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江苏省淮安市涟水中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省淮安市涟水中学高一(上)期末数学试卷

一、填空题(共 14 题,每小题 5 分,共 70 分) 1.集合 A={1,2,4,6,7},B={3,4,5,7},则 A∩B=__________.

2.函数 f(x)=2 +3 (﹣1≤x≤2)的最大值是__________.

x

x

3.函数 f(x)=2sin(3x﹣

)的最小正周期是__________.

4.已知 __________.

, =(﹣2

) ,则 与 的夹角为

5. =(x,﹣1) , =(log23,1) ,若 ∥ ,则 4 +4 =__________.

x

﹣x

6.若

,则

=__________.

7.方程 lgx=4﹣2x 的根 x∈(k,k+1) ,k∈Z,则 k=__________.

8.若 f(x)=asinx+3cosx 是偶函数,则实数 a=__________.

9.sin34°sin64°+cos34°sin26°的值是 __________.

10.已知 =(3,2) , =(﹣2,3) ,则 ?( + )的值是 __________.

11.将函数 y=sinx 的图象向右平移三个单位长度得到图象 C,再将图象 C 上的所有点的横坐 标变为原来的 倍(纵坐标不变)得到图象 C1,则 C1 的函数解析式为 __________.

12. 如图, 菱形 ABCD 的边长为 1, ∠ABC=60°, E、 F 分别为 AD、 CD 的中点, 则

=__________.

13.已知函数 f(x)=﹣sin x+2sinx+a,若 f(x)=0 有实数解,则 a 的取值范围是 __________.

2

14.下列命题: ①函数 y=sin(2x+ ②函数 y= )的单调减区间为,k∈Z; ,0) ;

cos2x﹣sin2x 图象的一个对称中心为( )在区间上的值域为;

③函数 y=sin( x﹣

④函数 y=cosx 的图象可由函数 y=sin(x+ ⑤若方程 sin(2x+

)的图象向右平移

个单位得到; .

)﹣a=0 在区间上有两个不同的实数解 x1,x2,则 x1+x2=

其中正确命题的序号为 __________.

二、解答题(共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.把答题过程 写在答题纸中规定的位置上.答错位置的该题不给分) 15. (14 分) (1)已知全集 U=R,集合 A={x|1≤x﹣1<3},B={x|2x﹣9≥6﹣3x}. 求: (1)①A∪B; ②?U(A∩B) (2)化简: (﹣2x y ) (3x y ) (﹣4x y ) .

16. (14 分)已知 cos(α +β )=

,α ,β 均为锐角,求 sinα 的值.

17. (14 分)已知 tanθ =2 (1)求 tan( )的值;

(2)求 cos2θ 的值.

18. (16 分)已知向量 =(cosα ,1+sinα ) , =(1+cosα ,sinα ) . (1)若| + |= ,求 sin2α 的值;

(2)设 =(﹣cosα ,﹣2) ,求( + )? 的取值范围.

19. (16 分)已知向量 . (1)求 f(x)的最大值及相应的 x 的值; (2)若 ,求 的值.



,函数

20. (16 分)已知函数 f(x)=ax ﹣bx+1 (1)若 f(x)>0 的解集是(﹣3,4) ,求实数 a,b 的值; (2)若 b=a+2,且 f(x)在(﹣2,1)上恰有一个零点,求 a 的取值范围. (3)设 g(x)=2 条件. 对任意实数 x1,总存在实数 x2 使 f(x1)=g(x2) ,求 a,b 满足的

2

2014-2015 学年江苏省淮安市涟水中学高一(上)期末数学试卷

一、填空题(共 14 题,每小题 5 分,共 70 分) 1.集合 A={1,2,4,6,7},B={3,4,5,7},则 A∩B={4,7}.

考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:集合 A 和集合 B 的公共元素构成集合 A∩B,由此利用集合 A={1,2,4,6,7},集合 B={3,4,5,7},能求出集合 A∩B. 解答: 解:∵集合 A={1,2,4,6,7}, B={3,4,5,7}, ∴集合 A∩B={4,7}. 故答案为:{4,7}. 点评:本题考查集合的交集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

2.函数 f(x)=2 +3 (﹣1≤x≤2)的最大值是 13.

x

x

考点:函数的最值及其几何意义;指数函数的单调性与特殊点. 专题:计算题. 分析:直接利用指数函数的单调性以及两个增函数的和为增函数判断出 f(x)单增,从而在 端点处求出函数的最大值. 解答: 解:∵y=2 与 y=3 都是增函数 ∴f(x)=2 +3 为增函数 ∴当 x=2 时,f(x)有最大值 f(2)=4+9=13 故答案为:13 点评:本题主要考查了函数的单调性,解题的关键是 f(x)在 R 上增,g(x)在 R 上增,则 f (x)+g(x)在 R 上增,属于基础题.
x x x x

3.函数 f(x)=2sin(3x﹣

)的最小正周期是



考点:三角函数的周期性及其求法.

专题:三角函数的图像与性质. 分析:根据三角函数的周期性及其求法即可得解. 解答: 解:∵f(x)=2sin(3x﹣ ∴最小正周期 T= 故答案为: . . ) ,

点评:本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,属于基本知识的考查.

4.已知 120°.

, =(﹣2

) ,则 与 的夹角为

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:计算题. 分析:由内积公式知 再由三角函数值求角 解答: 解:已知 ∴ , =(﹣2 ) , =| || |cosθ 将两向量的坐标代入即可求得两向量夹角的余弦,

=﹣6+2=﹣4,| |=2,| |=4

∴﹣4=2×4×cosθ ∴cosθ =﹣ ∴θ =120
0

故答案为 120

0

点评:本题考查向量的内积公式,用内积公式的变形形式求两个向量的夹角.

5. =(x,﹣1) , =(log23,1) ,若 ∥ ,则 4 +4 =

x

﹣x



考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:平面向量及应用.

分析:由 ∥ ,可得:2 =3,利用 4 +4 =(2 +2 ) ﹣2,即可得出. 解答: 解:∵ ∥ , ∴﹣
﹣x

﹣x

x

﹣x

x

﹣x

2

﹣x=0,

化为:2 =3, ∴4 +4 =(2 +2 ) ﹣2= 故答案为: .
x ﹣x x ﹣x 2

﹣2=



点评:本题考查了向量共线定理、指数函数的运算性质、乘法公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题.

6.若

,则

=



考点:运用诱导公式化简求值. 专题:计算题. 分析:观察发现所求式子的角与已知式子的角之差为 ﹣ ) ,利用诱导公式 sin( )= ,故把所求式子中的角变形为 +(x

+α )=cosα 化简后,将已知式子的值代入即可求出值. , )= .

解答: 解:∵cos(x﹣ ∴sin(x+ 故答案为:

)=sin=cos(x﹣

点评:此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握公式,灵活变换角度是解本题的关键.

7.方程 lgx=4﹣2x 的根 x∈(k,k+1) ,k∈Z,则 k=1.

考点:函数的图象;根的存在性及根的个数判断. 专题:计算题. 分析: 将方程 lgx=4﹣2x 的解的问题转化为函数图象的交点问题解决, 先分别画出方程左右两 边相应的函数的图象,观察两个函数图象交点的横坐标所在的区间即可.

解答: 解:分别画出等式:lgx=4﹣2x 两边对应的函数图象:如图. 由图知:它们的交点 x0 在区间(1,2)内, 故 k=1. 故答案为:1.

点评:本小题主要考查对数函数的图象,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化 思想.属于基础题.对数函数的图象是对数函数的一种表达形式,形象地显示了函数的性质, 为研究它的数量关系提供了“形”的直观性.

8.若 f(x)=asinx+3cosx 是偶函数,则实数 a=0.

考点:偶函数. 分析:若偶函数 f(x)的定义域为 I,则? x∈I,都有 f(﹣x)=f(x) .根据 f(﹣x)=f(x) 恒成立解决本题. 解答: 解:∵f(x)=asinx+3cosx 是偶函数∴f(﹣x)=f(x) ,即 asin(﹣x)+3cos(﹣ x)=asinx+3cosx 恒成立. ∴﹣asinx+3cosx=asinx+3cosx 恒成立.∴2asinx=0 恒成立.∴a=0. 故答案为:0. 点评:函数奇偶性等性质的问题是考试最常见的问题之一,考查的基本思想方法有数形结合、 特殊值法、定义法.但在各种方法中,数形结合、特殊值法往往是解决问题最便捷的方法,而 定义法永远是最可靠的方法.

9.sin34°sin64°+cos34°sin26°的值是 .

考点:两角和与差的正弦函数. 专题:综合题. 分析:由 46°+26°=90°,利用诱导公式把 sin64°变为 cos26°,然后利用两角和的正弦函 数公式及特殊角的三角函数值即可求出原式的值. 解答: 解:sin34°sin64°+cos34°sin26° =sin34°sin(90°﹣26°)+cos34°sin26° =sin34°cos26°+cos34°sin26° =sin(34°+26°)=sin60°= 故答案为: 点评: 此题考查学生灵活运用诱导公式、 两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化 简求值,是一道综合题. .

10.已知 =(3,2) , =(﹣2,3) ,则 ?( + )的值是 13.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题. 分析:由已知中两个向量的坐标, =(3,2) , =(﹣2,3) ,我们易求出 + 的坐标,代入 平面向量数量积的运算公式,即可得到答案. 解答: 解:∵ =(3,2) , =(﹣2,3) ∴ + =(1,5) ∴ ?( + ) =3×1+2×5=13 故答案为:13

点评: 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算, 根据已知计算出参加运算的各向量的坐标 是解答本题的关键.

11.将函数 y=sinx 的图象向右平移三个单位长度得到图象 C,再将图象 C 上的所有点的横坐 标变为原来的 倍(纵坐标不变)得到图象 C1,则 C1 的函数解析式为 y=sin(2x﹣3) .

考点:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题:计算题. 分析:函数 y=sinx 的图象向右平移三个单位长度得到图象 C,求出函数解析式,再将图象 C 上的所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)得到图象 C1,求出函数的解析式,即可. 解答: 解:将函数 y=sinx 的图象向右平移三个单位长度得到图象 C,对应函数的解析式为: y=sin(x﹣3) ,再将图象 C 上的所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)得到图象 C1, 对应函数的解析式为:y=sin(2x﹣3) . 故答案为:y=sin(2x﹣3) . 点评:本题是基础题,考查函数图象的平移与伸缩变换,三角函数的平移原则为左加右减上加 下减.同时注意伸缩变换,ω 与 φ 的关系,仔细体会.

12.如图,菱形 ABCD 的边长为 1,∠ABC=60°,E、F 分别为 AD、CD 的中点,则

=



考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题. 分析:把要求的式子化为( 得要求的式子等于 1×1cos60°+ + + 1×1cos60°,运算求得结果. )?( ) ,再利用两个向量的数量积的定义可

解答: 解: =1×1cos60°+ 故答案为 .

=( +

)?(

)=

+ ,

+

+

+ 1×1cos60°= + =

点评:本题考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,把 要求的式子化为 ( )?( ) ,是解题的关键.

13.已知函数 f(x)=﹣sin x+2sinx+a,若 f(x)=0 有实数解,则 a 的取值范围是 .

2

考点:正弦函数的定义域和值域. 专题:计算题. 分析: 由题意可转化为 a=sin x﹣2sinx 有解, (﹣1≤sinx≤1) , 通过求解函数 y=sin x﹣2sinx (﹣1≤sinx≤1)的值域确定 a 的范围 解答: 解:∵sinx∈ 若 f(x)=0 有实数解? a=sin x﹣2sinx=(sinx﹣1) ﹣1 有解 y=sin x﹣2sinx 在区间上单调递减 从而 y=(sinx﹣1) ﹣1∈ a∈ 故答案为: 点评:本题主要以正弦函数的值域﹣1≤sinx≤1 为载体,考查二次函数在闭区间上的值域, 关键是要寻求﹣1≤sinx≤1,判断函数在区间上的单调性.
2 2 2 2 2 2

14.下列命题: ①函数 y=sin(2x+ ②函数 y= )的单调减区间为,k∈Z; ,0) ;

cos2x﹣sin2x 图象的一个对称中心为( )在区间上的值域为;

③函数 y=sin( x﹣

④函数 y=cosx 的图象可由函数 y=sin(x+ ⑤若方程 sin(2x+

)的图象向右平移

个单位得到; .

)﹣a=0 在区间上有两个不同的实数解 x1,x2,则 x1+x2=

其中正确命题的序号为 ①②⑤.

考点:正弦函数的单调性;正弦函数的对称性;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题:计算题. 分析:①令 +2kπ 可求 ,令 2x+ ,求出函数的对

②利用两角和的余弦公式化简可得 y= 称中心 ③由 可得

,结合正弦函数的图象可求函数的值域

④根据函数的图象平移法则:左加右减的平移法则可得 ⑤根据正弦函数的图象结合函数的对称性可得. 解答: 解: ①令 故①正确 ②y= k=0 时函数的一个对称中心( ③y= 数的图象可得﹣ ,当﹣ ≤y≤1,③错误 )的图象向右平移 个单位得到 y=sinx 的图象,故④错误 ,若使方程有两解,则两 ,令 2x+ ,0)②正确 ,结合正弦函 ,解得 x= +kπ , +2kπ , 解得 +kπ , k∈Z, ,

④由函数 y=sin(x+ ⑤令 y=sin(2x+ 解关于 x= 则 x1+x2=

) ,当 x

时,2x+

对称, ,故⑤正确

故答案为:①②⑤

点评:本题综合考查了三角函数 y=Asin(ω x+?) (A>0,ω >0)的性质:函数的单调区间的 求解,函数的对称中心的求解,函数在闭区间上的最值的求解及函数图象的平移,还用到了两 角和的余弦公式,而解决本题的关键是要熟练掌握并能灵活运用三角函数的图象.

二、解答题(共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.把答题过程 写在答题纸中规定的位置上.答错位置的该题不给分) 15. (14 分) (1)已知全集 U=R,集合 A={x|1≤x﹣1<3},B={x|2x﹣9≥6﹣3x}. 求: (1)①A∪B; ②?U(A∩B) (2)化简: (﹣2x y ) (3x y ) (﹣4x y ) .

考点:根式与分数指数幂的互化及其化简运算;交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析: (1)根据集合的基本运算进行求解, (2)根据指数幂的运算法则进行化简即可. 解答: 解: (1)A={x|1≤x﹣1<3}={x|2≤x<4},B={x|2x﹣9≥6﹣3x}={x|x≥3}. 则 A∪B{x|x≥2},A∩B={x|3≤x<4}, 则?U(A∩B)={x|x<3 或 x≥4}. (2)原式=24 =24x y =24y.
0 1

点评:本题主要考查集合的基本运算以及指数幂的计算,比较基础.

16. (14 分)已知 cos(α +β )=

,α ,β 均为锐角,求 sinα 的值.

考点:两角和与差的正弦函数. 专题:计算题. 分析: 由α , β 的范围得出 α +β 的范围, 然后利用同角三角函数间的基本关系, 由 cos (α +β ) 和 cosβ 的值,求出 sin(α +β )和 sinβ 的值,然后由 α =(α +β )﹣β ,把所求的式子 利用两角差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入即可求出值. 解答: 解:由 ,

根据 α ,β ∈(0,

) ,得到 α +β ∈(0,π ) ,

所以 sin(α +β )= 则 sinα =sin

=

,sinβ =

= ,

=sin(α +β )cosβ ﹣cos(α +β )sinβ = × ﹣ × = .

点评: 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简求 值,是一道基础题.做题时注意角度的变换.

17. (14 分)已知 tanθ =2 (1)求 tan( )的值;

(2)求 cos2θ 的值.

考点:两角和与差的正切函数;二倍角的余弦. 专题:计算题. 分析: (1)根据 tanθ 的值,运用两角差的正切公式求 tan(
2

﹣θ )的答案.
2 2

(2)根据 tanθ 求得 sinθ 和 cosθ 的关系,进而与 sin θ +cos θ =1 联立方程求得 cos θ , 进而用二倍角公式求得答案. 解答: 解: (1)∵tanθ =2

∴tan(

﹣θ )=

=﹣

(2)∵tanθ =2 ∴
2

=2,即 sinθ =2cosθ ①
2

又∵sin θ +cos θ =1② 由①②得 cos θ = ∴cos2θ =2cos θ ﹣1=﹣
2 2

点评:本题主要考查了两角和与差的正切函数,与现代二倍角公式等.对三角函数的公式平时 应注意多积累.

18. (16 分)已知向量 =(cosα ,1+sinα ) , =(1+cosα ,sinα ) . (1)若| + |= ,求 sin2α 的值;

(2)设 =(﹣cosα ,﹣2) ,求( + )? 的取值范围.

考点:两角和与差的正弦函数;向量的模;同角三角函数间的基本关系. 专题:计算题. 分析: (1)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则得到两向量和的坐标,再利用 向量模的计算方法表示出两向量和的模,利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化 简后,根据已知两向量和的模得出 sinα +cosα 的值,两边平方后,再根据同角三角函数间 的基本关系及二倍角的正弦函数公式即可求出 sin2α 的值; (2)由 及 的坐标求出 + 的坐标,再由 的坐标,利用平面向量的数量积运算法则计算所 求的式子, 配方后得到关于 sinα 的二次函数, 配方后, 根据正弦函数的值域得到自变量 sinα 的范围,利用二次函数的性质得到二次函数的值域即为所求式子的范围. 解答: 解: (1)∵ + =(1+2cosα ,1+2sinα ) , | + |= = ∴sinα +cosα =﹣ , 两边平方得:1+2sinα cosα = ∴sin2α =﹣ ; , = ,

(2)因 + =(0,﹣1+sinα ) , ∴( + )? =sin α ﹣sinα = 又 sinα ∈,
2

﹣ .

∴( + )? 的取值范围为. 点评:此题考查了平面斜率的数量积运算法则,向量模的计算,同角三角函数间的基本关系, 二倍角的正弦函数公式,正弦函数的值域以及二次函数的性质,熟练掌握法则、性质及公式是 解本题的关键.

19. (16 分)已知向量 . (1)求 f(x)的最大值及相应的 x 的值; (2)若 ,求 的值.



,函数

考点:三角函数的最值;平面向量数量积的运算;三角函数的化简求值. 专题:计算题. 分析: (1)根据向量的数量积的运算法则可求得函数 f(x)的解析式,进而利用二倍角公式 和两角和公式化简整理利用正弦函数的性质求得函数的最大值和相应的 x 的值. (2)根据(1)中函数的解析式和 求得 两边平方利用同角三

角函数的基本关系和二倍角公式求得 sin4θ 的值, 最后利用诱导公式, 把 sin4θ 的值代入即 可. 解答: 解: (1)因为 所以 f(x)=1+sin2x+sin x﹣cos x=1+sin2x﹣cos2x= 因此,当 ,即 (k∈Z)时,f(x)取得最大值 ;
2 2





(2)由 f(θ )=1+sin2θ ﹣cos2θ 及 两边平方得 因此, ,即 .







点评:本题主要考查了利用两角和公式和二倍角公式化简求值,诱导公式的运用,平面向量的 运算.考查了学生综合运用基础知识的能力.

20. (16 分)已知函数 f(x)=ax ﹣bx+1 (1)若 f(x)>0 的解集是(﹣3,4) ,求实数 a,b 的值; (2)若 b=a+2,且 f(x)在(﹣2,1)上恰有一个零点,求 a 的取值范围. (3)设 g(x)=2 条件. 对任意实数 x1,总存在实数 x2 使 f(x1)=g(x2) ,求 a,b 满足的

2

考点:一元二次不等式的解法;函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)由根与系数的关系,即可求出 a,b 的值, (2)根据零点存在定理,分类讨论即可求出 a 的取值范围; (3)根据函数的值域即可证明. 解答: 解: (1)由题意知,﹣3、4 是方程 ax ﹣bx+1=0 的两根
2





所以



(2)∵b=a+2, ∴f(x)=ax ﹣(a+2)x+1 ①f(﹣2)?f(﹣1)<0,即(6a+5) (﹣1)<0 ∴ ,
2

②当 f(1)=0,无解, ③当 f(﹣2)=0 时,可得 ,另一根为 ,成立.

④f(x)有两相等实根,且根在(﹣2,﹣1)上 ∴△=(a+2) ﹣4a=0 综上所述,a≥﹣ , (3)∵x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1≥﹣1
2 2 2

,无解,





由题意知,f(x)的值域? g(x)的值域, ∴

∴a>0,
2

≥ ,

∴b ≤2a(a>0) , ∴当 b ≤2a 时,对任意实数 x1,总存在实数 x2,使 f(x1)=g(x2) . 点评:本题主要考查了函数的零点问题,不等式的解集,以及函数恒成立问题,属于中档题.
2


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