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高中数学必修4三角恒等变换测试题7(含答案)


三角恒等变换
一、选择题 1.求值

cos 200 cos350 1 ? sin 200
B. 2

?(



A. 1

C. 2

D. 3

2.函数 y ? 2 sin( A. ?3

?
3

? x) ? cos(
C. ?1

?
6

? x)( x ? R) 的最小值等于(
D. ? 5



B. ?2

3.函数 y ? sin x cos x ? 3 cos2 x ? 3 的图象的一个对称中心是( A. (



2? 3 ,? ) 3 2

B. (

5? 3 2? 3 , ? ) C. (? , ) 6 2 3 2

D. (

?
3

, ? 3)


4.△ABC 中, ?C ? 90 ,则函数 y ? sin 2 A ? 2sin B 的值的情况(
0

A.有最大值,无最小值 C.有最大值且有最小值

B.无最大值,有最小值 D.无最大值且无最小值 )

5. (1 ? tan 210 )(1 ? tan 220 )(1 ? tan 230 )(1 ? tan 240 ) 的值是( A. 16 6.当 0 ? x ? A. 4 二、填空题 1.给出下列命题:①存在实数 x ,使 sin x ? cos x ? B. 8 C. 4 D. 2

?
4

时,函数 f ( x) ?

cos 2 x 的最小值是( cos x sin x ? sin 2 x
D.



B.

1 2

C. 2

1 4

3 ; 2

②若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则 cos ? ? cos ? ; ③函数 y ? sin( x ?

2 3

?
2

) 是偶函数;

④函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

? ? 个单位,得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象. 4 4

其中正确命题的序号是____________. (把正确命题的序号都填上) 2.函数 y ? tan

x 1 ? 的最小正周期是___________________。 2 sin x
-1-

3.已知 sin ? ? cos ? ?

1 1 , sin ? ? cos ? ? ,则 sin(? ? ? ) =__________。 3 2

4.函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间 ? 0,

? ?? 上的最小值为 ? 2? ?



5.函数 y ? (a cos x ? b sin x)cos x 有最大值 2 ,最小值 ?1 ,则实数 a ? ____, b ? ___ 三、解答题 1.已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 的定义域为 R , (1)当 ? ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 ? ? (0, ? ) ,且 sin x ? 0 ,当 ? 为何值时, f ( x ) 为偶函数.

2.已知△ABC 的内角 B 满足 2cos 2 B ? 8cos B ? 5 ? 0, ,若 BC ? a , CA ? b 且 a, b 满足:

??? ?

?

??? ?

?

? ?

? ? ? ? ? ? a? b ? ?9 , a ? 3, b ? 5 , ? 为 a, b 的夹角.求 sin( B ? ? ) 。

3.已知 0 ? x ?

?
4

, sin(

?
4

? x) ?

5 ,求 13

cos2 x cos( ? x) 4

?

的值。

4.已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ? 3a cos x ?
2

3 a ? b (a ? 0) 2

(1)写出函数的单调递减区间; (2)设 x ?[0, ] , f ( x ) 的最小值是 ?2 ,最大值是 3 ,求实数 a , b 的值.

?

2

-2-

参考答案
一、选择题 1.C

cos2 100 ? sin 2 100 cos100 ? sin100 2 sin 550 ? ? ? 2 cos350 (cos100 ? sin100 ) cos350 cos350
y ? 2 cos( ? x) ? cos( ? x) ? cos( ? x) ? ?1 6 6 6

2.C

?

?

?

3.B

1 3 1 3 3 y ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2

? 3 ? k? ? 5? ? sin(2 x ? ) ? , 令2 x ? ? k? , x ? ? , 当k ? 2, x ? 3 2 3 2 6 6
4.D

y ? sin 2 A ? 2sin B ? sin 2 A ? 2cos A ? 1 ? cos2 A ? 2cos A ? ?(cos A ?1)2 ? 2 ,而 0 ? cos A ? 1,自变量取不到端点值

5.C

(1 ? tan 210 )(1 ? tan 240 ) ? 2,(1 ? tan 220 )(1 ? tan 230 ) ? 2 ,更一般的结论

? ? ? ? 450 ,(1 ? tan ? )(1 ? tan ? ) ? 2
6.A

f ( x) ?

1 1 1 ? ,当tan x ? 时, f ( x)min ? 4 2 tan x ? tan x ?(tan x ? 1 )2 ? 1 2 2 4

二、填空题 1. ③ 对于①, sin x ? cos x ?

? 3 2 sin( x ? ) ? 2 ? ; 4 2

0 0 对于②,反例为 ? ? 30 , ? ? ?330 ,虽然 ? ? ? ,但是 cos ? ? cos ?

) ? sin(2 x ? ) 4 2 1 ? cos x 1 cos x 1 y? ? ?? ?? 2. ? sin x sin x sin x tan x 59 13 59 (sin ? ? cos ? ) 2 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 3. ? , 2sin(? ? ? ) ? ? 72 36 36 ? ? ? 5? 5? , ymin ? 2sin ?1 4. 1 y ? 2sin( x ? ), ? x ? ? 3 3 3 6 6 b a a y ? a cos 2 x ? b sin x cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 5. 1, ?2 2 2 2 2

对于③, y ? sin 2 x ? y ? sin 2( x ?

?

?

-3-

?

a 2 ? b2 a a 2 ? b2 a a 2 ? b2 a sin(2 x ? ? ) ? , ? ? 2, ? ? ? ?1, a ? 1, b ? ?2 2 2 2 2 2 2 2
解: (1)当 ? ? 0 时, f ( x) ? sin x ? cos x ?

三、解答题

3? ? ? x ? 2k? ? , f ( x) 为递增; 2 4 2 4 4 ? ? 3? ? 5? 2 k? ? ? x ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? x ? 2 k? ? , f ( x) 为递减 2 4 2 4 4 3? ? , 2k? ? ], k ? Z ; ? f ( x) 为递增区间为 [2k? ? 4 4 ? 5? f ( x) 为递减区间为 [2k? ? , 2k? ? ], k ? Z 。 4 4 2 k? ? ? x? ? 2 k? ? , 2 k? ?
(2) f ( x) ?

?

?

?

2 sin( x ? ) 4

?

2 cos( x ? 4 ,k ?Z

?

?? ? k? ?

?

4

? ? ) 为偶函数,则 ? ?

?

4

? k?

2.解: 2(2cos2 B ?1) ? 8cos B ? 5 ? 0, 4cos2 B ? 8cos B ? 5 ? 0

? ? a ?b 3 4 1 3 得 cos B ? ,sin B ? , cos ? ? ? ? ? ? ,sin ? ? , 5 5 2 2 a?b

sin( B ? ? ) ? sin B cos ? ? cos B sin ? ?
3.解:? (

4?3 3 10

?

? ? ? ? 5 ? x) ? ( ? x) ? ,? cos( ? x) ? sin( ? x) ? , 4 4 2 4 4 13

而 cos 2 x ? sin( 4.解: f ( x) ?

?

? ? ? 120 ? 2 x) ? sin 2( ? x) ? 2sin( ? x) cos( ? x) ? 2 4 4 4 169

1 3a 3 a sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? a ?b 2 2 2

?

a 3a ? sin 2 x ? cos 2 x ? b ? a sin(2 x ? ) ? b 2 2 3

(1) 2k? ?

?

2 3 5? 11? ?[ k ? ? , k? ? ], k ? Z 为所求 12 12

? 2x ?

?

? 2 k? ?

3? 5? 11? , k? ? ? x ? k? ? 2 12 12

(2) 0 ? x ?

?
2

,?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3 ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 3 2 3

f ( x)min ? ?

3 a ? b ? ?2, f ( x)max ? a ? b ? 3, 2
-4-

? 3 ?a ? 2 a ? b ? ?2 ? ?? ? 2 ? ? ? ?b ? ?2 ? 3 ?a ? b ? 3 ?

-5-


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