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东平明湖中学高三艺术(理)数学学案8

东平明湖中学高三艺术(理)数学学案
班级_________ 课题 课型 审批人 新授课 定积分及其应用 主备人 使用时间 包爱红 审核人 批阅时间 姓名__________ 编号 8

一 般 地 , 如 果 f ( x) 是 在 [a ,b ]上 有 定 义 的 连 续 函 数 , f ( x) 是 在 [a ,b ]上 可 微 , 并 且

F ( x) ? f ( x),则 ? b f ( x)dx ? F (b) ? F (a) ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布 a
'

尼兹公式,为了方便,常常把 F (b) ? F (a) ,记作 F ( x) |a ,即
b

?

b a

f ( x) dx ? F( x) | b ? F( b ? F a . ) ( ) a

4. 、常见求定积分的公式 (1) (3) (5)

?
?

b a
b a

x n dx ?

1 n ?1 b x |a (n ? ?1) n ?1

(2) (4) (6)

? ? ?

b a b a

cdx ? cx |b (C 为常数) a cos xdx ? sin x |b a e x dx ? e x |b a

教师寄语: 细——铸就辉煌,准————造就成功,规范————引领奇迹 一、课标要求: (1)了解定积分的实际背景 (2)掌握定积分的几何意义 (3)会利用微积分基本定理求函数的积分 (4)体会定积分在解决几何问题中的应用 二:知识梳理: 1、定积分概念 定 积 分 定 义 : 如 果 函 数

sin xdx ? ? cos x |b a

?
?

b a

1 dx ? ln x |b (b ? a ? 0) a x
a x dx ? ax b |a (a ? 0且a ? 1) ln a

b a

(7)

b a

f ( x) 在 区 间 [a b,

上 连 续 , 用 分 点 ]

a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b ,将区间 [a, b] 等分成几个小区间,在每一个小区间
[ xi ?1 , xi ] 上任取一点 ?i (i ? 1, 2,?, n) ,作和 f (?i )?xi ? ?
i ?1 n

4.定积分的应用 (1)在几何中的应用 (2)在物理中的应用 三、典例精析 类型一、利用定积分的几何意义求定积分 例 1 利用定积分的几何意义求 (1)

b?a f (?i ) ,当 n ?? 时,上述和无 n

?

3

?3

9 ? x 2 dx

(2)

? (2x ? 1)dx
0

3

限接近某个常数,这个常数叫做函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分,记作 [ xi ?1 , xi ]

?

b a

f ( x ) dx ,即

变式训练:求

?

2

0

4 ? x 2 dx

?

b a

f ( x) dx ? lim

n ??

?
i ?1

n

b?a f( ?) ,这里 a 、 b 分别叫做积分的下限与上限,区间 [a, b] 叫做积分区 i n

类型二、用微积分基本定理计算定积分的值 例 2、计算下列定积分 (1) (3)

?

4?

0

(cos x ? sin x)dx
2

(2)

? (e
1

2

x

1 ? )dx x

间,函数 f ( x) 叫做被积函数, x 叫做积分变量, f ( x)dx 叫做被积式. 2、定积分性质 (1) (2) (3)

? (2 ? x
2

3

)(3 ? x)dx

?
? ?

b a
b a c a

kf ( x)dx ?k ? f ( x)dx ;
a

b

[ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? b f1 ( x)dx ? ? b f 2 ( x)dx a a f ( x)dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx (a ? c ? b )
b c b a

变式训练: 求下列定积分 (1)

?

3 0

x 3 dx

(2)

?

?
0

sin xdx

(3)

?

2 0

1 dx x

3、微积分基本定理

类型三、定积分的综合问题 例 3、已知 f (a) ? 变式训练: 已知 f ( x) ?

五、课下作业 1.若 A.0

?

1

0

(2ax 2 ? a 2 x)dx, 求 f (a) 的最大值。

?

k

0

(2 x ? 3x 2 )dx ? 0 ,则 k 等于
B.1 C.O 或 1





D.不确定 ( )

?

x ?a

(12t ? 4a) dt , F ( a) ? ? 1 [ f ( x) ? 3a 2 ]dx 求函数 F (a) 的最小值. 0

2.把区间 ?1,3? n 等分,所得 n 个小区间的长度均为 A.

类型四、定积分的应用 例 4、 (1)试求曲线 y ? x ? 2 x ? 3 与直线 y ? x ? 3 所围成的图形的面积。
2

1 n

B.

2 n
1 0

C.

3 n

D.

1 2n
( )

1 (2)求由曲线 y ? x , y ? 2 ? x, y ? ? x 所围成图形的面积。 3
变式训练:计算由直线 y ? 6 ? x ,曲线 y ?

3.若 A.3 4.

?

1

0

f ( x)dx ? 3, 则? 2 f ( x)dx 等于
B.4 C.5 D.6

8 x 以及 x 轴所围图形的面积。

?

2

1

1 1 ( ? 2 )dx ? __________ _ x x
2

5.设函数 f ( x) ? ax ? c(a ? 0), 6.计算下列定积分 四、当堂检测 1、定积分 A.-6 2.

?

1

0

f ( x)dx ? f ( x0 ),0 ? x0 ? 1, 则x0的值为 ___________
?

? (?3)dx 等于
1

3

( C.-3 ( C.-2 (

) D.3 ) D.4 ) D.

(1)

?

2

1

1 dx x( x ? 1)

(2)

? ? (cos x ? 2
2 ? 2

x

)dx

B.6

?

?

0

sin xdx 等于

A.3 B.2 3.下列定积分等于 1 的是 A.

7.设函数 f (x) 是一次函数,且

?

1

0

f ( x)dx ? 5, ? xf ( x)dx ?
0

1

17 ,求 f (x) 的表达式. 6

? xdx
0

1

B.
1 1 3

? ( x ? 1)dx
0
1 1 0 0

1

C. 1dx
0

?

1

? 2dx
0

1

1

4.设 a ?

?

0

x dx, b ? ? x 2 dx, c ? ? x 3 dx ,则 a, b, c 的大小关系是 ( )
B. c ? a ? b C. a ? c ? b ( C. ? ? 2
2

A. a ? b ? c
?

D. c ? b ? a 8.在曲线 y ? x ( x ? 0) 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为
2

5.

? ? (1 ? cos x)dx 等于
2 ? 2

) D. ? ? 2

1 , 试求: (1) 12

A. ?

B.2

切点 A 的坐标 (2)过切点 A 的切线方程

6.求抛物线 y ? x ? x, 直线 x ? ?1 及 x 轴围成的图形的面积。