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【优化指导】2016-2017学年高中数学 第二章 平面向量 平面向量数量积的综合应用练习 北师大版必修4


习题课——平面向量数量积的综合应用
1.已知 a=(3,-2),b=(1,0),向量 λ a+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值为( A.-1 C.-2 B.0 D.3 )

解析:向量 λ a+b 与 a-2b 垂直,则(λ a+b)·(a-2b)=0,又因为 a=(3,-2),b=(1,0),故(3λ +1,2λ )·(1,-2)=0,即 3λ +1+4λ =0,解得 λ =-. 答案:C 2.若△ABC 满足∠A=,AB=2,则下列三个式子:①,②,③中为定值的式子的个数为( A.0 故③不满足.故选 C. 答案:C 3.已知平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=( A.-8 答案:D 4.若 a,b,c 均为单位向量,且 a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( A.-1 答案:B 5.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x +|a|x+a·b=0 有实根,则 a 与 b 夹角的取值范围是( A. C. B. D.
2 2

)
2

B.1

C.2

D.3
2

解析:因为=||||cos =0,所以为定值;因为=||||cos B=|| =4,所以为定值.同理=|| ,而||不是定值,

)

B.-6

C.6

D.8

解析:·()=()·(-2)=[(1,3)-(2,4)]·[(1,3)-2(2,4)]=(-1)×(-3)+(-1)×(-5)=8. )

B.1

C.

D.2 )

解析:设 a,b 的夹角为 θ ,由题意得 Δ ≥0,即|a| ≥4a·b,

∴cos θ =,∴θ ≥.
答案:B 6.已知△ABC 中,||=10,=-16,D 为 BC 边的中点,则||等于( A.6 B.5 C.4 D.3 解析:∵D 为 BC 边的中点,∴). )

∴||=|.
又∵||=10,且,

∴||=10,即()2=100,
即|| +|| -2=100.
2 2

∵=-16,∴||2+||2=68,
故() =68-32=36.
2

∴||=6,即||=3.故选 D.
答案:D

1

7.已知平面向量 a=(2,4),b=(1,-2),若 c=a-(a·b)b,则|c|= 解析:由题意可得 a·b=2×1+4×(-2)=-6,

.

∴c=a-(a·b)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),∴|c|==8.
答案:8 8.已知向量 a=(2,1),b=(-1,2),若 a,b 在向量 c 上的投影相等,且(c-a)·(c-b)=-,则向量 c 的坐标 为

.
2 2

解析:设 c=(x,y),c 与 a 的夹角为 α ,c 与 b 的夹角为 β .由已知有|a|cos α =|b|cos β ,即,即(ab)·c=0,即 3x-y=0①,由已知(c-a)·(c-b)=-,即 x +y -x-3y+=0②,①②联立得 x=,x=,即 c=. 答案: 9. 导学号 03070113

如图,A 是半径为 5 的圆 O 上的一个定点,单位向量在 A 点处与圆 O 相切,点 P 是圆 O 上的一个动点, 且点 P 与点 A 不重合,则的取值范围是 解析:

.

如图所示,以 AB 所在直线为 x 轴,AO 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系.设点

P(x,y),B(1,0),A(0,0),则=(1,0),=(x,y),所以=(x,y)·(1,0)=x.因为点 P 在圆 x2+(y-5)2=25 上,
所以-5≤x≤5,即-5≤≤5.所以应填[-5,5]. 答案:[-5,5] 10.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)). (1)若点 A,B,C 不能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,求实数 m 的值. 解:(1)∵=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)),若点 A,B,C 不能构成三角形,则这三点共线.

∵=(3,1),=(2-m,1-m),∴,即 3(1-m)=2-m,∴m=.
(2)若△ABC 为直角三角形,且①A 为直角,则,∴3(2-m)+(1-m)=0,解得 m=.②B 为直角,=(-1-

m,-m),则,∴3(-1-m)+(-m)=0,解得 m=-.③C 为直角,则, ∴(2-m)(-1-m)+(1-m)(-m)=0,解得 m=.
综上所述,m=或 m=-或 m=. 11.已知 AD,BE,CF 是△ABC 的三条高,求证:△ABC 的三条高交于一点. 证明:

2

如图所示,设 BE,CF 交于 H,

=b,=c,=h,
则=h-b,=h-c,=c-b.

∵, ∴
由①-②,得 h·(c-b)=0, 即=0,

∴,∴AH 的延长线过点 D,从而 AD,BE,CF 相交于一点 H.
12. 导学号 03070114 已知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设 C 是直线 OP 上的一点(其中 O 为坐标原点). (1)求使取到最小值时的; (2)对(1)中求出的点 C,求 cos∠ACB. 解:(1)因为点 C 是直线 OP 上的一点, 所以向量共线. 设=t, 则=t(2,1)=(2t,t),

=(1-2t,7-t), =(5-2t,1-t), =(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8,
当 t=2 时,取得最小值, 此时=(4,2). (2)当 t=2 时,=(-3,5),=(1,-1). 所以||=,||==-3-5=-8. cos∠ACB==-.

3


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