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函数的奇偶性与周期性


第四节 函数的奇偶性与周期性

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考 1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面:一是函数奇偶性概

1.结合具体函数,了解函数奇 偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研 究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周 期的含义,会判断、应用简单 函数的周期性.

念的应用,一般为求参数或求值,如 2012 年上海 T9 等,属 于容易题;二是综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等), 如 2012 年陕西 T2,福建 T7 等. 2.高考对函数周期性的考查,题型主要以选择题或填空的形 式出现,常涉及函数求值问题,且与函数的单调性、奇偶性 相结合命题,如 2012 年山东 T8 等.

[归纳· 知识整合] 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都 有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都 有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数 图象特点 关于 y 轴对称

奇函数

关于原点对称

[探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点?它是函数具有奇偶性的什么条件? 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,是否有 f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果 f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则 f(0)=0;如果 f(x)是偶函数时,f(0)不一定 为 0,如 f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如 f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷 多个.
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2.周期性 (1)周期函数: 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的任何值时, 都有 f(x +T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期. 4.若 T 为 y=f(x)的一个周期,那么 nT(n∈Z)是函数 f(x)的周期吗? 提示:不一定.由周期函数的定义知,函数的周期是非零常数,当 n∈Z 且 n≠0 时, nT 是 f(x)的一个周期. [自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)下列函数是奇函数的有( ①f(x)=2x +3x ; ②f(x)=x -2x; x2+1 ③f(x)= ;④f(x)=x3+1. x A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个
4 2 3

)

解析:选 B 首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称,然后由奇函数的定义逐个 判断可知,②③为奇函数. 2.(2013· 郑州模拟)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成 立的是( )

A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 解析:选 A ∵函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,∴f(-x)=f(x),g(-x) =-g(x). 令 F(x)=f(x)+|g(x)|, F(-x)=f(-x)+|g(-x)| =f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=F(x). 故 F(x)为偶函数.即 f(x)+|g(x)|是偶函数. 5? 3.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f? ?-2?=( 1 A.- 2 1 B.- 4 )

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1 C. 4

1 D. 2

解析:选 A ∵f(x)是周期为 2 的奇函数, 5? ?5? ?5 ? ∴f? ?-2?=-f?2?=-f?2-2? 1? 1 ? 1? 1 =-f? ?2?=-2×2×?1-2?=-2. 4.(2012· 重庆高考)若 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数 a=________. a-4 解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a 为二次函数,其图象的对称轴为 x=- ,因为偶函数 2 a-4 的图象关于 y 轴对称,所以- =0,解得 a=4. 2 答案:4 5.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 解析:∵当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x, ∴当 x∈(0,1)时,f(x)<0, 当 x∈(1,+∞)时,f(x)>0. 又∵函数 f(x)为奇函数, ∴当 x∈(-1,0)时,f(x)>0;当 x∈(-∞,-1)时, f(x)<0. ∴满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞). 答案:(-1,0)∪(1,+∞)

判断函数的奇偶性

[例 1] 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)= (2)f(x)= 3-x2+ 4-x2 ; |x+3|-3 1-x . 1+x x2-3;

(3)f(x)=(x+1)

[自主解答]

2 ? ?3-x ≥0, (1)由? 2 ?x -3≥0, ?

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得 x=- 3或 x= 3. ∴函数 f(x)的定义域为{- 3, 3}. 又∵对任意的 x∈{- 3, 3}, -x∈{- 3, 3}, 且 f(-x)=-f(x)=f(x)=0. ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.
2 ? ?4-x ≥0, ? (2)∵ ?|x+3|≠3, ?

∴-2≤x≤2 且 x≠0. ∴函数 f(x)的定义域关于原点对称. 又∵x+3>0, 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = . x x+3-3 又 f(-x)= 4-?-x?2 , -x

∴f(-x)=-f(x).∴f(x)为奇函数. 1-x ? ? ≥0, (3)由?1+x 得-1<x≤1. ? ?1+x≠0, ∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

若将本例(1)改为“f(x)= 解:∵函数 f(x)=

3-2x+ 2x-3”,试判断其奇偶性.
? ?

?3? 3-2x+ 2x-3的定义域为?2?,不关于坐标原点对称,

∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

—————

—————————————— 判断函数奇偶性的方法

(1)首先确定函数的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则既不是奇函数也 不是偶函数. (2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断: ①定义判断:f(-x)=f(x)?f(x)为偶函数, f(-x)=-f(x)?f(x)为奇函数. ②等价形式判断:f(-x)-f(x)=0?f(x)为偶函数,
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f(-x)+f(x)=0?f(x)为奇函数.或等价于 f(x)为奇函数.

f?-x? f?-x? =1,则 f(x)为偶函数; =-1,则 f?x? f?x?

(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行. (4)对于抽象函数奇偶性的判断,应充分利用定义,巧妙赋值,通过合理、灵活地变形 配凑来判定.

1.判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg
?x2+x?x>0?, ? 1-x ;(2)f(x)=? 2 1+x ?x -x?x<0?; ?

(3)f(x)=

lg?1-x2? . |x2-2|-2

1-x 解:(1)由 >0?-1<x<1, 1+x 定义域关于原点对称. 又 f(-x)=lg 1+x ?1-x?-1=-lg1-x=-f(x), =lg? ? 1-x 1+x ?1+x?

故原函数是奇函数. (2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 又当 x>0 时,f(x)=x2+x,则当 x<0 时, -x>0,故 f(-x)=x2-x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x2-x,则当 x>0 时,-x<0,故 f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函 数.
2 ? ?1-x >0, ? (3)由 2 得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称, ?|x -2|-2≠0, ?

lg?1-x2? lg?1-x2? ∴f(x)= =- . 2 x2 -?x -2?-2 lg[1-?-x?2] lg?1-x2? ∵f(-x)=- =- =f(x), 2 x2 ?-x? ∴f(x)为偶函数. 函数奇偶性的应用

[例 2] (1)(2012· 上海高考)已知 y=f(x)+x2 是奇函数, 且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2, 则 g(- 1)=________.

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?x+1?2+sin x (2)(2012· 新课标全国卷)设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+ x2+1 m=________. [自主解答] (1)令 H(x)=f(x)+x2,则 H(1)+H(-1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,则 f(-1) =-3, 故 g(-1)=f(-1)+2=-1. (2)将函数化简,利用函数的奇偶性求解. f(x)= ?x+1?2+sin x 2x+sin x =1+ 2 , 2 x +1 x +1

2x+sin x 设 g(x)= 2 ,则 g(-x)=-g(x), x +1 因此 g(x)是奇函数,由奇函数图象的对称性知 g(x)max+g(x)min=0, 则 M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min =2+g(x)max+g(x)min=2. [答案] (1)-1 (2)2 ————— —————————————— 与函数奇偶性有关的问题及解决方法 (1)已知函数的奇偶性,求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构 造关于 f(x)的方程(组),从而得到 f(x)的解析式. ?3?已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法:利用 f?x?± f?- x?=0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解. ?4?应用奇偶性画图象和判断单调性,利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另 一区间上的单调性.

2.(1)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则 f(-1) =( ) A.-3 C.1 B.-1 D.3

(2)已知函数 f(x)在区间[-5,5]上是奇函数,在区间[0,5]上是单调函数,且 f(3)<f(1),则 ( ) A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(-1)
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C.f(-1)<f(1)

D.f(-3)>f(-5)

解析:(1)选 A 因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=20+2×0+b=0,解得 b =-1.所以当 x≥0 时,f(x)=2x+2x-1,所以 f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3. (2)选 A 函数 f(x)在区间[0,5]上是单调函数, 又 3>1, 且 f(3)<f(1),故此函数在区间[0,5] 上是减函数. 由已知条件及奇函数性质,知函数 f(x)在区间[-5,5]上是减函数. 选项 A 中,-3<-1,故 f(-3)>f(-1). 选项 B 中,0>-1,故 f(0)<f(-1). 同理选项 C 中 f(-1)>f(1),选项 D 中 f(-3)<f(-5). 函数的周期性及其应用

[例 3] (1)(2012· 山东高考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1 时, f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012)=( A.335 C.1 678 B.338 D.2 012 )

(2)(2012· 江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)= ax+1,-1≤x<0, ? ? 1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?bx+2 ?2?=f?2?,则 a+3b 的值为________. ,0≤x≤1, ? ? x+1 [自主解答] (1)由 f(x+6)=f(x)可知,函数 f(x)的周期为 6,所以 f(-3)=f(3)=-1,f(- 2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有 f(1) +f(2)+?+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以 f(1)+f(2)+?+f(2 012)=f(1)+f(2)+335×1 =1+2+335=338. 3? ? 1? 1? (2)因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 所以 f? 且 f(-1)=f(1), 故 f? ?2?=f?-2?, ?2? 1 b+2 2 1 1 - ?,从而 =f? =- a+1,即 3a+2b=-2.① ? 2? 1 2 +1 2 b+2 由 f(-1)=f(1),得-a+1= ,即 b=-2a.② 2 由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10. [答案] (1)B ————— (2)-10 —————————————— 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数, 且周期为 T,
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函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题 时,要注意结论:若 T 是函数的周期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期.

3.(1)(2013· 济宁模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且是以 2 为周期的周期函 数.若当 x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则 f?

?

log 1 6?
2

?

的值为(

)

5 A.- 2 1 C.- 2

B.-5 D.-6

(2)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+1)=-f(x),若 f(x)在[-1,0]上是减函 数,那么 f(x)在[1,3]上是( A.增函数 C.先增后减的函数 ) B.减函数 D.先减后增的函数

3 解析:(1)选 C ∵-3<log 1 6<-2,∴-1<log 1 6+2<0,即-1<log 1 <0.∵f(x)是周期 2
2 2 2

为 2 的奇函数, 3? 3? 3 ? ? 3 1 log2 ?=-?2 log 2 2 -1?=- . ∴f(log 1 6)=f?log 1 2?=-f?-log 1 2?=-f? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?
2

(2)选 D 由 f(x)在[-1,0]上是减函数,又 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(x)在[0,1]上是增 函数. 由 f(x+1)=-f(x),得 f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x), 故 2 是函数 f(x)的一个周期. 结合以上性质,模拟画出 f(x)部分图象的变化趋势,如下图.

由图象可以观察出,f(x)在[1,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数.

2 个特点——奇、偶函数的定义域及关系式的特点 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性 的必要不充分条件. (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.

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5 个性质——函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于 原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. f(0)=0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件. (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函 数的和(或差)”. (5)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ×奇=偶,偶+偶=偶,奇×偶=奇. 3 种方法——函数奇偶性的判断方法 判断函数的奇偶性一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 3 条结论——关于函数周期性常用的结论 (1)若满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以 2a 是函数 的一个周期(a≠0); (2)若满足 f(x+a)= 个周期(a≠0); 1 (3)若函数满足 f(x+a)=- ,同理可得 2a 是函数的一个周期(a≠0). f?x? 1 1 ,则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]= =f(x),所以 2a 是函数的一 f?x? f?x+a?

创新交汇——与奇偶性、周期性有关的交汇问题

1.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在 一起命制试题,其中奇偶性多与单调性相结合,而周期性常与抽象函数相结合,并以结合奇 偶性求函数值为主. 2.根据奇偶性的定义知,函数的奇偶性主要体现为 f(-x)与 f(x)的相等或相反关系,而 根据周期函数的定义知, 函数的周期性主要体现为 f(x+T)与 f(x)的关系, 它们都与 f(x)有关, 因此,在一些题目中,函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一 种对称关系, 而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律, 因此, 在解题时, 往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性,即实现区间的转换, 再利用单调性来解决相关问题. [典例] (2012· 辽宁高考)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x), f(x)=f(2-x), 且当 x∈[0,1] 1 3 - , ?上的零点个数为( 时, f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos(πx)|, 则函数 h(x)=g(x)-f(x)在? ? 2 2?
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)

A.5 C.7

B.6 D.8

[解析] 由题意知函数 f(x)是偶函数, 且周期是 2.作出 g(x), f(x) 1 3? 的函数图象,如图.由图可知函数 y=g(x),y=f(x)在? ?-2,2?图象 1 3? 有 6 个交点,故 h(x)=g(x)-f(x)在? ?-2,2?上的零点有 6 个. [答案] B [名师点评] 1.本题具有以下创新点 (1)命题方式创新:本题是以数学符号语言交代了函数 f(x)的奇偶性及周期性,考查了自 然语言与符号语言转化的能力. (2)考查内容创新:本题考查幂函数、三角函数及函数的交汇零点,且将数形结合思想 融会其中,较好地考查了探究能力和逻辑推理能力. (3)解题方法创新:本题也可以通过巧妙转化,将 x3=xcos πx 转化为我们熟悉的二次函 数与周期函数间的关系,即 x>0 时,x2=|cos πx|而使问题得以简单解决. 2.解决本题的关键有以下几点 (1)正确识别函数 f(x)的性质; (2)注意到 x=0 是函数 h(x)的一个零点,此处极易被忽视; (3)正确画出函数的图象,将零点问题转化为函数图象的交点问题. [变式训练] 1.(2013· 衡阳六校联考)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x +2)=-f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 011)+f(2 012)=( A.1+log23 C.-1 B.-1+log23 D.1 )

解析:选 C ∵f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数, ∴f(-2 011)=f(2 011). 当 x≥0 时, f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 则 f(x)是以 4 为周期的函数. 注意到 2 011=4×502 +3,2 012=4×503, ∴f(2 011)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-log2(1+1)=-1,f(2 012)=f(0)=log21=0. ∴f(-2 011)+f(2 012)=-1. 2.(2013· 朝阳模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,都有 f(x +2)=f(x).当 0≤x≤1 时,f(x)=x2.若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个 不同的公共点,则实数 a 的值是( )

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A.0 1 1 C.- 或- 4 2 解析:选 D ∵f(x+2)=f(x),∴T=2.

1 B.0 或- 2 1 D.0 或- 4

又 0≤x≤1 时,f(x)=x2,可画出函数 y=f(x)在一个周期内的图象如图.

显然 a=0 时,y=x 与 y=x2 在[0,2]内恰有两个不同的公共点. 另当直线 y=x+a 与 y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点,由题意知 y′= 1 (x2)′=2x=1,∴x= . 2 1 1? 1 ∴A? ?2,4?,又 A 点在 y=x+a 上,∴a=-4, 1 综上可知 a=0 或- . 4

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2012· 陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y= x B.y=-x3 D.y=x|x| )

解析:选 D 由函数的奇偶性排除 A,由函数的单调性排除 B、C,由 y=x|x|的图象可 知当 x≥0 时此函数为增函数,又该函数为奇函数. 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),则 f(8)=( A.0 C.2 B.1 D.3 )

解析:选 A 由题意,f(x)是以 4 为周期的奇函数, 则 f(4)=f(4+0)=f(0)=0,f(8)=f(4+4)=f(4)=0. f?x?+f?-x? 3.设偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0,则不等式 >0 的解集为 x ( ) A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2)

f?x?+f?-x? 2f?x? 解析:选 B ∵f(x)为偶函数,∴ = >0, x x
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∴xf(x)>0,
? ?x<0, ?x>0, ? ∴? 或? 又 f(-2)=f(2)=0,f(x)在(0,+∞)上为减函数,∴x∈(0,2)或 x ?f?x?<0. ?f?x?>0, ? ?

∈(-∞,-2).
?1-2 x,x≥0, ? 4.已知函数 f(x)=? x 则该函数是( ? ?2 -1,x<0,


)

A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减
- -

解析: 选 C 当 x>0 时, -x<0, f(-x)+f(x)=(2 x-1)+(1-2 x)=0; 当 x<0 时, -x>0, f(-x)+f(x)=(1-2x)+(2x-1)=0,易知 f(0)=0.因此,对任意 x∈R,均有f?-x?+f(x)=0, 即函数 f(x)是奇函数.当 x>0 时,函数 f(x)是增函数,因此函数 f(x)单调递增. 5.(2013· 广州模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上 是增函数,则( ) B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25)

解析: 选 D 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知 f(x)在[-2,2]上递增, 又 f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x),故函数 f(x)以 8 为周期,f(-25)=f(-1),f(11) =f(3)=-f(3-4)=f(1),f(80)=f(0),故 f(-25)<f(80)<f(11). 6. 函数 f(x)是周期为 4 的偶函数, 当 x∈[0,2]时, f(x)=x-1, 则不等式 xf(x)>0 在[-1,3] 上的解集为( A.(1,3) C.(-1,0)∪(1,3) 解析:选 C f(x)的图象如图. ) B.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1)

当 x∈(-1,0)时,由 xf(x)>0 得 x∈(-1,0); 当 x∈(0,1)时,由 xf(x)<0 得 x∈?; 当 x∈(1,3)时,由 xf(x)>0 得 x∈(1,3). 故 x∈(-1,0)∪(1,3). 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.若函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则 a=________,b= ________.

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1 解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,所以 a-1=-2a,解得 a= . 3 1 又函数 f(x)= x2+bx+b+1 为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得 b=0. 3 1 答案: 0 3 8. 若偶函数 y=f(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数, 且满足 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), 则 f(-6)等于________. 解析:∵y=f(x)为偶函数,且 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), ∴f(x)=x2+(1-a)x-a,1-a=0. ∴a=1.f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3). f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1. 答案:-1 2a-1 9. (2013· 徐州模拟)设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 3 的奇函数, 若 f(1)<1, f(2)= , a+1 则 a 的取值范围是________. 解析:∵f(x)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)<1. 2a-1 3a ∴f(-1)>-1.又∵f(x)的周期为 3, ∴f(-1)=f(2)= >-1.即 >0, 解得 a>0 或 a< a+1 a+1 -1. 答案:(-∞,-1)∪(0,+∞) 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求不等式 1? f(x? ?x-2?<0 的解集. 解:∵y=f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1)=0. 又∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上是增函数, 1 x- ?<0=f(1),∴ 若 f(x? ? 2?

? ?x? ?x-2?>0, ? ? 1? ?x?x-2?<1,

1

1 1+ 17 1- 17 1 x- ?<1,解得 <x< 即 0<x? 或 <x<0. 2 ? ? 2 4 4 x- ?<0, x? ? 2? ? 1 x- ?<0=f(-1),∴? f(x? ? 2? 1? ?x? ?x-2?<-1.
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1

1? ∴x? ?x-2?<-1,解得 x∈?. 1+ 17 1- 17 1 ∴原不等式的解集是 x <x< 或 <x<0. 2 4 4 a 11.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2 对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=(-x)2=x2=f(x). 故 f(x)为偶函数; a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R), x 取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0; f(-1)-f(1)=-2a≠0, 即 f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). 故函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)设 2≤x1<x2, a a 2 f(x1)-f(x2)=x2 1+ -x2- x1 x2 = ?x1-x2? [x1x2(x1+x2)-a], x1x2

要使函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,必须 f(x1)-f(x2)<0 恒成立, ∵x1-x2<0,∴x1x2(x1+x2)-a>0, 即 x1x2(x1+x2)>a 恒成立. 又∵x1+x2>4,x1x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16. ∴a 的取值范围是(-∞,16]. 12.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区间. 解:(1)由 f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, 所以 f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x),得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即 f(1+ x)=f(1-x).

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故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则-1≤x≤0 时 f(x)=x, 则 f(x)的图象如图所示. 1 ? 当-4≤x≤4 时, 设 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S, 则 S=4S△OAB=4×? ?2×2×1? =4. (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z), 单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z).

1.若函数 f(x)=3x+3 x 与 g(x)=3x-3 x 的定义域均为 R,则
- -

A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 解析:选 D ∵f(x)=3x+3 x,g(x)=3x-3 x,
- -

∴f(-x)=3 x+3x=f(x),g(-x)=3 x-3x=-g(x).
- -

∴f(x)为偶函数,g(x)为奇函数. 2.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x)等于( A.ex-e
-x

)

1 - B. (ex+e x) 2 1 - D. (ex-e x) 2

1 - C. (e x-ex) 2

解析:选 D ∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). ∴f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e x.


又∵f(x)+g(x)=ex, ex-e x ∴g(x)= . 2


3.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( A.6 C.8 B.7 D.9 )

解析:选 B ∵f(x)是最小正周期为 2 的周期函数, 且 0≤x<2 时, f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1),
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∴当 0≤x<2 时,f(x)=0 有两个根, 即 x1=0,x2=1. 由周期函数的性质知,当 2≤x<4 时,f(x)=0 有两个根, 即 x3=2,x4=3; 当 4≤x<6 时,f(x)=0 有两个根, 即 x5=4,x6=5, x7=6 也是 f(x)=0 的根. 故函数 f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴交点的个数为 7. 4.定义在(-1,1)上的函数 f(x). (ⅰ)对任意 x,y∈(-1,1)都有:f(x)+f(y)=f?

? x+y ?; ? ?1+xy?

(ⅱ)当 x∈(-1,0)时,f(x)>0,回答下列问题. (1)判断 f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性,并说明理由; 1? 1 ?1? ? 1 ? ? 1 ? (3)若 f? ?5?=2,试求 f?2?-f?11?-f?19?的值. 解:(1)令 x=y=0?f(0)=0, 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=0?f(-x)=-f(x)?f(x)在(-1,1)上是奇函数. (2)设 0<x1<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f? 而 x1-x2<0,0<x1x2<1? 又

? x1-x2 ?, ? ?1-x1x2?

x1-x2 <0, 1-x1x2

x1-x2 ?1+x1??1-x1? -(-1)= >0, 1-x1x2 1-x1x2

x1-x2 ? x1-x2 ?>0, 故-1< <0.则 f? ? 1-x1x2 ?1-x1x2? 即当 0<x1<x2<1 时,f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,1)上单调递减. 1? ?1? (3)由于 f? ?2?-f?5? 1? ? 1? =f? ?2?+f?-5?

? 2-5 ? ?1? =f? 1 ?=f?3?. 1- ? 2×5?
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1 1

1? ? 1 ? ?1? 同理,f? ?3?-f?11?=f?4?, 1? ? 1 ? ?1? f? ?4?-f?19?=f?5?, 1? ? 1 ? ? 1 ? ∴f? ?2?-f?11?-f?19? 1? 1 =2f? ?5?=2×2=1.

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