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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案40 空间几何体、三视图和直观图


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学案 40

第八章 立体几何 空间几何体、三视图和直观图

导学目标: 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描 述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的 简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,并且会用斜二测画法画出它们 的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图, 了解空 间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图.

自主梳理 1.多面体的结构特征 (1) 棱柱的上下底面 ________ ,侧棱都 ________ 且 ____________ ,上底面和下底面是 ________的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个________的三角形. (3) 棱 台 可 由 __________________ 的 平 面 截 棱 锥 得 到 , 其 上 下 底 面 的 两 个 多 边 形 ________. 2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其____________旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕__________________或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得 到,也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕其________旋转得到. 3.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到, 这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子 与平面图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括________、____________、________. 4.空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用________画法,基本步骤是: (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画成 对应的 x′轴、y′轴,两轴相交于点 O′,且使∠x′O′y′=________. (2)已知图形中平行于 x 轴、 y 轴的线段, 在直观图中分别画成平行于__________的线段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度________,平行于 y 轴的线 段,长度变为___________________. (4)在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面,在直观图中对应的 z′轴也垂直于 x′O′y′平面, 已知图形中平行于 z 轴的线段, 在直观图中仍平行于 z′轴且长度________. 5.中心投影与平行投影 (1)平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线相交于一点. (2)从投影的角度看,三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的 图形. 自我检测 1.如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

A.①②
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B.①③

C.①④

D.②④

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2.(2011· 浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(

)

3.(2011· 金华月考)将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示),A,B,C 分别是△GHI 三边 的中点,得到几何体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

4.

(2010· 广东)如图, △ABC 为正三角形, AA′∥BB′∥CC′, CC′⊥平面 ABC 且 3AA′ 3 = BB′=CC′=AB,则多面体 ABC-A′B′C′的正视图(也称主视图)是( ) 2

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5.(2011· 山东)如图是长和宽分别相等的两个矩形,给定下列三个命题:①存在三棱柱, 其正(主)视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存在圆柱, 其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0

探究点一 空间几何体的结构 例 1 给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②用一个 平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台;③若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其 三个侧面也两两垂直; ④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面, 则该四棱柱为直四棱柱; ⑤存在每个面都是直角三角形的四面体;⑥棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是________. 变式迁移 1 下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 探究点二 空间几何体的三视图 例 2 (2009· 福建)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积 1 为 ,则该几何体的俯视图可以是( ) 2

变式迁移 2 (2011· 课标全国)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则 相应的侧视图可以为( )

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探究点三 直观图及斜二测画法 例3

用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形, 则原来的 图形是( )

变式迁移 3 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平 面四边形的面积等于( ) 2 2 2 2 2 2 A. a B.2 2a2 C. a2 D. a 4 2 3 1.画几何体三视图的基本要求是:正视图与俯视图长对正;正视图与侧视图高平齐; 侧视图与俯视图宽相等. 2.三视图的安排规则是:正视图与侧视图分别在左右两边,俯视图画在正视图的下方. 3.用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积 S′与原平面图形的面积 S 之间的关 2 系是 S′= S. 4

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A.底面是正方形,有两个侧面是矩形 B.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形,具有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 2.(2011· 汕头月考)已知水平放置的△ABC 的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长 为 2a 的正三角形,则原△ABC 的面积为( ) 3 A. 2a2 B. a2 2 6 C. a2 D. 6a2 2 3.有一个正三棱柱,其三视图如图所示:

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则其体积等于( A.3 cm3

) B.1 cm3

3 3 C. cm3 D.4 cm3 2 4.(2011· 青岛模拟)如下图,一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长 为 2 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是( )

3 4 2 4 3 8 B. C. D. 6 3 3 3 5.(2011· 福州质检)某简单几何体的一条对角线长为 a,在该几何体的正视图、侧视图 与俯视图中,这条对角线的投影都是长为 2的线段,则 a 等于( ) A. 2 B. 3 C.1 D.2 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2010· 湖南)图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3 的几何体的三视图,则 h= ________cm. A.

7.已知正三角形 ABC 的边长为 a,则△ABC 的水平放置直观图△A′B′C′的面积 为________. 8.(2011· 宜昌月考)棱长为 a 的正四面体 ABCD 的四个顶点均在一个球面上,则此球的 半径 R=________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)画出下列几何体的三视图.

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10.(12 分)如图是一个几何体的正视图和俯视图.

(1)试判断该几何体是什么几何体; (2)画出其侧视图,并求该平面图形的面积.

11.(14 分)(2011· 石家庄月考)已知正三棱锥 V-ABC 的正视图和俯视图如图所示. (1)画出该三棱锥的侧视图和直观图. (2)求出侧视图的面积.

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学案 40

空间几何体、三视图和直观图

自主梳理 1.(1)平行 平行 长度相等 全等 (2)公共顶点 (3)平行于棱锥底面 相似 2.(1)一边所在直线 (2)一条直角边所在直线 (3)垂直于底 边 的腰 所在直 线 (4) 直径 3. 正视 图 侧 视图 俯视 图 4. 斜二 测 (1)45° ( 或 135° ) (2)x′轴、y′轴 (3)不变 原来的一半 (4)不变 自我检测 1.D [在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同;②圆锥有两个视图相同;③三 棱台的三个视图都不同;④正四棱锥有两个视图相同.] 2.D [A,B 的正视图不符合要求,C 的俯视图显然不符合要求,答案选 D.] 3.A [∵原几何体是正三棱柱,且 AE 在平面 EG 中, ∴在侧视图中,AE 应为竖直的.] 3 4. D [由 AA′∥BB′∥CC′及 CC′⊥平面 ABC, 知 BB′⊥平面 ABC.又 CC′= 2 BB′,且△ABC 为正三角形,故正视图应为 D 中的图形.] 5.A [底面是等腰直角三角形的三棱柱,当它的一个矩形侧面放置在水平面上时,它 的正视图和俯视图可以是全等的矩形,因此①正确;若长方体的高和宽相等,则存在满足题 意的两个相等的矩形,因此②正确;当圆柱侧放时(即侧视图为圆时),它的正视图和俯视图 可以是全等的矩形,因此③正确.] 课堂活动区 例 1 解题导引 解决这种判断题的关键是:①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念; ②正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断,整体把握立体几何知识. ③④⑤⑥ 解析

①错误,因为棱柱的底面不一定是正多边形,故侧面不一定都全等;②错误,必须用平 行于底面的平面去截棱锥,才能得到棱台;③正确,因为三个侧面构成的三个平面的二面角 都是直二面角;④正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;⑤ 正确,如图所示,正方体 AC1 中的四棱锥 C1—ABC,四个面都是直角三角形;⑥正确,由 棱台的概念可知.因此,正确命题的序号是③④⑤⑥. 变式迁移 1 D [

A 错误.如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角 形,但它不是棱锥. B 错误.如下图,若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边,
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所得的几何体都不是圆锥.

C 错误.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以 正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.D 正确.] 例 2 解题导引 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左 方、正上方观察几何体画出的轮廓线.解决此类问题的关键是弄清三视图“长、宽、高”的 关系. C [当俯视图为 A 中正方形时,几何体为边长为 1 的正方体,体积为 1;当俯视图为 B 1 π 中圆时,几何体为底面半径为 ,高为 1 的圆柱,体积为 ;当俯视图为 C 中三角形时,几 2 4 1 何体为三棱柱,且底面为直角边长为 1 的等腰直角三角形,高为 1,体积为 ;当俯视图为 2 1 π D 中扇形时,几何体为圆柱的 ,且体积为 .] 4 4 变式迁移 2 D [由几何体的正视图和俯视图可知, 该几何体的底面为半圆和等腰三角 形,其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形,故应选 D.] 例 3 解题导引 本题是已知直观图,探求原平面图形,考查逆向思维能力.要熟悉 运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则, 注意直观图中的线段、 角与原图中的对应 线段、角的关系. A [按照斜二测画法的作图规则,对四个选项逐一验证,可知只有选项 A 符合题意.] 变式迁移 3 B [根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知,在 x 轴上(或与 x 轴平行)的线段, 其长度保持不变; 在 y 轴上(或与 y 轴平行)的线段, 其长度变为原来的一半, 且∠x′O′y′=45° (或 135° ), 所以, 若设原平面图形的面积为 S, 则其直观图的面积为 S′ 1 2 2 = · · S= S.可以得出一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S′之间的关系是 S′ 2 2 4 2 a2 = S,本题中直观图的面积为 a2,所以原平面四边形的面积 S= =2 2a2.] 4 2 4 课后练习区 1.C 2 2 3 2.D [斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为 1∶ ,则易知 S= ( 2a)2, 4 4 4 ∴S= 6a2.] 3.D [由给出的三视图可以得知该正三棱柱的高等于正视图和侧视图的高为 3 cm, 3 4 3 若设该正三棱柱的底面边长为 a cm,则有 a=2,所以 a= ,故该正三棱柱的体积为 V 2 3 1 3 ?4 3?2 = · · · 3=4 (cm3).] 2 2 ? 3 ? 4.C [

由三视图知该几何体为一正四棱锥,记为 S—ABCD,如图,其中 AB=2,△SCD 中
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CD 上的高为 2,即 SE=2,设 S 在底面上的射影为 O,在 Rt△SOE 中,SO= SE2-OE2, 1 ∴SO= 22-12= 3.∴V= SABCD×SO 3 1 4 3 = ×4× 3= .] 3 3 5.B [可以把该几何体形象为一长方体 AC1,

设 AC1=a,则由题意知 A1C1=AB1=BC1= 2,设长方体的长、宽、高分别为 x、y、 z,则 x2+y2=2,y2+z2=2,z2+x2=2,三式相加得 2(x2+y2+z2)=2a2=6. ∴a= 3.] 6.4 解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥, 其底面是一个直角边长分别是 5 和 6 的直 11 角三角形,几何体的高为 h,则该几何体的体积 V= · · 5· 6· h=20. 32 ∴h=4. 6 7. a2 16 解析 如图

1 3 A′B′=AB=a,O′C′= OC= a, 2 4 过点 C′作 C′D′⊥A′B′于点 D′, 2 6 则 C′D′= O′C′= a, 2 8 1 6 所以 S△A‘B’ C′D′= a2. ‘′= A′B′· 2 16 6 8. a 4 解析

如图所示,设正四面体 ABCD 内接于球 O,由 D 点向底面 ABC 作垂线,垂足为 H,连 接 AH,OA, 3 则可求得 AH= a, 3 6a 3 DH= a2-? a?2= , 3 ?3 ? 3 6 在 Rt△AOH 中,? a?2+? a-R?2=R2, ?3 ? ?3 ?

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6 a. 4 9.解 图(1)中几何体的三视图如图①、②、③,图(2)中几何体的三视图如图④、⑤、 解得 R= ⑥.

(6 分)

(12 分) 10.解 (1)由该几何体的正视图及俯视图可知几何体是正六棱锥.(4 分) (2)侧视图(如图)

(6 分) 其中 AB=AC,AD⊥BC,且 BC 长是俯视图正六边形对边间的距离,即 BC= 3a, 1 3 AD 是正棱锥的高,AD= 3a,所以侧视图的面积为 S= × 3a× 3a= a2. 2 2 (12 分) 11.解 (1)如图.

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(7 分) (2)根据三视图间的关系可得 BC=2 3, 侧视图中 VA 为 2 3 42-? × ×2 3?2 = 12=2 3, 3 2

1 ∴S△VBC= ×2 3×2 3=6.(14 分) 2

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