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2019年第七章__季节性时间序列分析方法.ppt_图文

第七章 季节性时间序列分析方 法
第一节 简单随机时序模型 第二节 乘积季节模型 第三节 季节时序模型的建立

第一节 简单随机时序模型
一、季节时间序列 在一个时间序列中,若经过s个时间间隔后呈现出相似性, 我们就说该序列具有以s为周期的周期特性。具有周期 特性的序列就称为季节时间序列。S为周期长度,一个 周期内所包含的时间点成为周期点。对于月份资料来 说,基本时间间隔为1个月,周期为 12(即S=12), 同一个周期内有12个周期点;对于季度资料,基本时 间间隔为一个季度,周期为4(即S=4),同一个周期 内有四个周期点;一季度、二季度、三季度、四季 度.S也可能取其它一些值,例如,S=7(星期因素)等.

二 随机季节模型
? 在确定性时序分析中.常用的处理方法是 对季节时间季节分量拟合一个三角函数 或求一个固定的季节指数。而随机季节 模型,是对季节性随机序列中不同周期 的同一周期点之间的相关关系的拟合。 如周期为12个月的月份资料,就是研究 不同年份的同一个月份的观察值之间的 记忆性。

将(1 ? BS ) D X t 记作Wt , 则一阶自回归季节模型 为: Wt ? ?1Wt ?s ? et 或 (1 ? ?1BS )Wt ? et
D 若还原为X t 序列,有: (1 ? ?1BS )?S X t ? et

(7.1.1) (7.1.2) (7.1.3) (7.1.4)

同样,一阶移动平均季 节模型 Wt ? et ? ?1et ? s 或
D S

Wt ? (1 ? ?1BS )et
S

还原为 X t 序列,有: ? X t ? (1 ? ?1B )et

推而广之,季节模型的 ARMA形式 U ( B S )Wt ? V ( B S )et
D 或 U ( B S )? S X t ? V ( B S )et

(7.1.5) (7.1.6)

其中, U ( B S ) ? 1 ? u1 B S ? u2 B 2 S ? ? ? u p B pS V ( B S ) ? 1 ? v1 B S ? v2 B 2 S ? ? ? vq B qS 这里,et 是原序列消除了周期点 之间相关部分(即季节 分量)之后 的剩余序列。et 不一定独立。因为我们 仅消除了不同周期的同 一周期点上 的相关部分,作为响应 系统,除了不同周期的 同一周期点之间具有一 定相关 随机季节模型有一定的 不足,在一定程度上说 它是一个不完备的模型 。

关系外,同一周期的不 同周期点之间也有可能 具有一定的相关关系。 因此,

第二节 乘积季节模型
一、乘积季节模型的一般形式
在随机季节模型中,由于序列et 不是独立的,因此不妨假设et 适合一个ARIMA(n, d , m),则有 ? ( B)? d et ? ?( B ) at (7.2.1) 其中, ? ( B) ? 1 ? ?1B ? ? 2 B 2 ? ? ? ? n B n ?( B) ? 1 ? ?1B ? ? 2 B 2 ? ? ? ? m B m at 为白噪声序列。若将(7.1.6)式与(7.2.1)式结合起来,即先在 (7.1.6)式的两端同乘以 ? ( B)? d,得
D ? ( B)U(BS )? d ? S X t ? V(BS )? ( B)? d et

(7.2.2) (7.2.3)

再将(7.2.1)式代入 (7.2.2)式,得
D ? (B)U(BS )? d ? S X t ? V(BS )?( B ) at

这里,? ( B )? d X t 仅表示同一周期内不同周期点
D 的相关关系;而U ( B )? S 则描述不同周期的同一周

期点上的相关关系;二者结合起来,便同时刻画了 两个因素的作用。从(7.2.3)式形式上看,它是随机 季节模型与ARIMA 模型的结合式,故称之为乘积 季节模型,其阶数用(n, d , m) ? ( p, D, q ) s 表示。

二、常用的随机季节模型
1 ( . 1 ? B12 )(1 ? B) X t ? (1 ? ? 1 B)(1 ? ? 12 B12 )at ( 7.2.5 ) 该模型事实上由两个模 型组合而成的;一个是 ( 1 ? B12 ) X t ? (1 ? ? 12 B 12 )et, 另一个是:(1 ? B)et ? (1 ? ? 1 B)at ( 7.2.5a) ( 7.2.5b) 它是只考虑不同年份同 月之间的资料之间的相 互关系。 它刻画的是同年不同月 之间的相关关系。将二 者结合 起来便得到( 7.2.5 )式,就是同时考虑各 年同月和同年 各月之间相关关系的模 型。这个模型最早用于 国际航运资料, 故称之为Airline 模型。

2.(1 ? B12 ) X t ? (1 ? ?1 B)(1 ? ?12 B12 )at
显然这个模型也是由两个模型组合而成:一个是 ( 1 ? B12 ) X t ? (1 ? ? 12 B12 )et 它刻画不同年份同月的资料之间 的相关关系;另一个是 et ? (1 ? ? 1 B)at 它表示同年不同月份 之间几乎不存在依赖关系,但受前一期扰动的影响,即时间 序列资料消除了季节因素之后适合一个MA( 1 )模型。

更一般的情况是 (7.2.5)和(7.2.6)两个模型中的同期长度 12 3( . 1 ? B S ) X t ? C ? (1 ? ?1 B)(1 ? ? S B S )at 4( . 1 ? B) X t ? (1 ? ? S B S )at 5 ( . 1 ? B S ) X t ? (1 ? ? S B S )at 6 ( . 1 ? ?B( ) 1 ? B S ) X t ? (1 ? ? S B S )at 7 ( . 1 ? ?B ) X t ? C ? (1 ? ?B)at
S

可以用S替代。同时,分析以下 各模型的构成和适用条 件:

第三节 季节时序模型的建立
积型季节模型的识别、定阶、参数估计及 适应性检验,基本上也是以随机序列的 样本自相关、偏自相关函数为依据的。 因此需要讨论季节模型周期点的自相关 和偏自相关函数。

一、季节性MA模型的自相关函数
设某一季节性时间序列的季节性,即各周期点之间的相关性 可用:X t ? (1 ? ? S B S )et ( 7.3.1 ) 而et 又适合于一个MA( 1 )模型,即et ? (1 ? ? 1 B)at ( 7.3.2 ) 二式结合得:X t ? (1 ? ? 1 B)(1 ? ? S B S )at ( 7.3.3 ) 这是一个周期为S的季节性MA(1)模型,即(0,0,1) ? (0,0,1) S 模型。 将( 7.3.3 )式展开,可得 X t ? at ? ? 1 at ?1 ? ? S at ?S ? ? 1? S at ?S ?1( 7.3.4 ) 当S ? 12时,( 7.3.4 )为 X t ? at ? ? 1 at ?1 ? ? 12 at ?12 ? ? 1? 12 at ?13 ( 7.3.5 ) 显然( 7.3.5 )式是一个MA( 13 )模型,但除? 1和? 12 外,其余系数 均为零。

根据第三章的内容, 不难求得其自相关系数:
2 2 2 ? 0 ? Var ( X t ) ? (1 ? ? 12 ? ? 12 ? ? 12? 12 )? a2 ? (1 ? ? 12 )(1 ? ? 12 )? a2 ? ?1 ?1 ? , ? 2 ? ? 3 ? ? ? ?10 ? 0 2 1 ? ?1 ? 1? 12 - ? 12 ? 1? 12 ?11 ? , ?12 ? , ?13 ? 2 2 2 2 (1 ? ? 1 )(1 ? ? 12 ) 1 ? ? 12 (1 ? ? 12 )(1 ? ? 12 ) ? 14 ? ? 1 5 ? ? ? 0 可见,?1 事实上是模型( 7 .3 . 2 )的一阶自相关系数,而?12

则是模型7.3.1式一阶自相关系数。

类似地,当各周期点之间的关系适合于一个MA(m)模型时, 有 X t ? ?(B)(1 ? ? S BS )a t (7.3.6) 其中, ?(B) ? 1 - ? 1 B - ? 2 B 2 ? ? ? ? m B m 因此,上式可以等价地写成 X t ? (1 - ? 1 B - ? 2 B 2 ? ? ? ? m B m ? ? S BS ? ? 1? S BS?1 ? ? ? ? m? S BS?m )at 这样就可很容易求得自相关函数。当然,还可推广为更一般的情形 即: X t ? ?(B)V(BS)a t ( 7.3.7 ) 其中,V(BS)? 1 ? V1 B S ? V2 B 2 S ? ? ? Vq B qS

二、季节性AR模型的偏自相关函数
利用同样的思路,我们 可以得到季节性 AR( 1 )模型。 ( 1 ? ?1 B )(1 ? ? S B S ) X t ? at 于是可求得偏自相关函 数。 同样可推广到AR(n)模型 ( 1 ? ?1 B ? ? 2 B 2 ? ? ? ? n B n )(1 ? ? S B S ) X t ? at (7.3.9) 或更一般的情形 ? ( B )U ( B S ) X t ? at (7.3.10) ( 1 ? ?1 B ? ? 2 B 2 ? ? ? ? n B n )(1 ? v1 B S ? v2 B 2 S ? ? v p B pS ) X t ? at 当求得第(n ? 1)阶、 (n ? 2)阶 ?? 等偏自相关函数,可根据 其在同期点的截尾性来 判断模型的阶数。 (7.3.8) 展开得: ( 1 ? ?1 B ? ? S B S ? ?1? S B S ?1 ) X t ? at

三、季节性模型的建模方法
利用B-J建模型方法来建立季节性时间序 列模型,首先需要判明周期性,即S的取 值,然后根据自相关和偏自相关函数提 供的信息来判别模型的类型(AR、MA 和ARMA)和阶数,最后进行参数估计 和检验,具体步骤可概括如下:

第一步,对时间序列进行差分和季节差分以得到 一个平稳序列。 第二步,计算差分后序列的自相关和偏自相关函 数,选择一个暂定(尝试性的)模型。 第三步,由差分序列的适当自相关和偏自相关值 求得模型的初始估计值。并将这些估计值作为 最小二乘估计的初始值,对模型参数进行最小 二乘估计。 第四步,对估计得到的暂定模型的剩余进行适应 性检验,决定是否接受暂定模型。当模型的适 应性检验表明暂定模型不是最优模型时,可根

据检验所提供的有关改进模型的信息,重新拟合 改进模型,并对其进行适应性检验,直至得到 最优模型为止。 需要提出的是,通常D不会超过一阶;特别对 于S=12的月份序列,季节AR算子和MA算子的 阶数很少超过一阶。这对于我们应用时序分析 研究周期规律性是很有意义的。 例:(P189)以1987年到1996年某商品各月销售 量资料为例,说明建模型方法。