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高中数学必修二第一章测试题及答案


第一章 一、选择题

空间几何体

1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是一个(

).

主视图

左视图 (第 1 题)

俯视图

A.棱台

B.棱锥

C.棱柱

D.正八面体

2.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面 积是( ). B.
1+ 2 2

A.2+ 2

C. ).

2+ 2 2

D. 1+ 2

3.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A. 3 B.2 3

C.3 3

D.4 3 ).

4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( A.25π B.50π C.125π ). C.2∶ 3 D. 3 ∶3 D.都不对

5.正方体的棱长和外接球的半径之比为( A. 3 ∶1 B. 3 ∶2

6. 若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面, 且侧棱长为 5, 它的对角线的长分别是 9 和 15, 则这个棱柱的侧面积是( A.130 B.140 C.150 ). D.160

).

7.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是(

(第 7 题) 8.已知 a 、 b 、 c 是直线, ? 是平面,给出下列命题: ①若 a ? b, b ? c, 则a // c ; ②若 a // b, b ? c, 则a ? c ;

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③若 a // ? , b ? ? , 则a // b ; ④若 a 与 b 异面,且 a // ? , 则b与? 相交; ⑤若 a 与 b 异面,则至多有一条直线与 a ,b 都垂直. 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 9.若三个球的表面积之比是 1∶2∶3,则它们的体积之比是_____________. 10. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 是上底面 ABCD 的中心, 若正方体的棱长为 a, 则三棱锥 O-AB1D1 的体积为_____________. 11.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ,则这个长方体的对角线长是___________,它的体 积为___________. 三、解答题 12 .已知半球内有一个内接正方体,求这个半球的体积与正方体的体积之比.

13.如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2 2 ,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周 所成几何体的表面积及体积.

(第13题)

15.S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,如图 SA=SB=SC, 且 ?ASB? ?BSC ? ?CSA ?

?
2

,M、N 分别是 AB 和 SC 的中点. N C

S

求异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值.

B M A

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第一章

空间几何体

参考答案 一、选择题 1.A 解析:从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断可能是棱台. 2.A 解析:原图形为一直角梯形,其面积 S= 3.A 解析:因为四个面是全等的正三角形,则 S 表面=4× 4.B 解析:长方体的对角线是球的直径,
3 = 3. 4

1 (1+ 2 +1)×2=2+ 2 . 2

l= 32+42+52 =5 2 ,2R=5 2 ,R=
5.C 解析:正方体的对角线是外接球的直径. 6.D

5 2 2 ,S=4π R =50π . 2

2 解析:设底面边长是 a,底面的两条对角线分别为 l1,l2,而 l12 =15 -5 , l 2 =9 -5 , 2 而 l12 + l 2 =4a ,即 15 -5 +9 -5 =4a ,a=8,S 侧面=4×8×5=160.
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

7.D 解析:过点 E,F 作底面的垂面,得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱,

3 1 3 15 1 V=2× × ×3×2+ ×3×2× = . 2 2 2 3 4
8.D 解析:从三视图看底面为圆,且为组合体,所以选 D. 9.A 二、填空题 10.参考答案:1∶2 2 ∶3 3 .

r1∶r2∶r3=1∶ 2 ∶ 3 , r13 ∶ r23 ∶ r33 =13∶( 2 )3∶( 3 )3=1∶2 2 ∶3 3 .
1 11.参考答案: a 3 . 6
解析:画出正方体,平面 AB1D1 与对角线 A1C 的交点是对角线的三等分点, 三棱锥 O-AB1D1 的高 h=
3 3 3 1 1 1 2 a,V= Sh= × ×2a × a= a3. 3 4 3 6 3 3
第 3 页 共 4 页

另法:三棱锥 O-AB1D1 也可以看成三棱锥 A-OB1D1,它的高为 AO,等腰三角形 OB1D1 为底面. 12.参考答案: 6 , 6 . 解析:设 ab= 2 ,bc= 3 ,ac= 6 ,则 V = abc= 6 ,c= 3 ,a= 2 ,b=1,

l= 3+2+1 = 6 .
三、解答题 13.参考答案: 如图是过正方体对角面作的截面.设半球的半径为 R,正方体的棱长为 a,则 CC'=a,OC= A' C'
2 a,OC'=R. 2

A

O (第 14 题)

C

在 Rt△C'CO 中,由勾股定理,得 CC' +OC =OC' , 即 a +( ∴R=
2

2

2

2

2 2 a) =R2. 2

6 6 a,∴V 半球= π a 3 ,V 正方体=a 3 . 2 2

∴V 半球 ∶V 正方体= 6 π ∶2. 14.参考答案:

S 表面=S 下底面+S 台侧面+S 锥侧面
=π ×5 +π ×(2+5)×5+π ×2×2 2 =(60+4 2 )π .
2

V=V 台-V 锥
1 1 2 = π ( r12 +r1r2+ r22 )h- π r h1 3 3 148 π. 3 15.证明:连结 CM,设 Q 为 CM 的中点,连结 QN 则 QN∥SM ∴∠QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角 连结 BQ,设 SC=a,在△BQN 中
= BN=
5 a 2

NQ= 1 SM=
2

2 4

a

BQ=

14 a 4

∴COS∠QNB=

BN 2 ? NQ 2 ? BQ 2 10 ? 2 BN ? NQ 5

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