{x|直角三角形},?; 说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不 同的两个集合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表 整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。写法{实数集},{R} 也是错误的。 用符号描述法表示集合时应注意: 1、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式? 2、 元素具有怎么的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时, 要去伪存真, 而不能被表面的字母形式所迷惑。 例 2.用描述法表示下列集合: 2 (1) 由适合 x -x-2>0 的所有解组成的集合; (2) 到定点距离等于定长的点的集合; (3) 方程 x ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合
2

第3页

(4) 由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意, 一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 课本 P7 例 1 例 2 1.用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数 4 2.集合 A={x| ∈Z,x∈N},则它的元素是。 x ?3 3.判断下列两组集合是否相等? (1)A={x|y=x+1}与 B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与 B={正整数}

1.2 集合间的基本关系
教学目的: (1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点:集合的交集与并集、补集的概念; 教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么” , “为什么” , “怎样做” ;
1.2.1 ⒈子集:对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个 集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于 B,或 B 包含 A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A?B(或 B?A) 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系: B A 表示: A ? B

2.真子集定义:若集合 A ? B ,但存在元素 x ? B, 且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集。 记作:A B(或 B A)读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 3.集合相等定义:如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 。 如:A={x|x=2m+1,m ? Z},B={x|x=2n-1,n ? Z},此时有 A=B。 4.空集定义:不含有任何元素的集合称为空集。记作: ? 用适当的符号填空:

? ?0? ; 0 ? ; ? { ? }; ?0? { ? }

5.几个重要的结论: ⑴空集是任何集合的子集;对于任意一个集合 A 都有 ? ? A。 ⑵空集是任何非空集合的真子集; ⑶任何一个集合是它本身的子集; ⑷对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 练习⑴2N; {2} N; ? A; 第4页

⑵已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},则 AB; AC; {2}C; 2C 说明: ⑴注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于”的关系; ⑵在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 ⑶结论:一般地,一个集合元素若为 n 个,则其子集数为 2n 个,其真子集数为 2n-1 个, 特别地,空集的子集个数为 1,真子集个数为 0。

2

1.2.2 集合间的基本运算
考察下列集合,说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系: (1) A ? {1,3,5} , B ? {2,4,6}, C ? ?1,2,3,4,5,6? ; (2) A ? {x x是有理数} , B ? {x x是无理数},

C ? ?x x 是实数? ;

1.并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集,即 A 与 B 的所有部分, 记作 A∪B,读作:A 并 B 即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}。 Venn 图表示:

2.交集定义:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫作集合 A、B 的 交集(intersection set) , 记作:A∩B 读作:A 交 B 即:A∩B={x|x∈A,且 x∈B} Venn 图表示: (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

常见的五种交集的情况: B A A(B) A B A B A B

说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个 集合没有交集

3.全集、补集概念及性质: 全集的定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么 就称这个集合为全集,记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 补集的定义:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫作集 合 A 相对于全集 U 的补集, 记作: CU A ,读作:A 在 U 中的补集,即 CU A ? x x ?U , 且x ? A Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)

?

?

U A CUA
第5页

说明:补集的概念必须要有全集的限制

高一数学必修 1 集合单元综合练习
1、U={1,2,3,4,5} ,若 A∩B={2} ,(CUA)∩B={4} ,(CUA)∩(CUB)={1,5} ,则下列 结论正确的是. ①、3 ③、3 A且3 A且3 B;②、3 B;④、3 A且3 A且3 B; B。 ,则 k 的取值范围是

2、设集合 M={x|-1≤x<2} ,N={x|x-k≤0} ,若 M∩N≠

3、已知全集 U ? Z , A ? {?1,0,1, 2}, B ? {x | x2 ? x} ,则 A ? CU B 为

b ? 4、设 a,b ? R ,集合 ?1,a ? b,a? ? ? ?0, ,b ? ,则 b ? a ? a ? ?
5、已知集合 A ? ? x | x ? a ≤ 1? , B ? x x 2 ? 5 x ? 4 ≥ 0 .若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是 6、设集合 A ? {x 0 ? x ? 3且x ?N}的真子集 的个数是 ... 7 、 以 下 六 个 关 系 式 : 0 ? ?0? , ?0? ? ? , 0.3 ? Q , 0 ? N ,

?

?

?a, b? ? ?b, a?



?x | x

2

? 2 ? 0, x ? Z ? 是空集中,错误的个数是
2

8、若 A ? {?2,2,3,4} , B ? {x | x ? t , t ? A} ,用列举法表示 B

第6页


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