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二项式定理和杨辉三角


二项式定理
二项式定理内容:
0 1 2 r n (a ? b)n ? Cn an ? Cnan?1b ? Cn an?2b2 ??? Cn an?rbr ??? Cn bn (n ? N ?)

等式右边的多项式叫做 (a ? b) 的二项展开式,共有 n+1 项
n

二项式系数:其中各项系数 Cn 叫做展开式的二项式系数。
r n?r r 二项展开式的通项:展开式中的 Cn a b 项叫做二项展开式的通项,通项是展开

r

式的第 r+1 项。
r n ?r r 记作: Tr ?1 ? Cn a b (其中 0≤r≤n,r∈N, n∈N+)

例1

展开 (1 ? x)

n

(2 x ?

例2

展开

1 6 ) x

例3

求 (1 ? 2 x) 的展开式的第 4 项的二项式系数和系数。
7

例4

1 ( x ? )9 x 中含 x3 的项,并说明它是展开式的第几项? 求

杨辉三角(贾宪三角或帕斯卡三角)
(a+b)n 展开式的二项式系数,当 n 取正整数时可以单独裂成下表的形式: (a+b)1 ????????? 1 1 2 (a+b) ???????? 1 2 1 3 (a+b) ??????? 1 3 3 1 4 (a+b) ?????? 1 4 6 4 1 5 (a+b) ????? 1 5 10 10 5 1 6 (a+b) ???? 1 6 15 20 15 6 1 ???? 观察上面的杨辉三角,可以看出二项式系数具有下面 3 条性质: 1、每一行的两段都是 1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和。 性质 1 实际上反映了组合数的下列性质:
0 n Cn ? 1, Cn ? 1
m m m Cn?1 ? Cn ? Cn ?1

2、每一行中,与首末两段“等距离”的两个数相等。 性质 2 实际上反映了组合数的下列性质:
m n Cn ? Cn ?m

Tn
3、如果二项式的幂指数 n 是偶数,那么其展开式中间一项
2

?1

的二项式系数最大;如果 n

Tn ?1
是奇数,那么其展开式中间两项
2

Tn ?1

2

?1

的二项式系数相等且最大。

容易推出二项式系数满足的第 4 条性质。 4、二项展开式的二项式系数的和等于 2 。 在
0 1 2 n (1? x)n ? Cn xn ? Cn xn?1 ? Cn xn?2 ??? Cn x0 中,令 x=1,则
n

0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ??? Cn ? 2n

例 1 证明在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和。 提示:奇数项的二项式系数和为 偶数项的二项式系数和为 令 a=1,b=-1
0 2 4 Cn ? Cn ? Cn ?? 1 3 5 Cn ? Cn ? Cn ??

例 2 已知(x2-1)n 展开式的各项二项式系数和等于 1024,求展开式中含 x6 的项。

例 3 求(1-x)8 展开式中二项式系数最大的项。

练习: 1、已知
5 9 10 C15 ? a, C15 ? b, 那么C16 =

(提示: 用公式

m m m m n Cn?1 ? Cn ? Cn ?1 和 Cn ? Cn ?m )

2、当 n 为偶数时, (a+b)n 展开式中,二项式系数最大项是第 当 n 为奇数时, (a+b)n 展开式中,二项式系数最大项是第

项; 项;

(2 3、在 - x)的展开式中,二项式系数最大项为
(1-x) 的展开式中的含 x 的奇次项系数的和。 4、求
5、证明:
13

9



C0 ? C2 ? C4 ??? Cn ? 2n?1 (n是偶数) n n n n
1 n ) x3 的展开式中,只有第 6 项的系数最大,求展开式中的常数项。

(x3 +
6、已知 7、设

(3x ?1)8 ? a8 x8 ? a7 x7 ??? a1x ? a0 ,则
a8 ? a7 ? ?? a1 ?
; ;

(1) (2) (3)

a8 ? a7 ? a6 ? a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ? a0 ? a8 ? a6 ? a4 ? a2 ? a0 ?
.

选修 2——3
1、 2、
m An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) n An ? n(n ?1)(n ? 2)?2*1 ? n!

第一章计数原理 公式

m An ?

3、
m Cn ?

n! ( n ? m)!
m An n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ? m Am m!

4、

m Cn ?

5、 6、 7、

n! m !( n ? m )!

m n Cn ? Cn ?m

m m m Cn?1 ? Cn ? Cn ?1

8、二项式定理内容:
0 1 2 r n (a ? b)n ? Cn an ? Cnan?1b ? Cn an?2b2 ??? Cn an?rbr ??? Cn bn (n ? N ?)

9、二项式系数:其中各项系数 10、二项式的通项:

r Cn 叫做展开式的二项式系数。

r Tr ?1 ? Cn an?r br

11、二项展开式的二项式系数的和等于 2 。
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ??? Cn ? 2n

n


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