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北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:导数及其应用


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北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试:导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) sinx 1 π 1.曲线 y= - 在点 M( ,0)处的切线的斜率为( sinx+cosx 2 4 1 1 A.- B. 2 2 C.- 【答案】B 2.已知 2 2 D. 2 2

)

f ( x) ? x2 ? 3xf '(1) ,则 f '(1) 为
B.-1 C.0 D.1

(



A.-2 【答案】B 3. 若函数 A. (?1, 【答案】C 4. 已知函数 ( A. C. 【答案】B )

f ( x) ? 3x ? x3 在区间 (a2 ?12, a) 上有最小值,则实数 a 的取值范围是(

) B. (?1, 4)

11)

C

f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数的取值范围是

(??,? 3] ? [ 3,??)
(??,? 3) ? ( 3,??)

B. D.

[? 3, 3]

(? 3, 3)

5.设函数 围是( A. 【答案】D ) B.

,其中

,则导数

的取值范

C.

D.

6.对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列

? an ? ? ? 的前 n 项和的公式是( ? n ? 1?
A. 2 答案:D
n

)

B. 2 ? 2
n

C. 2

n?1

D. 2

n?1

?2

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7.设函数

f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a, b, c ? R ? y ? f ? x?
的图象是(

,若 x ? ?1 为函数 )

f ? x ? e2

的一个极值点,则下

列图象不可能为

【答案】D 8. 若对任意 x∈R, A. C. 【答案】B 9.函数

f ?( x) ? 4x3 ,f(1)=- 1,则 f(x)是
B. D.

(



f ( x) ? x4
f ( x) ? 4 x3 ? 5

f ( x) ? x4 ? 2 f ( x) ? x4 ? 2

f ( x) ? x 3 ? 3ax ? b(a ? 0) 的极大值为 6,极小值为 2,则 f (x) 的减区间是(
B. (0,1) C. (-1,0) D. (-2,-1) )



A. (-1,1)

【答案】A 10. 函数 y ? f (x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f (x) 在这点取极值的( A.充分条件 【答案】D B.必要条件 C.充要条件

D.必要非充分条件

1 3 11.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=- x 3 +81x-234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( ) A.13 万件 B.11 万件 C.9 万件 D.7 万件 【答案】C 12.已知二次函数 f ( x ) 的图象如下图所示,则其导函数 f ′ ( x ) 的图象的大致形状是( )

【答案】C

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第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.某日中午 12 时整,甲船自 A 处以 16km / h 的速度向正东行驶,乙船自 A 的正北 18 km 处以

16km / h 的速度向正南行驶,则当日 12 时 30 分时两船之间距离对时间的变化率是
_____________. 【答案】-1.6 2 14.设 P 为曲线 C:y=x -x+1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是[-1,3],则点

P 纵坐标的取值范围是__________.
3 【答案】? ,3? 4 ? ? 15.已知函数 么p? 【答案】6,9 16.若函数

y ? f ( x) ? x 3 ? px2 ? qx 的图象与 x 轴切于非原点的一点,且 y极小 ? ?4 ,那
,q ?

f ( x) ? a x ? x ? a (a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是

.

【答案】 (1,??)

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三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

4x2 ? 7 17.已知函数 f ? x ? ? , x ??0,1? . 2? x
(1)求函数

f ? x ? 的单调区间和值域.

(2)设 a ? 1 ,函数 g

? x ? ? x2 ? 3a 2 x ? 2a , x ??0,1? ,若对于任意 x1 ??0,1?

总存在

x0 ??0,1? 使 g ? x0 ? ? f ? x1 ? 成立,求实数 a 的取值范围.
【答案】(1) ?

f ' ? x? ?

?4 x 2 ? 16 x ? 7

?2 ? x?

2

?0

?

1 7 ? x? 且x ? 2 2 2

? x ??0,1?

?1 ? ? f ? x ? 的增区间 ? ,1? ?2 ?

减区间 0, ? 2? .

? 1? ? ?

7 ?1? ? f ? 0 ? ? ? , f ?1? ? ?3 , f ? ? ? ?4 2 ?2?
(2)

? f ? x ? 的值域 ??4, ?3?

g ' ? x ? ? 2x ? 3a2

? a ?1

? g ' ? x? ? 0

x ??0,1?

? g ? x ? 在 x ??0,1? 上是减函数. 值域为 ?1 ? 3a 2 ? 2a, ?2a ? ? ?
由题意使 18.已知函数 (1)已知函数 (2)若函数

f ? x1 ? ? g ? x0 ? 需 ??4, ?3? ? ?1 ? 3a 2 ? 2a, ?2a ? ? ?
f ?x ? 是定义在实数集 R 上的奇函数,当 x >0 时, f ?x? ? ax ? ln x, 其中a ? R. f ?x ? 的解析式;

f ?x ? 在区间 ?? ?,?1? 上是单调减函数,求 a 的取值范围;
/

(3)试证明对 ?a ? R, 存在 ? ? ?1, e ?, 使f 【答案】(1) f (0) ? 0

?? ? ? f ?e? ? f ?1? .
e ?1

x ? 0 时, f ( x) ? f (? x) ? ax ? ln(? x)

?ax ? ln x, x ? 0 所以 f ( x) ? ?0, x ? 0 ? ?ax ? ln(? x), x ? 0 ?
(2)函数 f (x) 是奇函数,则 f (x) 在区间 (??,?1) 上单调递减,当且仅当 f (x) 在区间 (1,??) 上单 调递减,当 x ? 0 时, f ( x) ? ax ? ln x, f ' ( x) ? a ?

1 x

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由 f ?? x ? ? a ?

1 1 1 <0 得 a < ? ,? 在区间(1,+ ? )的取值范围为 ?? 1,0? x x x

所以 a 的取值范围为 (3)

?? ?,?1? f ?e ? ? f ?1? ?qe ? 1? ? ?a?
e ?1 e ?1

1 e ?1



f ??? ? ? a ?

1

?

?a?

1 得(11 分),因为 1<e—1<e,所以 ? ? e ? 1 为所求. e ?1

19.已知函数 f ( x) ?

x (2 ? x)e x , g ( x) ? . ex e2

(Ⅰ) 求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ) 求证:当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x); (Ⅲ) 如果 x1

? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证: f ( x1 ) ? f (2 ? x2 ).
x 1? x ,∴ f ?( x ) = x . x e e

【答案】⑴∵ f ( x) =

令 f ?( x ) =0,解得 x ? 1 .

x
f ?( x)
f ( x)

(??,1)
+ ↗

1 0 极大值

(1, ??)


1 e



∴当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) =

1 . e

x (2 ? x)e x ⑵证明: 令F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? ,则 e e2
F ?( x) =

1 ? x e x (1 ? x) (1 ? x)(e2 ? e 2 x ) ? ? . ex e2 e x?2

2 2x 当 x ? 1 时, 1 ? x <0, 2x >2,从而 e ? e <0,

∴ F ?( x) >0, F ( x) 在 (1, ??) 是增函数.

∴F ( x) ? F (1) ?

1 1 ? ? 0, 故当x ? 1时,f ( x) ? g ( x). e e

⑶证明:∵ f ( x) 在 (??,1) 内是增函数,在 (1, ??) 内是减函数. ∴当 x1

? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时, x1 、 x2 不可能在同一单调区间内.

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∴ x1

? 1 ? x2 ,
f ( x2 ) ? g ( x2 ) .

由⑵的结论知 x ? 1 时, F ( x) ? f ( x) ? g ( x) >0,∴ ∵

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x1 ) ? g ( x2 ) .

又 g ( x2 ) ?

f (2 ? x2 ) ,∴ f ( x1 ) ? f (2 ? x2 ).
f ( x) ? ln x ? 2a , a?R x .

20.已知函数

(1)若函数 f ( x ) 在 [2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数

f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为 3,求实数 a 的值.

f ( x) ? ln x ?
【答案】(1)∵ ∵

2a 1 2a f ?( x) ? ? 2 x ,∴ x x .

f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,

f ?( x) ?


1 2a x ? 2 x x ≥0 在 [2, ??) 上恒成立,即 a ≤ 2 在 [2, ??) 上恒成立. x 2 ,则 a ≤ ? g ( x)?min , x?[2, ??) . x 2 在 [2, ??) 上是增函数,∴ ? g ( x)?min ? g (2) ? 1.∴ a ≤1.
(??,1] .

g ( x) ?


g ( x) ?


所以实数 a 的取值范围为

f ?( x) ?
(2)由(1)得

x ? 2a x 2 , x ? [1, e] .
f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x) 在 [1, e] 上是增函数.

①若 2a ? 1 ,则 x ? 2a ? 0 ,即

3 a? ? f ? x ? ? min ? f (1) ? 2a ? 3 ? ? 2 (舍去). 所以 ,解得
②若 1≤ 2a ≤ e ,令

f ?( x) ? 0 ,得 x ? 2a .

f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, 2a) 上是减函数, 当 1 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (2a, e) 上是增函数. 当 2a ? x ? e 时,
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所以 ?

? f ? x ? ? min ? f ? 2a ? ? ln(2a ) ? 1 ? 3 ? ,解得

a?

e2 2 (舍去).

? ③若 2a ? e ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上是减函数.

2a ?3 ? f ? x ? ? min ? f ? e ? ? 1 ? ? ? e 所以 ,所以 a ? e .
综上所述, a ? e . 3 2 21.已知函数 f(x)=x +ax,g(x)=2x +b,它们的图象在 x=1 处有相同的切线. (1)求函数 f(x)和 g(x)的解析式; (2)如果 F(x)=f(x)-mg(x)在区间[
2

1 ,3]上是单调增函数,求实数 m 的取值范围. 2

【答案】(1)f′(x)=3x +a,g′(x)=4x, 由条件知 ?

?f ?1?=g ?1? ? , ?f ? ?1?=g? ?1? ?

∴?

1 ?1+a=2+b ?a= ,∴ ? , ?3+a=4 ?b=0
3 2 3 2

∴f(x)=x +x,g(x)=2x . (2) F(x)=f(x)-mg(x)=x +x-2mx , ∴F′(x)=3x -4mx+1, 若 F(x)在区间[ 立, ∴m≤
2

1 1 2 ,3]上为增函数,则需 F′(x)≥0,即 3x -4mx+1≥0 在[ ,3]上恒成 2 2

3x 2+1 1 在 ,3 上恒成立. 2 4x 3x 2+1 3x 2+1 3 1 1 ,x∈[ ,3] ,则 h(x)= = x? ,由基本不等式可得,当且仅当 2 4 4x 4x 4x

令 h(x)=

3 1 1 3 3 3 x? ,即 x= 时 h(x)取得最小值,则 h(x)在区间 [ , 上的最小值是 h( 3] )= , 4 4x 2 3 3 2
因此,实数 m 的取值范围是 m≤

3 . 2

22.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与利率的平方成正比,比例系数为 k (k ? 0) ,且知当利率为 0.012 时,存款量为 1.44 亿;又贷款的利率为 4.8% 时,银行吸收的 存款能全部放贷出去;若设存款的利率为 x , x ? (0,0.048) ,则当 x 为多少时,银行可获得最 大收益?(提示:银行收益=贷款获得利润-银行支付的利息) 【答案】由题意知:存款量

f ( x) ? kx2 ,当利率为 0.012 时,存款量为 1.44 亿,

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即 x ? 0.012 时, y ? 1.44 ;由 1.44 ? k ? (0.012) ,得 k ? 10000 ,
2
2 故 f ( x) ? 10000 x ,

银行应支付的利息 g ( x) ? 设银行可获收益为 y ,则 由于

x ? f ( x) ? 10000 x3 ,

y ? 480x2 ? 10000x3 ,

y? ? 960 x ? 30000 x2 ,则 y ? ? 0 ,
2

即 960 x ? 30000 x 因为

? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 0.032 .

x ? (0, 0.032) 时, y ? ? 0 ,此时,函数 y ? 480x2 ? 10000x3 是增函数;

x ? (0.032, 0.048) 时, y ? ? 0 ,此时,函数 y ? 480x2 ? 10000x3 是减函数;
故当

x ? 0.032 时, y 有最大值,其值约为 0.164 亿.

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