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东北2016届高三第一次五校联考数学(文)试题


吉林省五校高考高端命题研究协作体

2015-2016 学年第一次联合命题数学(文科)试题
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.已知集合 M ? {x | x 2 ? x ? 0}, N ? {0,1,2,3} ,则 (CU M ) ? N =( A. {x | 0 ? x ? 1} 1-3i ,则( 1+2i B. {0,1} C. {2,3} D. {1,2,3} )

2.复数 z= A.|z|=2

) C.z 的虚部为-i D.z 的共轭复数为-1+i

B.z 的实部为 1 )

3.下列判断错误的是(
2 2

A.“ am ? bm ”是“a < b”的充分不必要条件 B.命题“ ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ” C.“若 a=1,则直线 x ? y ? 0 和直线 x ? ay ? 0 互相垂直”的逆否命题 D.若 p?q 为假命题,则 p,q 均为假命题 5 5 Sn 4.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1+a3= ,且 a2+a4= ,则 =( 2 4 an A.4n
-1

)

B.4n-1
2

C.2n

-1

D.2n-1

5.函数 f ( x) ? e1? x (e 是自然对数的底数)的部分图象大致是(

)

(第 6 题图)

6.从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度,其茎叶图如图.根据茎叶图,下列描述正确的是 ( )

A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,且甲种树苗比乙种树苗长得整齐 B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,但乙种树苗比甲种树苗长得整齐 C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙种树苗长得整齐

?x ? y ? 3 ? 0 ? 7.若 x、y 满足不等式 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为( ? y ? ?1 ?
A. 11 B. ?11 C. 13 ) D. ?13 8.执行如图所示的程序框图,输出的 T=( A.29 C.52 B.44 D.62



(第 8 题图)

9.在三棱锥 D ? ABC 中,已知 AC ? BC ? CD ? 2 , CD ? 平面 ABC , 图、正视图、俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( A. )

?ACB ? 90? . 若其直观

6

B. 2

C.

3

D.

2

10.若函数 y ? cos 2 x 与函数 y ? sin( x ? ? ) 在 [0, 则 ? 的一个值为( A. ) B.

?
2

] 上的单调性相同,

? 2 11.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线 C 的两条渐近线与圆: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 都相切,则双曲
? 6
C. D. 线 C 的离心率是( A. 3 或 ) B.2 或 3

? 4

? 3

6 2

C.

2 3 或2 3

D.

2 3 6 或 3 2

12.给出下列命题 ⑴ log 0.5 3 ? 2 3 ? ( )

1

x?4 x 5 ? 的图像以 (5, ) 为对称中心;⑷已知 a ? 0, b ? 0, 函数 y ? 2aex ? b 的图 x ? 6 12 12 1 1 像过点 ?0,1? ,则 ? 的最小值是 4 2 .其中正确命题的个数是( ) a b f ( x) = ln
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

1 3

0.2

;⑵函数 f ( x) ? log4 x ? 2sin x 有 5 个零点;⑶函数

二. 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填写在横线上) 13.已知向量 a ? (?1,2) , b ? (m,?1), c ? (3,?2) ,若 (a ? b) ? c ,则 m 的值是 .

14.2015 年 8 月 6 日凌晨,马来西亚总理纳吉布在吉隆坡确认,7 月 29 日在法属留尼汪岛发现的飞 机残骸来自 515 天前失联的马航 MH370。 若一架侦察机以 500 米/秒的速度在留尼汪岛上空平行于

地面匀速飞行时,发现飞机残骸在侦察机前方且俯角为 30 的地面上,半分钟后,侦察机发现飞 机残骸仍在其前方且俯角为 75 的地面上,则侦察机的飞行高度是
?

?

米(保留根号)

15.四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 4 2的正方形,侧棱长都等于 4 5,则经过该棱锥五个顶点的球 面面积为_________.
2 16.已知正项数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 对 ? n ∈N﹡有 2 S n = an 令 bn= +an .

an

1 , an+1+an+1 an

设{ bn }的前 n 项和为 Tn ,则在 T1,T2,T3,…,T100 中有理数的个数为_____________. 三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 设 ?ABC 是锐角三角形,三个内角 A, B, C 所对的边分别记为 a, b, c ,并且

(sin A ? sin B)(sin A ? sin B) ? sin(
(Ⅰ)求角 A 的值;

?
3

? B) sin(

?
3

? B) .

(Ⅱ)若 AB ? AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) .

18.(本小题满分 12 分)2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海 登陆,造成 165.17 万人受灾,5.6 万人紧急转移安置,288 间房屋倒塌,46.5 千公顷农田受灾, 直接经济损失 12.99 亿元。距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假,小明调 查 了 梅 州 某 小 区 的 50 户 居 民 由 于 台 风 造 成 的 经 济 损 失 , 将 收 集 的 数 据 分 成 ?0,2000 ?,

?2000,4000?, ?4000,6000? , ?6000,8000?, ?8000,10000 ? 五组,并作出如下频率分布直方图
(图 1) : (Ⅰ)试根据频率分布直方图估计小区每户居民的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点 值作代表) ; (Ⅱ)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款。现从损失超过 6000 元的居民中随机抽出 2 户进行捐款援助,求这两户在同一分组的概率; (Ⅲ)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的 50 户居民捐款情况如下表,在 图 2 表格空白处填写正确数字, 并说明是否有 95℅以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关?
经济损失不超过 4000 元 捐款超过 500 元 捐款不超 过 500 元 经济损失超过 4000 元 合计

30 6

合计

(图 1)

(图 2)

P(K2≥k) k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

附:临界值表参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 ,n ? a?b?c?d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ?PAB 是正三角形,四边形 ABCD 是矩形, 且面 PAB ? 面 ABCD , PA ? 1 , PC ? 2 . (Ⅰ) 若点 E 是 PC 的中点,求证: PA // 面 BDE ; (Ⅱ) 若点 F 在线段 PA 上,且 PF ?

1 PA ,求三棱锥 B ? AFD 的体积. 3

x 20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e ? ax ? a ( a ? R 且 a ? 0 ) .

(Ⅰ)若 f (0) ? 2 ,求实数 a 的值;并求此时 f ( x) 在 ?? 2,1? 上的最小值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 不存在零点,求实数 a 的取值范围.

x2 y2 6 21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,它的一个顶点在 3 a b
抛物线 x 2 ? 4 2 y 的准线上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 ) 是椭圆 C 上两点, 已知 m ? ( 求 OA ? OB 的取值范围;

x1 y1 x y , ), n ? ( 2 , 2 ), 且 m ? n ? 0 , a b a b

请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,多答、不答按本选考题的首题进行评分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 ︵ 如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为BC的中点,E 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC· BC=2AD· CD.
A O B D E C

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线 C1 的极 坐标方程为 ? ?
2

2 4 ,直线 l 的极坐标方程为 ? ? 。 2 1 ? sin ? 2 sin ? ? cos ?

(Ⅰ)写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程;

(Ⅱ)设 Q 为曲线 C1 上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值。 .

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x)=|x-1|. (Ⅰ)解不等式 f (x)+f (x+4)≥8; (Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,求证:f (ab)>|a|f ( b ). a

命题人:李大博、王玉梅、李明月

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2015-2016 学年第一次联合命题数学(文科)答案
一.选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 D 5 C 6 D 7 A 8 A 9 D 10 D 11 C 12 B

二.填空题 13. 15. 三.解答题 17.解 : (Ⅰ)由已知得: -3 14. 16. 3750(1+ 3 ) 9

100 ?

sin 2 A ? sin 2 B ? (

3 1 3 1 3 1 cos B ? sin B)( cos B ? sin B) ? cos2 B ? sin 2 B 2 2 2 2 4 4
2

即 sin A ?

3 3 ? ,? A ? ?0, ? ? ,? sin A ? ,? A ? 4 2 3
1 bc ? 12,? bc ? 24 2

……………………… 6 分

(Ⅱ) AB ? AC ? bc cos A ?

由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 3bc ? (b ? c) 2 ? 72 ? 28

? b ? c ? 10 ,又 b ? c ,? b ? 4, c ? 6
18.解: (Ⅰ)记每户居民的平均损失为 x 元,则:

………………………12 分

x ? (1000 ? 0.00015 ? 3000 ? 0.0002 ? 5000 ? 0.00009 ? 7000 ? 0.00003 ? 9000 ? 0.00003) ? 2000 ? 3360

………………………2 分

(Ⅱ) 由频率分布直方图可得, 损失不少于 6000 元的居民共有 (0.00003+0.00003) × 2000× 50=6 户, 损失为 6000~8000 元的居民共有 0.00003× 2000× 50=3 户, 损失不少于 8000 元的居民共有 0.00003× 2000× 50=3 户, 因此,这两户在同一分组的概率为 P ? (Ⅲ)如图:

3? 2 ? 3? 2 2 ? ………………………7 分 6?5 5

捐款

50

捐款

过5



K2 ?

50 ? (30 ? 6 ? 9 ? 5) 2 39 ?11? 35 ?15 , ? 4.046 ? 3.841

所以有 95℅以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否 4000 元 有关.………………………12 分 19.解: (Ⅰ)连接 AC,设 AC ? BD ? O ,?点E是PC的中点 。 在 ?PAC 中, EO // PA ,又 EO ? 平面 BDE

PA ? 面BDE,? PA / /面BDE ………… 6 分
(Ⅱ)? PA ? PB ? AB ? 1, 取AB的中点M.

? PM ? AB且PM ?

3 , 2

?面PAB ? 面ABCD, 面PAB ? 面ABCD ? AB

? PM ? 面ABCD, 作FN / / PM 交AB于点N .
1 3 ? FN ? 面ABCD.? PF ? PA,? FM ? . 3 3
?四边形ABCD是矩形, ? BC ? 面PAB. ??PBC为直角三角形, ? BC ? 3.
所以 VB ? AFD ? VF ? ABD ?

1 1 S ABD .FN ? …………………12 分 3 6.

20.解: (Ⅰ)由 f (0) ? 1 ? a ? 2 得.? a ? ?1 . 易知 f ( x) 在 [?2,0) 上单调递减,在 (0,1] 上 f ( x) 单调递增; 当 x ? 0 时, f ( x) 在 [ ?2,1] 的最小值为 2
x (Ⅱ) f ( x) ? e ? a ,由于 e ? 0 .

…………………4 分

'

x

①当 a ? 0 时, f ( x) ? 0, f ( x) 是增函数,且当 x ? 1 时, f ( x) ? e ? a( x ? 1) ? 0 .
'

x

当 x ? 0 时,取

x??

1 1 1 f (? ) ? 1 ? a (? ? 1) ? ? a ? 0 a ,则 a a ,

所以函数 f ( x) 存在零点,不满足题意.…………………8 分

②当 a ? 0 时, f ( x) ? e ? a ? 0, x ? ln(?a) .
' x

在 (??, ln(?a)) 上 f ( x) ? 0, f ( x) 单调递减,在 (ln(?a),??) 上 f ( x) ? 0, f ( x) 单调
' '

递增, 所以 x ? ln(?a) 时 f ( x) 取最小值. 函 数

f ( x)



















f (ln(?a)) ? e ln(?a) ? a ln(?a) ? a ? ?2a ? a ln(?a) ? 0 ,
2 解得 ? e ? a ? 0 .

2 综上所述:所求的实数 a 的取值范围是 ? e ? a ? 0 .………………12 分

21.解: (Ⅰ)因为抛物线 x ? 4 2 y 的准线 y ? ? 2 ,? b ?
2

2

e?


6 a 2 ? b2 2 ? ? ?a? 6 3 a2 3

x2 y 2 ? ?1 2 ∴椭圆 C 的方程为 6 . …………………4 分 ?? ? x x ? ?3 y1 y2 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 所在直线为 l , m (Ⅱ)由 ? n ? 0 得 1 2

当 l 斜率不存在时,则

A( x1 , y1 ), B( x1 , ? y1 ), ? x ? 3 y
2 1

2 1 ,又

x12 y12 ? ?1 ? y 2 ?1 6 2 , 1

??? ? ??? ? ?OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 2 y12 ? 2 …………………6 分
当 l 斜率存在时,设 l 方程 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m ? 2 x ? 3 y 2 ? 6 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 6 ? 0 联立 ?
?? ? 36k 2m2 ?12(3k 2 ? 1)(m2 ? 2) ? 12(6k 2 ? m2 ? 2) ? 0.........(a)
x1 ? x2 ? ?6km 3m2 ? 6 , x x ? . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1



…………………8 分

x1 x2 ? ?3 y1 y2 ? ?3(kx1 ? m)(kx2 ? m)


? (1 ? 3k 2 ) x1 x2 ? 3km( x1 ? x2 ) ? 3m2 ? 0

整理得 1 ? 3k ? m ....(b) …………………10 分
2 2

??? ? ??? ? 2 2m 2 ? 4 2 m 2 ? 4 4 ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ? ? 2? 2 2 2 3 1 ? 3k m m
由 ( a ), (b) 得

m 2 ? 1 ? 3k 2 ? 1, ? 0 ?

4 ??? ? ??? ? ?4 m2 ,??2 ? OA ? OB ? 2
…………………12 分

综上:??2 ? OA ? OB ? 2 .

??? ? ??? ?

22.解: (Ⅰ)连接 OE,因为 D 为的中点,E 为 BC 的中点,所以 OED 三点共线. 因为 E 为 BC 的中点且 O 为 AC 的中点, 所以 OE∥AB,故 DE∥AB. …………………5 分 (Ⅱ)因为 D 为的中点,所以∠BAD=∠DAC, 又∠BAD=∠DCB?∠DAC=∠DCB. 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE?△DAC∽△ECD. AC AD ? = ?AD· CD=AC· CE? 2AD· CD=AC· 2CE CD CE ? 2AD· CD=AC· BC. …………………10 分

B D E A O C

23.解: (Ⅰ) C1 : x 2 ? 2 y 2 ? 2 ; l : 2 y ? x ? 4 ? 0 …………………4 分 (Ⅱ)设 Q( 2 cos? , sin ? ) ,则点到直线 l 的距离

d?

2 sin ? ? 2 cos? ? 4 3

2 sin(? ? ?

?
4

)?4 ?

2 3

当且仅当 ? ? 2k? ?

?
4

3

…………………8 分

(k ? Z ) 时取等号…………………10 分

? ?-2x-2,x≤-3, -3≤x≤1, 24.解: (Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ?2x+2, x≥1. ?
当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}. 分 (Ⅱ)f (ab)>|a|f ( b )即|ab-1|>|a-b|. a 因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立. …………………10 分

…………………5


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