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经典--高三第一轮复习资料(数学)


第1讲
一. 【考纲导读】





1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感 受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用韦恩(Venn)图表集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用

二. 【命题走向】
有关集合的高考试题, 考查重点是集合与集合之间的关系, 近年试题加强了对集合的计 算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何 的直观性,注意运用 Venn 图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法 的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主,分值 5 分。 预测 2011 年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解 答题的表达之中,相对独立。具体题型估计为: (1)题型是 1 个选择题或 1 个填空题; (2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用

三. 【要点精讲】
1.集合定义:某些指定的对象集在一起成为集合 (1)集合中的对象称元素,若 a 是集合 A 的元素,记作 a ? A ;若 b 不是集合 A 的元素, 记作 b ? A ; (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者 不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因 此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再 画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一 般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; * 正整数集,记作 N 或 N+; 整数集,记作 Z;
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有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R。 2.集合的包含关系: (1)集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集(或 B 包含 A) , 记作 A ? B(或 A ? B ) ; 集合相等: 构成两个集合的元素完全一样。 A ? B 且 B ? A, 若 则称 A 等于 B, 记作 A=B; 若 A ? B 且 A≠B,则称 A 是 B 的真子集,记作 A B; (2)简单性质:1)A ? A;2) ? ? A;3)若 A ? B,B ? C,则 A ? C;4)若集合 A 是 n 个元素的集合,则集合 A 有 2n 个子集(其中 2n-1 个真子集) ; 3.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作 U; (2)若 S 是一个集合,A ? S,则, C S = {x | x ? S且x ? A}称 S 中子集 A 的补集; (3)简单性质:1) C S ( C S )=A;2) C S S= ? , C S ? =S 4.交集与并集: (1)一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交 集。交集 A ? B ? {x | x ? A且x ? B} 。 (2)一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集。 并集A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集 的关键是“且”与“或” ,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、 挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。 5.集合的简单性质: (1) A ? A ? A, A ? ? ? ?, A ? B ? B ? A; (2) A ? ? ? A, A ? B ? B ? A; (3) ( A ? B) ? ( A ? B); (4) A ? B ? A ? B ? A; A ? B ? A ? B ? B ; (5) C S (A∩B)=( C S A)∪( C S B) C S (A∪B)=( C S A)∩( C S B). ,

四. 【典例解析】
题型 1:集合的概念 例1、 某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动 都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 2.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x ?2 ? x ?1 ? 2} 和 N ? {x x ? 2k ?1, k ? 1,2,? 的关系 } 的韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( ).
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A. 3 个

B. 2 个

C. 1 个

D. 无穷多个

题型 2:集合的性质
2 例 3.集合 A ? ?0,2, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1,2,4,16? ,则 a 的值为 (

?

?

).

A.0

B.1

C.2

D.4

随堂练习 2 1.设全集 U=R,A={x∈N︱1≤x≤10},B={ x∈R︱x + x-6=0},则下图中阴影表示的集合 为( ). A.{2} B.{3} C.{-3,2} D.{-2,3}

2. 已知集合 A={y|y -(a +a+1)y+a(a +1)>0},B={y|y -6y+8≤0},若 A∩B≠φ ,

2

2

2

2

则实数 a 的取值范围为(

) .

3.已知全集 S ? {1,3, x ? x ? 2 x} ,A={1, 2 x ?1 }如果 CS A ? {0} ,则这样的实数 x 是否存
3 2

在?若存在,求出 x ,若不存在,说明理由

变式题:已知集合 A ? {m, m ? d , m ? 2d}, B ? {m, mq, mq } , 其中m ? 0 , 且A ? B ,求 q
2

的值。

题型 3:集合的运算 例 4. 已知函数 f ( x) ? 定义域集合是 B.
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x ?1 2 2 的定义域集合是 A,函数 g ( x) ? lg[ x ? (2a ? 1) x ? a ? a] 的 x?2

(1)求集合 A、B.

(2)若 A ? B=B,求实数 a 的取值范围.

例 5.已知集合 A ? 1,3,5,7,9? , B ? ?0,3,6,9,12? ,则 A I CN B ? ( A. 1,5,7?

?

)

?

B. 3,5,7?

?

C. 1,3,9?

?

D. 1, 2,3?

?

题型 4:图解法解集合问题
2 y2 ? x ? ? x y ? 例 6.已知集合 M= ? x | ? ? 1? ,N= ? y | ? ? 1? ,则 M ? N ? ( 4 ? 9 ? ? 3 2 ?



A. ?

B. {(3,0), (2,0)}

C. ?? 3,3?

D. ?3,2?

例 7. 设 全 集 ? ? R , 函 数 f ( x) ? lg(| x ? 1 | ?a ? 1)(a ? 1) 的 定 义 域 为 A , 集 合

B ? {x | cos?x ? 1} ,若 (C? A) ? B 恰好有 2 个元素,求 a 的取值集合。

例 8、 A ? ?a1,a2, ,ak ? (k ≥ 2) ,其中 ai ? Z(i ? 1 2, ,k ) ,由 A 中的元素构成两个 ,? ? 相应的集合:

S ? ?(a,b) a ? A,b ? A,a ? b ? A? , T ? ?(a,b) a ? A,b ? A,a ? b ? A? . 其 中

(a,b) 是有序数对,集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n .若对于任意的 a ? A ,总有

? a ? A ,则称集合 A 具有性质 P .
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(I)对任何具有性质 P 的集合 A ,证明: n ≤

k ( k ? 1) ; 2

(II)判断 m 和 n 的大小关系,并证明你的结论.

随堂练习: 1. 50 名学生调查对 A、 两事件的态度, 向 B 有如下结果 赞成 A 的人数是全体的五分之三, 其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A、B 都不赞成的学 生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人。问对 A、B 都赞成的学生和都不赞成的 学生各有多少人?
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源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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2.求 1 到 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数,又不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数的自然 数共有多少个?

题型 7:集合综合题 例 9.设集合 A={x||x-a|<2},B={x|

2x ?1 <1},若 A ? B,求实数 a 的取值范围。 x?2

例 10.已知{an}是等差数列,d 为公差且不为 0,a1 和 d 均为实数,它的前 n 项和记作 Sn,
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设集合 A={(an,

Sn 1 2 2 )|n∈N*},B={(x,y)| x -y =1,x,y∈R}。 4 n

试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明: (1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B 至多有一个元素; (3)当 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ ? 。

变式题:解答下述问题: (Ⅰ)设集合 A ? {x | x 2 ? 2x ? 2m ? 4 ? 0}, B ? {x | x ? 0}, , 若A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围. (Ⅱ)已知两个正整数集合 A={a1,a2,a3,a4},

B ? {a1 , a2 , a3 , a4 }, 其中a1 ? a2 ? a3 ? a4
2 2 2 2

若A ? B ? {a1 , a4 }, 且a1 ? a4 ? 10, 且A ? B的所有元素之和是 , 求集合A 、B. 124
(Ⅲ) 设集合A ? {( x, y) | y ? x ? 1 B ? {( x, y) | 4x ? 2x ? 2 y ? 5 ? 0}, },
2 2

C ? {( x, y) | y ? kx ? b},问是否存在自然数 , b, 使( A ? B) ? C ? k 试证明你的结论 .

,

题型 6:课标创新题 例 11.七名学生排成一排,甲不站在最左端和最右端的两个位置之一,乙、丙都不能 站在正中间的位置,则有多少不同的排法?

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例 12.A 是由定义在 [2,4] 上且满足如下条件的函数 ? (x) 组成的集合:①对任意

x ? [1,2] ,都有 ? (2 x) ? (1,2) ; ②存在常数 L(0 ? L ? 1) ,使得对任意的 x1 , x2 ? [1,2] ,
都有 | ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 | (1)设 ? ( x) ? 3 1 ? x , x ? [2,4] ,证明: ? ( x) ? A (2)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1,2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的; (3)设 ? ( x) ? A ,任取 xl ? (1,2) ,令 xn?1 ? ? (2 xn ), n ? 1,2,? ? ?,

五. 【总结】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言, 并用集合语言表达数学问 题,运用集合观点去研究和解决数学问题。 1. 学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素, 熟练运用集合的各种符号, ? 、 、 如 ?

? 、 、=、 C S A、∪,∩等等;
2.强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几 何直观性研究问题,注意运用 Venn 图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简 训练;解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合) 以及各个集合之间的关系,常常根据“Venn 图”来加深对集合的理解,一个集合能化简(或 求解) ,一般应考虑先化简(或求解) ; 3.确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决 问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 ① 区别∈与 、 与 ? 、a 与{a}、φ 与{φ }、{(1,2)}与{1,2};
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② A ? B 时,A 有两种情况:A=φ 与 A≠φ ③若集合 A 中有 n (n ? N ) 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 ,所有真子
n

集的个数是 2 -1, 所有非空真子集的个数是 2 ? 2
n

n

④区分集合中元素的形式: 如 A ? {x | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;
B ? { y | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;

C ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;
D ? {x | x ? x 2 ? 2x ? 1} ;

E ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1, x ? Z , y ? Z} ;

F ? {( x, y' ) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;
y G ? {z | y ? x 2 ? 2 x ? 1, z ? } 。 x
⑤空集是指不含任何元素的集合。 {0} 、 ? 和 {? } 的区别;0 与三者间的关系。空集是 任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了

A ? ? 的情况。
⑥符号“ ?, ? ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面)的关 系 ;符号“ ?, ? ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系。 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科, 是人们认识和研究问题不可缺少的工具, 是 为了培养学生的推理技能,发展学生的思维能力

第2讲
一. 【考纲导读】

函数概念与基本初等函数

(一)函数 1.了解构成函数的要素,了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域. 2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法,能根据不同的要求选择恰当的方法 表示简单的函数. 3.了解分段函数,能用分段函数来解决一些简单的数学问题. 4.理解函数的单调性,会讨论和证明一些简单的函数的单调性;理解函数奇偶性的含义, 会判断简单的函数奇偶性. 5.理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求出一些简单的函数的最大(小)值 6.会运用函数图像理解和研究函数的性质. (二)指数函数 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念,会求与指数函数性质有关的问题.
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4.知道指数函数是一类重要的函数模型. (三)对数函数 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 数;了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念;会求与对数函数性质有关的问题. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 与对数函数 互为反函数. (四)幂函数 1.了解幂函数的概念. 2.结合函数 的图像,了解它们的变化情况. (五)函数与方程 1.了解函数零点的概念,结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系. 2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别 函数零点的个数. (六)函数模型及其应用 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长 等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的 函数模型)的广泛应用. 3.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.

二. 【命题走向】
分析近几年的高考试题, 可以发现函数是高考数学的重点内容之一, 函数的观点和思想 方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,选择题、填 空题、解答题三种题型中每年都有函数试题,而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和 综合题是高考命题的新趋势. 2011 年高考热点主要有:①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反 函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽 象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点.③考查运用函数的思想来观 察问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

三. 【要点精讲】
1、知识网络

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定义域 定 义 对应法则 值域 映 射 函 数 性 质 奇偶性

区间

一元二次函数 一元二次不等式

指 数 函 数

根式

分数指数 指数方程 对数方程 对数的性质

指数函数的图像和性质

单调性 周期性 对数 积、商、幂与 根的对数 对数恒等式 和不等式 常用对数 自然对数 对数函数的图像和性质

反 函 数

互为反函数的 函数图像关系

对 数 函 数

1.2.1

函数及其表示
元素,在 的映射,

一、映射 1.映射:设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的 集合 B 中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到 记作 .

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2.象与原象:如果 f:A→B 是一个 A 到 B 的映射,那么和 A 中的元素 a 对应的 叫做 象, 叫做原象。 二、函数 1.定义:设 A、B 是 ,f:A→B 是从 A 到 B 的一个映射,则映射 f:A→B 叫做 A 到 B 的 ,记作 . 2.函数的三要素为 、 、 ,两个函数当且仅当 分别相同时,二者才 能称为同一函数。 3.函数的表示法有 、 、 。 二、典型例题 例 1.下列各组函数中,表示同一函数的是( x A. y ? 1, y ? x C. y ? x, y ? 3 x3

). B. y ? x ? 1? x ? 1, y ? x2 ? 1 D. y ?| x |, y ? ( x )2

例 2.给出下列两个条件: (1)f( x +1)=x+2 x ;(2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2. 试分别求出 f(x)的解析式.?

变式训练 2:(1)已知 f( ? 1 )=lgx,求 f(x) ;? (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x) ;? (3)已知 f(x)满足 2f(x)+f(
1 )=3x,求 f(x).? x

2 x

例 3. 等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,作直线 MN⊥AD 交 AD 于 M,交折线 ABCD 于 N,记 AM=x,试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数,并写出函数的定 义域.?

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? ?x 2 , ? ?1, 变式训练 3:已知函数 f(x)= ? 1 ?? , ? x

x ? 0, x ? 0, x ? 0.

(1)画出函数的图象; (2)求 f(1),f(-1),f ? f (?1)? 的值.

四、小结归纳 1.了解映射的概念,应紧扣定义,抓住任意性和唯一性. 2.函数的解析式常用求法有:待定系数法、换元法(或凑配法) 、解方程组法.使用换元法 时,要注意研究定义域的变化. 3.在简单实际问题中建立函数式,首先要选定变量,然后寻找等量关系,求得函数的解析 式, 还要注意定义域. 若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同, 可用分段函数来表示.

1.2.2
一、定义域: 1.函数的定义域就是使函数式 2.常见的三种题型确定定义域: ① 已知函数的解析式,就是

函数的定义域和值域
的集合. . 域是外函数 f ? x ?

② 复合函数 f ? g ? x ? ? 的有关定义域,就要保证内函数 g ? x ? 的 ? ? 的 域. ③实际应用问题的定义域,就是要使得

有意义的自变量的取值集合.
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二、值域: 1.函数 y ? f ? x ? 中,与自变量 x 的值 的集合.

2. 常见函数的值域求法, 就是优先考虑 , 取决于 , 常用的方法有: ①观察法;②配方法;③反函数法;④不等式法;⑤单调性法;⑥数形法;⑦判别式法;⑧ 有界性法;⑨换元法(又分为 法和 法) 例如: 形如 y ? ① 或 采用

1 , 可采用 2 ? x2

法; y ? ②

2x ?1 2 可采用 (x ? ? ) , 3x ? 2 3



2 法;③ y ? a ? f x ? ? bf ? x ? ? c ,可采用

?

? ??

法;④ y ? x ? 1 ? x ,可 法;⑥ y ?

法;⑤ y ? x ? 1? x2 ,可采用

sin x 可采用 2 ? cos x

法等. 二、典型例题: 例 1. 求下列函数的定义域:? (1) y ?

( x ? 1)0 ; (2) y ? | x | ?x

1
3

x ?3
2

? 5 ? x 2 ; ?(3) y ? x ? 1? x ?1 .?

变式训练 1:求下列函数的定义域:? ( 1 )

y?

lg(2 ? x) 12 ? x ? x 2

? ? x ? 1?

0



(2)

y?

x2 0 ? ? 5x ? 4? lg(4 x ? 3)



(3) y ? 25 ? x2 ? lgcos x ;

例 2. 设函数 y ? f ? x ? 的定义域为[0,1] ,求下列函数的定义域.? (1) y ? ? 3x ? ; (2) y ? f ?

1? ?1? ? (3) y ? f ? x ? ? ? ?; 3? ? x? ?

1? ? f ?x? ? ; 3? ?

(4) y ? f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? . 变式训练 2: 若函数 f ? x ? 的定义域是 [0, , f ? x ? a ??f ? x ? a ? ? 0 ? a ? 1] 则 A. ? ? B.

? ?

1? ( ? 的定义域是 2?



?a,1 ? a?

C.

??a,1? a?

D.

?0,1?

例 3. 求下列函数的值域:?
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(1) y ?

x2 ? x ; x2 ? x ? 1

(2) y ? x ? 1 ? 2x ;? (3) y ?

ex ?1 .? ex ? 1

变式训练 3:求下列函数的值域:? (1) y ?

1? x ;? 2x ? 5

(2) y ? x

1 ? x 2 .?

例 4.若函数 f ? x ? ?

1 2 x ? x ? a 的定义域和值域均为 ?1 ??b ??? ,求 a、b 的值.? ,b 2

变式训练 4:已知函数 f ? x ? ? x ? 4ax ? 2a ? 6 ? x ? R ? .?
2

(1)求函数的值域为[0,+∞)时的 a 的值;? (2)若函数的值均为非负值,求函数 f(a)=2-a|a+3|的值域.?

三、小结归纳 1.求函数的定义域一般有三类问题:一是给出解释式(如例 1) ,应抓住使整个解式有意义 的自变量的集合;二是未给出解析式(如例 2) ,就应抓住内函数的值域就是外函数的定义 域;三是实际问题,此时函数的定义域除使解析式有意义外,还应使实际问题或几何问题有 意义. 2.求函数的值域没有通用方法和固定模式,除了掌握常用方法(如直接法、单调性法、有 界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法)外,应根据问题的不同特点,综 合而灵活地选择方法.

1.2.3
一、单调性

函数的单调性

1.定义:如果函数 y ? f ? x ? 对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值

x1、x2 ,当 x1 ? x2 时,①都有
称函数的一个 这个区间称函数的一个 ;②都有 .

,则称 f ? x ? 在这个区间上是增函数,而这个区间 ,则称 f ? x ? 在这个区间上是减函数,而

若函数 f(x)在整个定义域 l 内只有唯一的一个单调区间,则 f ? x ? 称为

.
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2.判断单调性的方法: (1) 定义法,其步骤为:①

;②

;③

. ,则

(2) 导数法,若函数 y ? f ? x ? 在定义域内的某个区间上可导,①若

f ? x ? 在这个区间上是增函数;②若
二、单调性的有关结论

,则 f ? x ? 在这个区间上是减函数.

1.若 f ? x ? , g ? x ? 均为增(减)函数,则 f ? x ? ? g ? x ? 2.若 f ? x ? 为增(减)函数,则 ? f ? x ? 为 3.互为反函数的两个函数有 4.复合函数 y ? f ? g ? x ? ? 是定义在 ? ? 的单调性; ;

函数;

M 上的函数,若 f ? x ? 与 g ? x ? 的单调相同,则
. .

f ? g ? x ?? 为 ? ?

,若 f ? x ? , g ? x ? 的单调性相反,则 f ? g ? x ? ? 为 ? ? ,偶函数在其对称区间上的单调性

5.奇函数在其对称区间上的单调性 三、典型例题
x 例 1. 已知函数 f ? x ? ? a ?

x?2 ? a ? ?? ,证明:函数 f ? x ? 在(-1,+∞)上为增函数.? x ?1

变式训练 1:讨论函数 f ? x ? ? x ?

a ? a ? 0 ? 的单调性.? x

例 2. 判断函数 f ? x ? ?

x 2 ? 1 在定义域上的单调性.?

变式训练 2:求函数 y ? log 1 (4 x ? x
2

2

) 的单调区间.

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例 3. 求下列函数的最值与值域:? (1) y ? 4 ? 3 ? 2x ? x2 ; (2) y ? x ?

4 2 ; (3) y ? x ? 1 ? x

?2 ? x?

2

?4

变式训练 3:在经济学中,函数 f ? x ? 的边际函数 Mf ? x ? 定义为 Mf ? x ? ? f ? x ?1? ? f ? x ? .某公 司每月最多生产 100 台报警系统装置, 生产 x ? x ? 0? 台的收入函数为 R ? x ? ? 3000x ? 20x (单位:
2

元),其成本函数为 C ? x ? ? 500x ? 4000 (单位:元) ,利润是收入与成本之差.? (1)求利润函数 P ? x ? 及边际利润函数 MP ? x ? ;? (2)利润函数 P ? x ? 与边际利润函数 MP ? x ? 是否具有相同的最大值??

例 4.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f ? x ? 满足 f ?

? x1 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,且当 x ? 1 时, x2 ? ?

f ? x? ? 0 .
(1)求 f ?1? 的值;?(2)判断 f ? x ? 的单调性;?(3)若 f ? 3? ? ?1 ,解不等式 f

? x ? ? ?2 .?

16 / 39

变式训练 4:函数 f ? x ? 对任意的 a、b ? R ,都有 f ? a ? b? ? f ? a? ? f ? b? ?1 ,并且当 x ? 0 时,

f ? x ? ? 1 .?
(1)求证: f ? x ? 是 R 上的增函数;?
2 (2)若 f ? 4 ? ? 5 ,解不等式 f 3m ? m ? 2 ? ? .?

?

?

四、归纳总结 1.证明一个函数在区间 D 上是增(减)函数的方法有:(1) 定义法.其过程是:作差——变形 ——判断符号,而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构;(2) 求导法. 其过程是:求导——判断导函数的符号——下结论. 2.确定函数单调区间的常用方法有:(1)观察法;(2)图象法(即通过画出函数图象,观察 图象,确定单调区间) ;(3)定义法;(4)求导法.注意:单调区间一定要在定义域内. 3.含有参量的函数的单调性问题,可分为两类:一类是由参数的范围判定其单调性;一类 是给定单调性求参数范围, 其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式, 结合定义域求出 参数的取值范围.

1.2.4
一.奇偶性:

函数的奇偶性
,则称 f (x) 为奇函数;

① 定义:如果对于函数 f (x) 定义域内的任意 x 都有 若 有 ,则称 f (x) 为偶函数.

如果函数 f (x) 不具有上述性质,则 f (x) 不具 .

. 如果函数同时具有上述两条性质,则 f (x)

② 简单性质: 1) 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2) 函数 f (x) 具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 二.与函数周期有关的结论: 对称.

对称;一个函

①已知条件中如果出现 f ( x ? a) ? ? f ( x) 、或 f ( x ? a) f ( x) ? m( a 、 m 均为非零常 数, a ? 0 ) ,都可以得出 f (x) 的周期为 ;
17 / 39

② y ? f (x) 的图象关于点 (a,0), (b,0) 中心对称或 y ? f (x) 的图象关于直线

x ? a, x ? b 轴对称,均可以得到 f (x) 周期
三、典型例题 例 1. 判断下列函数的奇偶性.? (1) f ? x ? ?

x 2 ? 1? 1 ? x 2 ;? x 2 ? 1)( x ? R) ;

(2) f ? x ? ? log 2 ( x ?

(3) f ( x) ? lg x ? 2 .?

变式训练 1:判断下列各函数的奇偶性:?(1) f ? x ? ? ? x ? 2 ? (2) f ? x ? ?

2? x ;? 2? x

lg(1 ? x 2 ) ;? | x 2 ? 2 | ?2
( x ? ?1), (| x |? 1), (x ? 1 . )

?x ? 2 ? (3) f ? x ? ? ?0 ?? x ? 2 ?

例2

已知函数 f (x) ,当 x,y ? R 时,恒有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? .?
18 / 39

(1)求证: f (x) 是奇函数;? (2)如果 x ? R , f ? x ? ? 0 ,并且 f (1) ? ?
?

1 ,试求 f (x) 在区间[-2,6]上的最值.? 2

变式训练 2:已知 f (x) 是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时, f ( x) ? ? x lg(2 ? x) ,求 f (x) 的解 析式.?

例3

已知函数 f (x) 的定义域为 R,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ? x ? .?

(1)求证: f (x) 是周期函数;? (2)若 f (x) 为奇函数,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ?

1 1 x ,求使 f ( x ) ? ? 在 2 2

?0, 2009? 上 的 所 有

x 的个数.?

变式训练 3:已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? a ?1, a ? R .? (1)试判断 f (x) 的奇偶性;? (2)若 ?

1 1 ? a ? ,求 f (x) 的最小值. 2 2

19 / 39

小结归纳 1. 奇偶性是某些函数具有的一种重要性质, 对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判 断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断 (或证明) 函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性, 可以在定义域内找到 一对非零实数 a 与-a,验证 f(a)±f(-a)≠0. 2.对于具有奇偶性的函数的性质的研究,我们可以重点研究 y 轴一侧的性质,再根据其对 称性得到整个定义域上的性质. 3.函数的周期性:第一应从定义入手,第二应结合图象理解.

1.2.5
一.根式:
n (1) 定义:若 x ? a ,则 x 称为 a 的 n 次方根

指数函数

① 当 n 为奇数时, a的n 次方根记作__________; ② 当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数,记作 ________(a>0). (2) 性质:
n n ① ( a) ? a ;

② 当 n 为奇数时, n a n ? a ; ③ 当 n 为偶数时, n a n ? _______= ? a(a ? 0) ? 二.指数: (1) 规定: ① a0= ③ a n ? n a m (a ? 0, m (2) 运算性质:
r s r ?s ① a ? a ? a (a ? 0, r (a>0, r、 s ? Q); r s r?s ② (a ) ? a (a ? 0, r (a>0, r、 s ? Q)
m

? ? a(a ? 0)

(a≠0); .

② a-p=



20 / 39

r r r ? 0, r r、 ③ (a ? b) ? a ? b (a ? 0, b(a>0,? s ? Q)

注:上述性质对 r、 s ? R 均适用. 三.指数函数: ① 定义:函数 称为指数函数,1) 函数的定义域为 域为 ;3) 当________时函数为减函数,当_______时为增函数. ② 函数图像: 1) 过点 象向 ,图象在 ;2) 指数函数以

;2) 函数的值

为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图

无限接近 x 轴,当 a ? 1 时,图象向

x ?x 无限接近 x 轴);3)函数 y ? a 与y ? a 的图

象关于 对称. ③ 函数值的变化特征:
0 ? a ?1
a ?1

① ② ③

x ? 0时 x ? 0时 x ? 0时

① ② ③

x ? 0时 x ? 0时 x ? 0时

1 3 例1. 已知 a= 9 ,b=9.求:(1)

a

7 2

a

?3

?

3

a ? a
3

?8

15

; (2)

a ?1 ? b ?1

? ab ?

?1

变式训练 1:化简下列各式(其中各字母均为正数): (1)
(a 3 ? b ?1 )
6 2 ? 1 2

? a 2 ? b3

1

1

a ? b5

2 1 1 ? 5 1 ?2 ?1 ?3 2 3 3 2 (2) a ? b ? (?3a b ) ? (4a ? b ) . 6

例 2. 函数 f(x)=x -bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(b )与 f(c )的大小关系是 ( x x x x A.f(b )≤f(c )? B.f(b )≥f(c ) x x C.f(b )>f(c ) D.大小关系随 x 的不同而不同

2

x

x



21 / 39

变式训练 2:已知实数 a、b 满足等式 ( ) ? ( ) ,下列五个关系式:?①0<b<a;②a<b<0;③0
a b

1 2

1 3

<a<b;④b<a<0;⑤a=b.?其中不可能成立的关系式有 A.1 个 ? B.2 个 ? C.3 个



) ? D.4 个?

例 3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间:? (1)f(x)=3
x 2 ? 5x ? 4

;?(2)g(x)=-( ) ? 4( ) ? 5 .
x x

1 4

1 2

6? x ? 2 x 变式训练 3:求下列函数的单调递增区间:?(1) y ? ( ) ; (2) y ? 2
2

1 2

x 2 ? x ?6

.

?

例 4.设 a>0,f(x)=

ex a ? 是 R 上的偶函数.? a ex

(1)求 a 的值;? (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.?

变式训练 4: 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2, 且当 x∈(0,1)时, f(x)= (1)求 f(x)在[-1,1]上的解析式;? (2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.?

2x . 4 ?1
x

22 / 39

四、小结归纳 1.
b

N

=a,ab=N,logaN=b(其中 N>0,a>0,a≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式,

因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化, 选择最好的形式进行运算.在运算中, 根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同底. 2.处理指数函数的有关问题,要紧密联系函数图象,运用数形结合的思想进行求解. 3. 含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型, 解决这类问题最基本的分类方案是以“底” 大于 1 或小于 1 分类. 4.含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现,与其它函数(特别是二次函数)形成的 函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要注意知识的相互渗透 或综合.

1.2.6
一.对数: (1) 定义:如果 a b ? N
(a ? 0, 且a ? 1)

对数函数
为 ,记作 ,其中

,那么称

a 称为对数的底,N 称为真数.
① 以 10 为底的对数称为常用对数, log10 N 记作___________. ② 以无理数 e(e ? 2.71828?) 为底的对数称为自然对数, log e N 记作_________. (2) 基本性质: ① 真数 N 为 ④ 对数恒等式: a (3) 运算性质: (负数和零无对数);② log a 1 ? 0
log a N

;③ log a a ? 1



?N



① loga ( MN ) ?? _____________________; ② log a N ? ____________________________; ③ loga M ?
n

M

(n∈R).
N

④ 换底公式: loga ⑤
n

?

(a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0);

log a m b ? __________.
;2) 函数

二.对数函数: ① 定义:函数 称为对数函数,1) 函数的定义域为( 的值域为 ;3) 当______时,函数为减函数,当______时为增函数; 4) 函数 y ? log a x 与函数
y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 互为反函数.

② 1) 图象经过点( ), 图象在 ; 对数函数以 2) 时,图象向上无限接近 y 轴;当 a ? 1 时,图象向下无限接近 y 轴);

为渐近线(当 0 ? a ? 1

23 / 39

4) 函数 y=logax 与 ③ 函数值的变化特征:

的图象关于 x 轴对称.
0 ? a ?1
a ?1

① x ? 1时 ② x ? 1时 ③ 0 ? x ? 1时 三、典型例题 例1 计算: (1) log 2 ?
2

① x ? 1时 ② x ? 1时 ③ 0 ? x ? 1时

3

(2 ? 3)
2

(2)2(lg 2 ) +lg 2 ?lg5+ (lg 2 ) ? lg 2 ? 1 ;? (3) lg
1 2 32 4 - lg 8 +lg 245 .?? 49 3

变式训练 1:化简求值.?
1 (1)log2 7 +log212- log242-1;?

48
2

2

(2)(lg2) +lg2?lg50+lg25;? (3)(log32+log92)?(log43+log83).?

例2

比较下列各组数的大小.?
3
1 2

(1)log3 2 与 log5 6 ;?(2)log1.10.7 与 log1.20.7;?
5
b a c
1 2 1 2

(3)已知 log b<log a<log c,比较 2 ,2 ,2 的大小关系.?

24 / 39

变式训练 2:已知 0<a<1,b>1,ab>1,则 loga 1 , log b, log 1 的大小关系是
b
a b





b

A.loga 1 ? log b ? log 1
b
a b

b

B. log b ? log
a

a

1 1 ? log b b b

C. log b ? log
a

b

1 1 ? log a b b

D. log

b

1 1 ? log a ? log a b b b

例 3 已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意 x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1 成立, 试求 a 的取值范围.?

变式训练 3:已知函数 f(x)=log2(x -ax-a)在区间(-∞,? 1- 3 ]上是单调递减函数.求实数 a 的取值范围.?

2

例 4 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过 A、B 作 y 轴的平行与 函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点.? (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上;? (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标.?

变式训练 4:已知函数 f(x)=log2 x ? 1 +log2(x-1)+log2(p-x).?
x ?1

(1)求 f(x)的定义域;?

(2)求 f(x)的值域.?

25 / 39

四、小结归纳 1.处理对数函数的有关问题,要紧密联系函数图象,运用数形结合的思想进行求解. 2.对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识,要达到熟练、运用 自如的水平,使用时常常要结合对数的特殊值共同分析. 3.含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题最基本的分类方案是以 “底”大于 1 或小于 1 分类. 4.含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现,与其它函数(特别是二次 函数)形成的函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要注 意知识的相互渗透或综合.

1.2.7

函数的图象

一、基本函数图象特征(作出草图) 1.一次函数为 ; 2.二次函数为 ; 3.反比例函数为 ; 4.指数函数为 ,对数函数为 . 二、函数图象变换 1.平移变换:①水平变换:y=f(x)→y=f(x-a) (a>0) y=f(x)→y=f(x+a) (a>0) ②竖直变换:y=f(x)→y=f(x)+b (b>0) y=f(x)→y=f(x)-b (b>0) 2.对称变换: ① y=f(-x)与 y=f(x)关于 对称 ② y=-f(x)与 y=f(x)关于 对称 ③ y=-f(-x)与 y=f(x)关于 对称 -1 ④ y=f (x)与 y=f(x)关于 对称 ⑤ y=|f(x)|的图象是将 y=f(x)图象的 ⑥ y=f(|x|)的图象是将 y=f(x)图象的 3.伸缩变换: ① y=Af (x) (A>0)的图象是将 y=f(x)的图象的 . ② y=f (ax) (a>0)的图象是将 y=f(x)的图象的 . 4. 若对于定义域内的任意 x, f (a-x)=f (a+x) (或 f (x)=f (2a-x)), f (x)关于 若 则 称,若 f (a-x)+f (a+x)=2b (或 f (x)+f (2a-x)=2b),则 f (x)关于 对称. 三、典型例题 例1 作出下列函数的图象.?



(1)

y?

1 (lgx+|lgx|); 2

2x ?1 ; x ?1 1 x (3) y ? ( ) .? 2
(2) y ?

26 / 39

变式训练 1:作出下列各个函数的图象: (1) y ? 2 ? 2x ; (2) y ? log ? 1
2

1? x ?

; (3) y ?

2x ?1 .? x ?1

例2 ?

函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如图,则函数 y=f(x)?g(x)的图象可能是 (



变式训练 2:设 a>1,实数 x,y 满足 x ? log a ? 0 ,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是 ( )

1 y

例 3 设函数 f(x)=x -2|x|-1 (-3≤x≤3).? (1)证明:f(x)是偶函数;? (2)画出函数的图象;? (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数;? (4)求函数的值域.?

2

四、小结归纳 1.作函数图象的基本方法是:
27 / 39

① 讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性; ② 考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象; ③ 准确描出关键的点线(如图象与 x、 轴的交点, y 极值点(顶点), 对称轴,渐近线, 等等). 2.图象对称性证明需归结为任意点的对称性证明. 3.注意分清是一个函数自身是对称图形,还是两个不同的函数图象对称.

1.2.8

幂函数
是自变量, 是

一、幂函数 1. 幂函数的概念: 一般地, 我们把形如 的函数称为幂函数, 其中 常数; 注意:幂函数与指数函数的区别. 2.幂函数的性质: (1)幂函数的图象都过点 ; (2) ? ? 0 时, 当 幂函数在 [0, ??) 上 (3)当 ? ? ?2, 2 时,幂函数是 3.幂函数的性质: (1)都过点 ; (2)任何幂函数都不过

; ? ? 0 时, 当 幂函数在 (0, ??) 上 ;当 ? ? ?1,1,3, 时,幂函数是

; .

1 3

象限; (3)当 ? ? 0 时,幂函数的图象过



4.幂函数的图象在第一象限的分布规律: (1)在经过点 (1,1) 平行于 y 轴的直线的右侧,按 幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布; (2) 幂指数的分母为偶数时, 图象只在 象限; 幂指数的分子为偶数时, 图象在第一、 第二象限关于 轴对称;幂指数的分子、分母都为奇数时,图象在第一、第三象限 关于 对称. 二、典型例题 例 1.写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性: (1) y ? x3 (4) y ? x2 ? x?2 (2) y ? x 2
1
1

(3) y ? x
? 1 2

?2

(5) y ? x 2 ? x

(6) f ( x) ? x 2 ? 3(? x) 4

1

1

变式训练 1:讨论下列函数的定义域、值域,奇偶性与单调性: (1) y ? x
5

(2) y ? x

?

4 3

(3) y ? x 4 (4) y ? x

5

?

3 5

(5) y ? x

?

1 2

28 / 39

例 2 比较大小:
1 1

(1) 1.5 2 ,1.7 2

(2) (?1.2)3 ,(?1.25)3

(3) 5.25?1 ,5.26?1,5.26?2 (4) 0.53 ,30.5 ,log3 0.5

变式训练 2:将下列各组数用小于号从小到大排列: (1) 2.5 ,(?1.4) ,(?3) (2) 0.16 ,0.5 ,6.25
1 1

2 3

2 3

2 3

?

3 4

?

3 2

3 8

2 ?3 2 1 5 ?3 3 3 3 (3) ( ) , ( ) 2 , ( ) ,3 , ( ) 3 5 3 2

1

2

例 3 已知幂函数 y ? xm 求 m 的值.

2

?2 m?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于原点对称,

变式训练 3:证明幂函数 f ( x) ? x 2 在 [0, ??) 上是增函数.

1

小结归纳 1.注意幂函数与指数函数的区别.
29 / 39

2.幂函数的性质要熟练掌握

1.2.9

函数与方程

一、一元二次函数与一元二次方程 一元二次函数与一元二次方程 (以后还将学习一元二次不等式) 的关系一直是高中数学函数 这部分内容中的重点,也是高考必考的知识点.我们要弄清楚它们之间的对应关系:一元二 次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解;反之,一元二次方程的解也 是对应的一元二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标. 二.函数与方程 两个函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标就是方程 f ( x) ? g ( x) 的解;反之,要求 方程 f ( x) ? g ( x) 的解,也只要求函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标. 三、二分法求方程的近似解 二分法求方程的近似解,首先要找到方程的根所在的区间 (m, n) ,则必有 f (m) ? f (n) ? 0 , 再取区间的中点 p ?

m?n ,再判断 f ( p) ? f (m) 的正负号,若 f ( p) ? f (m) ? 0 ,则根在区 2

间 (m, p) 中;若 f ( p) ? f (m) ? 0 ,则根在 ( p, n) 中;若 f ( p ) ? 0 ,则 p 即为方程的根.按 照以上方法重复进行下去,直到区间的两个端点的近似值相同(且都符合精确度要求) ,即 可得一个近似值. 四、典型例题 例 1.(1)若 f ( x ) ? A.

x ?1 ,则方程 f (4 x) ? x 的根是( x
C.2 D.-2

)

1 1 B.- 2 2

(2)设函数 f ( x) 对 x ? R 都满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 恰有 6 个不同的实数 根,则这 6 个实根的和为( ) A.0 B.9 C.12 D.18 (3)已知
5b ? c ( ,则有( ? 1 , a 、 b 、 c ∈R) 5a

) D. b 2 ? 4ac

A. b 2 ? 4ac

B. b 2 ? 4ac

C. b 2 ? 4ac

(4)关于 x 的方程 x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ? 0 的两个实根 实数 m 的取值范围

x 、 x 满足 x1 ? 3 ? x2 ,则
1 2

2

(5)若对于任意 a ?[?1, 1] ,函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零, 则 x 的取值 范围是

30 / 39

变式训练 1: 当 0 ? x ? 1 时,函数 y ? ax ? a ? 1 的值有正值也有负值,则实数 a 的取值范围 是( A. a ? ) C. a ? 或a ? 1

1 2

B. a ? 1

1 2

D.

1 ? a ?1 2

log 1 x ? 2 ? x , 例 2.设 x1 , x2 , x3 依次是方程 log2 ( x ? 2) ? ? x ,
2

2 x ? x ? 2 的实数根,试比较 x1 , x2 , x3 的大小 .

变 式 训 练 2 : 已 知 函 数 y ? f ( x) ( x ? R) 满 足 f ( x ? 3) ? f ( x ? 1) 且 x ∈ [ - 1,1] 时 , , f ( x) ? | x | ,则 y ? f ( x) 与 y ? log5 x 的图象交点的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6

例 3. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx (a, b 为常数,且 a ? 0) 满足条件: f ( x ? 1) ? f (3 ? x) , 且方程 f ( x) ? 2 x 有等根 (1)求 f ( x) 的解析式; (2)是否存在实数 m 、 n ( m ? n) ,使 f ( x) 定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n] ,
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如果存在,求出 m、n 的值;如果不存在,说明理由

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变式训练 3:已知函数 f ( x) ?

1 1 ? ( (a ? 0, x ? 0) a x

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(1)求证: f ( x) 在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f ( x) ? 2 x 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)若 f ( x) 在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求 a 的取值范围

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例 4.若函数 f ( x) ? 2

?| x ?1 |

? m 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的取值范围是(


31 / 39

A. 0 ? m ? 1

B. 0 ? m ? 1

C. m ? 1或m ? 0

D. m ? 1或m ? 0

变式训练 4: 对于函数 f ( x) , 若存在 x 0 ∈R,使 f ( x0 )=x0 成立, 则称 x 0 为 f ( x) 的不动点 知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 (a ? 0) (1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求 f ( x) 的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;

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http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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本节主要注意以下几个问题: 1.利用函数的图象求方程的解的个数; 2.一元二次方程的根的分布; 3.利用函数的最值解决不等式恒成立问题

1.2.10
一、函数模型

函数模型及其应用

32 / 39

1.抽象概括:研究实际问题中量,确定变量之间的主、被动关系,并用 x、y 分别表示问题 中的变量; 2.建立函数模型:将变量 y 表示为 x 的函数,在中学数学内,我们建立的函数模型一般都 是函数的解析式; 3.求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识 求得函数模型的解,并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是: 实际问题 抽象概括 函数模型

运用函数的性质 实际问题的 解 还原说 明 函数模型的 解

二、典型例题 例 1. 如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC=b(b<a),在 AB,AD,CD,CB 上分别截 取 AE,AH,CG,CF 都等于 x,当 x 为何值时,四边形 EFGH 的面积最大?并求出最大面积.

变式训练 1:某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时,每天可卖出 100 个, 现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品销售单价每涨 1 元,销售 量就减少 10 个,问他将售价每个定为多少元时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大 值.

例 2. 据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴 的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km). (1)当 t=4 时,求 s 的值;? (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来;?
33 / 39

(3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断这 场沙尘暴是否会侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将 侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.?

变式训练 2:某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产 100 台, 需要加可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收 入函数为 R(x)=5xx2 (万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台). 2

(1)把利润表示为年产量的函数;? (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?? (3)年产量是多少时,工厂才不亏本??

例 3. 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用 水超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元,某月甲、乙两户共交水费 y 元,已知甲、乙两用户 该月用水量分别为 5x,3x 吨.? (1)求 y 关于 x 的函数;? (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.?

34 / 39

变式训练 3:1999 年 10 月 12 日“世界 60 亿人口日” ,提出了“人类对生育的选择将决定世 界未来”的主题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.? (1)世界人口在过去 40 年内翻了一番,问每年人口平均增长率是多少?? (2)我国人口在 1998 年底达到 12.48 亿,若将人口平均增长率控制在 1%以内,我国人口 在 2008 年底至多有多少亿?? 以下数据供计算时使用: 数N 对数 lgN 数N 对数 lgN 1.010 0.004 3 3.000 0.477 1 1.015 0.006 5 5.000 0.699 0 1.017 0.007 3 12.48 1.096 2 1.310 0.117 3 13.11 1.117 6 2.000 0.301 0 13.78 1.139 2

四、小结归纳 解决函数应用问题应着重注意以下几点: 1.阅读理解、整理数据:通过分析、画图、列表、归类等方法,快速弄清数据之间的关系, 数据的单位等等; 2.建立函数模型:关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数,建立函数 模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式,不要忘记考察函数的定义域; 3. 求解函数模型: 主要是计算函数的特殊值, 研究函数的单调性, 求函数的值域、 最大(小) 值等,注意发挥函数图象的作用. 4.还原评价:应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学学科又要符合实际背景,因于 解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论,作出回答.

函数单元测试题
一、选择题 1.函数 y= log (3x ? 2) 的定义域是
1 2


2 3

)? D.( ,1]? ( )
35 / 39
2 3

?A.[1,+∞)

B.( ,+∞)?

2 3

C.[ ,1]?

2.(2009· 河南新郑二中模拟)设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题: ①当 b≥0 时,函数 y=f(x)是单调函数

②当 b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根 ③函数 y=f(x)的图象关于点(0,c)对称 ④方程 f(x)=0 至多有 3 个实根,其中正确命题的个数为 ?A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个? 3.(2008· 湛江模拟)下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 (
1

)?

?A.y=x 2 (x∈(0,+∞))
1

B.y=3 x(x∈R)? D.y=lg|x|(x≠0)?

?C.y=x 3 (x∈R)?
98 106 101 ) ,f( ) ,f( ) 的大小关系是 19 17 15

4.(2008· 杭州模拟)已知偶函数 f(x)满足条件:当 x∈R 时,恒有 f(x+2)=f(x),且 0≤x≤1 时, 有
f ?(x ) >0,则

f(





?A. f(

98 106 101 ) >f( ) >f( )? 19 15 17

B. f( ?C. f( ?D. f(

106 98 101 ) > f( ) >f( )? 15 19 17

98 106 101 ) > f( ) > f( ) 17 19 15

106 98 101 ) > f( ) >f( ) , 15 17 19

5.如图为函数 y=m+lognx 的图象, 其中 m, 为常数, n 则下列结论正确的是 ( ) ?A.m<0,n>1 ? B.m>0,n>1? ?C.m>0,0<n<1? ?D.m<0,0<n<1? 6.已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 x∈(0,1)时,f(x)=2x-1,则 f(log212)的值为( ) ?A.
1 3

B.

4 3

C.2

D.11?
m 的值为 ( M

7. (2008· 重庆理, 已知函数 y= 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M, 4) 最小值为 m, 则 ?A.
1 4



B. ?

1 2

C.

2 2

D.

3 ? 2

8.若方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围是 ( ) ?A.a<-1? B.a>1? C.-1<a<1 D.0≤a<1? 9.f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的 个数的最小值是 ( ) ?A.5? B.4 C.3 D.2? 10.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调 查结果如下表: 表 1 市场供给表? 单价(元 /kg) 2 2.4 60 2.8 70 3.2 75 3.6 80 4 90

供给量 50 (1 000kg) 表 2 市场需求表?

36 / 39

单价(元 /kg)

4

3.4 60

2.9 65

2.6 70

2.3 75

2 80 )

供给量 50 (1 000kg)

根据以上提供的信息, 市场供需平衡点 (即供给量和需求量相等时的单价) 应在区间 ( ? ?A.(2.3,2.4)内? B.(2.4,2.6)内? ?C.(2.6,2.8)内? D.(2.8,2.9)内? 11.(2008· 成都模拟)已知函数 f(x)=loga( x ? 1 +bx) (a>0 且 a≠1), 则下列叙述正确的是 (
2



?A.若 a= ,b=-1,则函数 f(x)为 R 上的增函数? ?B.若 a= ,b=-1,则函数 f(x)为 R 上的减函数? ?C.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,则 b=± 1? ?D.若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 b=1?
? 1 x ( ) ?7 12.设函数 f(x)= ? 2 ? ? x ? ( x ? 0) ( x ? 0) ,
1 2

1 2

若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是





?A.(-∞,-3) B.(1,+∞)? C.(-3,1) D.(-∞,-3) ? (1,+∞)? 二、填空题 1 13.(2009· 广西河池模拟)已知函数 f(x)=log2(x2+1)(x≤0),则 f ?( 2) = . 14.已知函数 f(x)= ? 2 ?
? 1 x ( ) ? f ( x ? 1) ? ( x ? 4) ( x ? 4)

则 f(log23)的值为

.?

15. 2008· ( 通州模拟) 用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间 [2, 内的实根, 3] 取区间中点 x0=2.5, 那么下一个有实根的区间是 .? 答案 (2,2.5)? 16.(2008· 福州模拟)对于函数 f(x)定义域中任意的 x1,x2 (x1≠x2),? 有如下结论:? ①f(x1+x2)=f(x1)f(x2);? ②f(x1·2)=f(x1)+f(x2);? x ③
f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0;? x1 ? x2
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )< 2 2

④f(

当 f(x)=2x 时,上述结论中正确结论的序号是

.?

三、解答题 17.设直线 x=1 是函数 f(x)的图象的一条对称轴, 对于任意 x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1 时, 3 f(x)=x . (1)证明:f(x)是奇函数;? (2)当 x∈[3,7]时,求函数 f(x)的解析式.?
37 / 39

18.等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AB=10,CD=4,两腰 AD=CB=5,动点 P 由 B 点沿折线 BCDA 向 A 运动,设 P 点所经过的路程为 x,三角形 ABP 的面积为 S? (1)求函数 S=f(x)的解析式;? (2)试确定点 P 的位置,使△ABP 的面积 S 最大.?

19.(2008· 深圳模拟)据调查,某地区 100 万从事传统农业的农民,人均收入 3 000 元,为 了增加农民的收入,当地政府积极引进资本,建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加 工,同时吸收当地部分农民进入加工企业工作,据估计,如果有 x (x>0)万人进企业工作, 那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高 2x%,而进入企业工作的农民的人均收入 为 3 000a 元 (a>0).? (1)在建立加工企业后,要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农 民的年总收入,试求 x 的取值范围;? (2)在(1)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即 x 多大时) ,能使这 100 万农民的 人均年收入达到最大.?
1 ? ax 是奇函数.? 1 ? 2x

20.设 a,b∈R,且 a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)= lg (1)求 b 的取值范围;? (2)讨论函数 f(x)的单调性.?

21.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.? (1)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a);? (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)解析表达式.?

38 / 39

22.(2008· 南京模拟)已知函数 y=f(x)是定义在区间[- , ]上的偶函数,且 x∈[0, ]时,f(x)=-x2-x+5.? (1)求函数 f(x)的解析式;? (2) 若矩形 ABCD 的顶点 A, 在函数 y=f(x)的图象上, B 顶点 C, 在 x 轴上, D 求矩形 ABCD 面积的最大值.?
3 2

3 2

3 2

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