当前位置:首页 >> 数学 >>

正余弦定理及解三角形专题(高中数学卓越讲义)


正余弦定理及解三角形专题训练题 一、知识方法回顾:.叙述并证明余弦定理、正弦定理。

二、解三角形基本运用: 1.在△ABC 中, sin A ? D:

3 5 , cos B ? ,则 cosC ? ______ 5 13

16 65

2.在△ABC 中, a ?

2 , b ? 3 , B ? 600 ,则 A ? _______

3.在△ABC 中,面积 S=a2-(b-c)2,则 cosA= 8 A. 17 15 B. 17 13 C. 15 13 D. 17

4.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB, 则 A= A.30° B.60° C.120° D.150°

4. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若∠C=120° ,c= 2a,则( A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定

)

b a tanC tanC 5.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + =6cosC,则 + 的 a b tanA tanB 值是________. d4

1

6. 钝角三角形的三边长为 a,a+1,a+2,其最大角不超过 120° ,则 a 的取值范围是( A.0<a<3 3 B. ≤a<3 2 C.2<a≤3 5 D.1≤a< 2

)

7.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰好 是 3 km,那么 x 的值为( A. 3 C. 3或 2 3 ) B.2 3 D.3

8. 如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且

AB ? CD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则 sin C 的值为
3 A. 3 3 B. 6 6 C. 3 6 D. 6

9. 在 ? ABC 中. sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C .则 A 的取值范围是
2 2 2

?
A. (0, 6 ]

?
B.[ 6 , ? )

?
C. (0, 3 ]

?
D.[ 3 , ? )

10. 已知 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , sinC= D1 .

A+C=2B, 则

b ? 11. △ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 2asinAsinB+bcos2A= 2a , 则a

2

(A) 2 3

(B) 2 2

(C) 3

(D) 2

12. 如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则 AD 的 长度等于______。 d 2

4 、如图,正方形 ABCD的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? ( ) D A、

C

3 10 10

B、

10 10

C、

5 10

D、

5 15
E A B

cos A-2 cos C 2c-a = cos B b . 13. 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin C 1 (1)求 sin A 的值; (2)若 cosB= 4 ,b=2, ?ABC 的面积 S。

sin C 1 1 15 15 ? 2. S ? ac sin B ? ?1? 2 ? ? . 2 2 4 4 D: sin A

14. 在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,且
2 2

sin A cos C ? 3 cos A sin C 求 , b
3 2 b ? ac , , 2

B、 C 的对边长分别为 a 、 b、 cos( A ? C ) ? cos B ? 15.设 ?ABC 的内角 A 、 c,
求B 。

3

16.一船在海上由西向东航行,在 A 处测得某岛的方位角是北偏东 ? 角,前进 4km 后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 ? 角,已知该岛 3.5km 范围内有暗礁,现该船继续东行,当

? , ? 满足什么条件时,船航行没有触礁危险?

M

A

B

如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3 ? 3) 海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 450, B 点北偏西 600 的 D 点有一要求救船, 现位于 B 点南偏西 600 且与之相距 20 3 海里的 C 点的一救援船以每小时 30 海里的速度前去救援,问要多少时间到达?

在在 ?ABC 中,三边 a, b, c 的对角为 A,B,C . (1) 比较 sin

A A B C 1 a 与 的大小; (2)求证: sin sin sin ? 2 2 2 2 8 2 bc

求满足条件 AB ? 2,

AC ? 2BC 的 ?ABC 的面积最大值

17. 在 ?ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c.已知

sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R? ,



1 5 ac ? b 2 p ? ,b ?1 4 . 4 (1)当 时,求 a , c 的值; (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围;
4

p ? 0, 所以
D:

6 ? p ? 2. 2

18.如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动 赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ? x(A>0,

? >0) x ? [0,4]的图象,且图象的最高点为

S(3,2 3 );赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛 运动员的安全,限定 ? MNP=120 (I)求 A ,
o

? 的值和 M,P 两点间的距离;

(II)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 19. 已知△ABC 的三边长都是有理数。 (1)求证 cosA 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数。

5

已平面向量 a

, b ( a ? 0 , a ? b )满足 | b |? 1 ,且 a 与 b ? a 的夹角是

2? ,则 | a | 3

的取值范围是_______________ D:

b, a, b ? a 构成三角形, 0 ?| a |?

2 3 3

△ ABC 中, b ? c ? bc ? a
2 2

2

(1)求 A (2)若 a ?

3 ,求 b 2 ? c 2 的取值范围。

如图,若 RT ?ABC 的斜边 AB ? 2 ,则内切圆的半径 r 的最大值是________________

在锐角△ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A ,则

AC ? ____ , AC 的取值范围_______________ cos A

在△ABC 中, a ? 3, b ? 2 6 , ?B ? 2?A (1)求 cos A (2)求 c

已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。

6

在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,角 A,B,C 成等差数列。 (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值

解 法 一 : 在 ?ABC 中 ? sin A cos C ? 3cos A sin C, 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 ?c, 化 简 并 整 理 得 : 2 (a 2 ? c 2 )? b2. 又 由 已 知 有 : a? 2ab 2bc
a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 。
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2 …………………………………① 又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4 cos A sin C
由正弦定理得 sin B ?

b sin C ,故 b ? 4c cos A ………………………② c 3 B c ? o , s 易 想 到 先 将 B ? ? ? ( A ? C) 代 入 2

由①,②解得 b ? 4 。

s? ( C ? ) 分 析 : 由 c oA c oA s? ( C ? )
展开得 sin A sin C ? 进而得 sin B ?

3 3 B c ? o得 s cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? 然后利用两角和与差的余弦公式 2 2。 3 2 2 ; 又由 b ? ac , 利用正弦定理进行边角互化, 得 sin B ? sin A sin C , 4

2? ? 2? 3 .故 B ? 或 。 大部分考生做到这里忽略了检验, 事实上, 当B ? 3 3 3 2

时,由 cos B ? ? cos( A ? C ) ? ? 应舍去。

1 3 ,进而得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? ? 2 ? 1 ,矛盾, 2 2

7

也可利用若 b ? ac 则 b ? a或b ? c 从而舍去 B ?
2

2? 。不过这种方法学生不易想到。 3

8


赞助商链接
相关文章:
正余弦定理解三角形题型归纳总结
正余弦定理解三角形题型归纳总结 - 专题:正弦定理和余弦定理 考点集结 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 内容 正弦定理 a s in A ? b s ...
解三角形完整讲义
解三角形完整讲义 - 正余弦定理知识要点: 1、正弦定理: a b c ? ? ? 2 R 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C . sin A sin...
正余弦定理解三角形题型归纳总结
正余弦定理解三角形题型归纳总结 - 专题:正弦定理和余弦定理 考点集结 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 内容 正弦定理 a b c ? ? ? 2R...
必修五 解三角形 讲义_图文
必修五 解三角形 讲义 - 人教版数学必修五 第一章 解三角形 重难点解析 【重点】 1、正弦定理余弦定理的探索和证明及其基本应用。 2、 在已知三角形的两边...
解三角形上课讲义
解三角形上课讲义_数学_高中教育_教育专区。解三角形讲义摘要:高考对解三角形...2 3 ,求边 c 题型 1:正、余弦定理 1、在△ABC 中,由已知条件解三角形,...
正余弦定理专题
正余弦定理专题 - 解斜三角形(正余弦定理灵活应用) 1.正弦定理: a b c = = =2R.(关键点“比” ) sin A sin B sin C 利用正弦定理,可以解决以下两...
2018届高考理科数学二轮专题复习讲义 三角变换与解三角形
2018届高考理科数学二轮专题复习讲义 三角变换与解三角形 - 专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲 考情考向分析 正弦定理余弦定理以及解三角形问题是高考...
解三角形补习讲义答案版
解三角形补习讲义答案版_数学_高中教育_教育专区。正弦余弦定理复习 1、在 ?ABC 中,已知 A ? 30?, B ? 45?, a ? 2 ,则 b ? ___. 2、在 ?ABC ...
专题2.1 利用正余弦定理解三角形中的几何量(长度角度面...
专题2.1 利用正余弦定理解三角形中的几何量(长度角度面积周长等)-2018年高考数学解答题专题训练 - 1.在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b...
解三角形专题
解三角形专题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。解三角形专题一、基础知识: 1...(1)直接法:观察题目中所给的三角形要素,使用正余弦定理求解 (2)间接法:可以...
更多相关标签: