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第2章 第3节 函数的奇偶数及周期性


2009~2013 年高考真题备选题库 第二章 函 数 第三节 函数的奇偶性及周期性
考 点 函数的奇偶性及周期性
) 1 1. (2013 山东, 5 分)已知函数 f(x)为奇函数, 且当 x>0 时, f(x) =x2+ , 则 f(-1)=( x A.2 C.0 B.1 D.-2

解析:本题主要考查函数奇偶性的应用,考查运算求解能力和转化思想.由 f(x)为奇函 数知 f(-1)=-f(1)=-2. 答案:D 2.(2013 广东,5 分)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x 中,奇 函数的个数是( A.4 C.2 ) B.3 D.1

解析:本题考查函数的奇偶性,考查考生对函数性质——奇偶性的了解.由奇函数的概 念可知,y=x3,y=2sin x 是奇函数. 答案:C 3.(2013 湖南,5 分)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(- 1)=4,则 g(1)等于( A.4 C.2 ) B.3 D.1

解析:本题主要考查奇函数与偶函数的定义和解方程组,意在考查考生的化简能力.由 已知可得,-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,两式相加解得,g(1)=3. 答案:B 4. (2013 安徽,5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时,f(x)= x(1-x),则当-1≤x≤0 时,f(x)=________. 解析:本题主要考查函数解析式的求法,意在考查考生对函数解析式的理解,以及对抽 象函数的化归与转化能力. 当-1≤x≤0 时,有 0≤x+1≤1,所以 f(1+x)=(1+x)[1-(1+x)]=-x(1+x).又 f(x+ x?x+1? 1 1)=2f(x),所以 f(x)= f(1+x)=- . 2 2 x?x+1? 答案:- 2

5. (2012 山东,5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1 时,f(x) =-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=( A.335 C.1 678 B.338 D.2 012 )

解析:由 f(x+6)=f(x)可知,函数 f(x)的周期为 6,所以 f(-3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4) =0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有 f(1)+f(2)+… +f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以 f(1)+f(2)+…+f(2 012)=f(1)+f(2)+335×1=1+2+ 335=338. 答案:B 6. (2011 广东,5 分)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒 成立的是( ) B.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.f(x)+|g(x)|是偶函数

A.|f(x)|-g(x)是奇函数 C.f(x)-|g(x)|是奇函数

解析: 设 F(x)=f(x)+|g(x)|, 由 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数, 得 F(-x)=f(- x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|=F(x),∴f(x)+|g(x)|是偶函数,又可判断其他选项不恒成立. 答案:D 7. (2011 安徽,5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x) =2x2-x,则 f(1) =( ) A.-3 C.1 B.-1 D.3

解析:法一:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 x≤0 时,f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3. 法二:设 x>0,则-x<0, ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x2-x,∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2 +x, 又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=-2x2-x, ∴f(1)=-2×12-1=-3. 答案:A 8. (2010 山东,5 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为 常数),则 f(-1)=( A.-3 C.1 ) B.-1 D.3

解析:因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以有 f(0)=20+2×0+b=0,解得 b=-1,

因为当 x≥0 时,f(x)=2x+2x-1,所以 f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3. 答案:A 9. (2010 安徽,5 分)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3) -f(4)=( A.-1 C.-2 解析:由于函数 f(x)的周期为 5, 所以 f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1), 又 f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1. 答案:A 10.(2011 浙江,4 分)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析:由题意知,函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则 f(1)=f(-1),∴1-|1+a|=1-|-1 +a|,∴a=0. 答案:0 ) B.1 D.2


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