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第五章 时间数列(补充例题)


第五章 动态数列 例 1、 “九五”时期我国国内生产总值资料如下: 单位:亿元 年份 国内生产总值 第一产业 1996 1997 1998 1999 2000 67884.6 74462.6 78345.2 82067.4 89403.5 13844.2 14211.2 14552.2 14472.0 14212.0 其中 第二产业 33612.9 37222.7 38619.3 40557.8 45487.8 第三产业 20427.5 23028.7 25173.5 27037.7 29703.8

试计算“九五”时期我国国内生产总值和其中各产业的平均发展水平。

解: 【分析】这是时期数列资料,可按简单算术平均数( 计算结果如下: 国内生产总值平均发展水平 78432.7 亿元

? a )计算平均发展水平。
n

其中:第一产业平均发展水平 14258.3 亿元;第二产业平均发展水平 39100.1 亿元;第三产业平均发展水 平 25074.2 亿元。 例 2、我国人口自然增长情况见下表: 单位:万人 1986 年 比上年增加人口 1656 1987 年 1793 1988 年 1726 1989 年 1678 1990 年 1629

试计算我国在“七五”时期年平均增加人口数量。

解: 【分析】新增长人口是时期指标,故平均增加人口数量仍用 a

?

? a 计算。
n

年平均增加 a

?

? a ? 1656? 1793? 1726? 1678? 1629 ? 1696.4 (万人)
n 5
单位:万元

例 3、某商店 2010 年商品库存资料如下:

日期 1月1日 1 月 31 日 2 月 28 日 3 月 31 日 4 月 30 日 5 月 31 日 6 月 30 日

库存额 63 60 55 48 43 40 50

日期 7 月 31 日 8 月 31 日 9 月 30 日 10 月 31 日 11 月 30 日 12 月 31 日

库存额 48 45 45 57 60 68

试计算第一季度、第二季度、上半年、下半年和全年的平均库存额。 解:这是一个等间隔时点数列,用“首末折半法”计算:

1

1 1 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an 2 a?2 n ?1 63 48 ? 60 ? 55 ? 2 ? 56.(万元) 第一季度平均库存额? 2 8 3 48 50 ? 43 ? 40 ? 2 ? 44 第二季度平均库存额? 2 (万元) 3 50 45 ? 48 ? 45 ? 2 ? 46.(万元) 第三季度平均库存额? 2 8 3 45 68 ? 57 ? 60 ? 2 ? 57.(万元) 第四季度平均库存额? 2 8 3 56.8 ? 44 上半年平均库存额 ? ? 50.(万元) 4 2 46.8 ? 57.8 下半年平均库存额 ? ? 52.(万元) 3 2 56.8 ? 44 ? 46.8 ? 57.8 全年平均库存额 ? ? 51.35 (万元) 4

例 4、某企业 2002 年各月份记录在册的工人数如下: 1月1日 在册工 人数 试计算 2002 年该企业平均工人数。 解: 【分析】这是不等间隔时点数列,用间隔月数进行加权的公式计算平均工人数: 326 2月1日 330 4月1日 335 6月1日 408 9月1日 414 12 月 1 日 412 12 月 31 日 412

1 1 1 (a1 ? a2 ) f1 ? (a2 ? a3 ) f 2 ? ? ? (an ?1 ? an ) f n ?1 2 2 a? 2 f1 ? f 2 ? ? ? f n ?1

326 ? 330 330 ? 335 335? 408 408? 414 414 ? 412 412 ? 412 ?1 ? ?2? ?2? ?3? ?3? ?1 2 2 2 2 2 2 ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ?1
=385(人) 例 5、某企业 2002 年各季度计划利润和利润计划完成程度的资料如下: 计划利润(万元) 第一季度 第二季度 第三季度 860 887 875 利润计划完成(%) 130 135 138

2

第四季度 试计算该企业年度利润计划平均完成百分比。

898

125

解: 【分析】应该按两个时期数列对比组成的相对指标动态数列计算序时平均数的算式计算:

a?
该企业利润年平均计划完成百分比(%)

? a ? ?b ? ? a n n ?b

?

860 ? 130 % ? 887 ? 135 % ? 875 ? 138 % ? 898 ? 125 % ? 132 % 860 ? 887 ? 875 ? 898

例 6、1995-2000 年各年底某企业职工工人数和工程技术人员数资料如下: 年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 职工人数 1000 1020 1085 1120 1218 1425 工程技术人员 50 50 52 60 78 82

试计算工程技术人员占全部职工人数的平均比重。 解: 【分析】这是由两个时点数列对比所组成的相对指标动态数列计算序时平均数的问题。分子和分母均 应按“首末折半法”计算序时平均数后加以对比。 工程技术人员占全部职工工人数比重(%)

1 1 1 ( a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an ) 2 = ? n ?1 2 1 1 1 ( b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn ) n ?1 2 2 1 50 82 ? ( ? 50 ? 52 ? 60 ? 78 ? ) 61.2 6 ?1 2 2 ? ? 5.4% 1 1000 1425 1131 1 . ?( ? 1020? 1085? 1120? 1218? ) 6 ?1 2 2
例 7、某工厂 2003 年上半年工人数和工业总产值资料如下: 月份 1 2 3 4 5 6 月初工人数(人) 1850 2050 1950 2150 2216 2190 总产值(亿元) 2.50 2.72 2.71 3.23 3.74 3.73

另外,7 月初工人数为 2250 人。根据上述资料计算: (1)上半年平均工人数。 (2)上半年平均总产值。 (3)上半年平均劳动生产率。 (4)上半年劳动生产率。 解: 【分析】解答本题要明确劳动生产率的概念;认识月初工人数是时点指标,总产值是时期指标,然后 采用相应的方法计算序时平均数加以对比。

3

1850 2250 ? 2050? 1950? 2150? 2216? 2190? 2 ? 2101 (1)上半年平均工人数 ? 2 (人) 7 ?1 2.50 ? 2.72 ? 2.71 ? 3.23 ? 3.74 ? 3.73 ? 3.105 (亿元) (2)上半年平均总产值 ? 6 3.105 ? 0.001478 (亿元)? 14.78万元 / 人 (3)上半年平均劳动生产率 ? 2101
(4)上半年劳动生产率

?

2.50 ? 2.72 ? 2.71 ? 3.23 ? 3.74 ? 3.73 ? 0.008867 (亿元)? 88.67万元 / 人 2101
企业 增加值(万元) 1-15 日 甲 乙 415 452 330 332 工人数 16-20 日 312 314 21-28 日 245 328

例 8、某公司的两个企业 2004 年 2 月份工业增加值及每日工人在册资料如下:

试计算各企业和综合两企业的月劳动生产率 先按

? af ?f

公式计算平均工人数

330 ? 15 ? 312 ? 5 ? 245 ? 8 ? 302 .5 ? 303(人) 15 ? 5 ? 8 332 ? 15 ? 314 ? 5 ? 328 ? 8 ? 327 .6 ? 328 (人) 乙企业: 15 ? 5 ? 8 (330 ? 332) 15 ? 312 ? 314) 5 ? 245 ? 328) 8 ? ( ? ( ? ? 630 (人) 全公司: 15 ? 5 ? 8
甲企业: 计算结果如下表: 企业 增加值(万元) (1) 甲 乙 合计 415 452 867 平均工人数(人) (2) 302.5 327.6 630 月劳动生产率(元/人) (3)=(1)÷(2) 13719 13797 13762

例 9、试利用动态指标的互相联系来确定某市生产总值动态数列水平和所缺的环比动态指标:

生产 年份 总值 (亿元) 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 42 32 108 353 24 增长量 (亿元)

环比动态指标 发展速度(%) 增长速度(%) 增长 1%绝对值(亿 元)

106.1 7.25

4.59

4

2008 2009

612 48

5.72

解: 【分析】动态分析指标中增长速度与发展水平、前期水平与增长 1%绝对值的关系是解答本题的依据。 就是结果如下表所示: 生产 年份 总值 (亿元) 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 平均增长量= 353 377 400 429 459 491 530 572 612 660 增长量 (亿元) —— 24 23 29 30 32 39 42 40 48 环比动态指标 发展速度(%) —— 106.8 106.1 107.25 107.0 107.0 108 107.9 107.0 107.8 增长速度(%) —— 6.8 6.1 7.25 7.0 7.0 8.0 7.9 7.0 7.8 增长 1%绝对值(亿 元) —— 3.53 3.77 4.00 4.29 4.59 4.91 5.30 5.72 6.12

660 ? 353 24 ? 23 ? 29 ? 30 ? 32 ? 39 ? 42 ? 40 ? 48 ? ? 34.11 9 9

平均发展速度 =
9

106.8% ?106.1% ?107.3% ?107% ?107% ?108% ?107.9% ?107% ?107.8% =
660 ? 1.072 353

9

平均增长速度=1.072-1=0.072 即该市生产总值年平均总值 34.11 亿元,平均发展速度 107.2%。 例 10、已知某公司所属甲、乙两工厂 2001 年利税各为 500 万元与 1000 万元,其环比增长速度如下: 单位:% 2002 年 甲厂 乙厂 12.5 10.0 2003 年 10 15

试通过计算确定哪个工厂平均增长速度较高?整个公司哪年的发展速度较快? 解:各年份利税总量指标计算如下: 单位:% 2001 年 甲厂 乙厂 合计 平均增长速度: 500 1000 1500 2002 年 500×1.125=562.5 1000×1.1=1100 1662.5 2003 年 562.5×1.1=618.75 1100×1.15=1265 1883.75

甲厂:

1.125? 1.1 ? 1 ?

618.75 ? 1 ? 0.1124? 11.24% 500

5

乙厂:

1.1? 1.15 ? 1 ?

1265 ? 1 ? 0.1247 ? 12.47% 1000

乙厂的平均增长速度比甲厂高 1.23 个百分点 公司发展速度:

562 .5 ? 1100 1662 .5 ? ? 110 .83% 500 ? 1000 1500 618 .75 ? 1265 1883 .75 ? ? 113 .31% 2003 年: 562 .5 ? 1100 1662 .5
2002 年: 说明整个公司 2003 年发展速度较快。 例 11、某地区粮食产量 1985—1987 年平均发展速度是 1.03,1988—1989 年平均发展速度是 1.05,1990 年比 1989 年增长 6%,试求 1985—1990 年六年的平均发展速度。 解: 【分析】本题的基年是 1984 年,前后跨度七年,可理解为对 6 项环比发展速度按几何平均法计算其平 均值。 平均发展速度

X?

?f

?X f ? 6 (1.03)3 ? (1.05) 2 ? 1.06 ? 104.2%

例 12、1995 年我国国内生产总值 5.76 万亿元。 “九五”的奋斗目标是到 2000 年增加到 9.5 万亿元,远景 目标是 2010 年比 2000 年翻一番。试问: “九五”期间将有多大平均增长速度?(2)1996—2010 年(以 (1) 1995 年为基期)平均每年发展速度多大才能实现远景目标? (3)2010 年人口控制在 14 亿内,那时人均国内生产总值达到多少元? 解: (1)平均发展速度= n

an 5 9.5 ? ? 110.52% a0 5.76

“九五”平均增长速度将达到 10.52% (2)至 2010 年国内生产总值将达到的规模是: 2 ? 9.5 ? 19(万亿元)

实现远景目标的平均增长速度为: n

an 19 ? 1 ? 15 ? 1 ? 1.083? 1 ? 8.3% a0 5.76

(3)2010 年人均国内生产总值将达到的水平是: 19 ? 14 ? 1.357 万元) ( 例 13、某煤矿采煤量如下: 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 产量 301 302 304 291 298 310 305 312 315 310 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 产量 308 319 320 323 296 290 328 330 334 338 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 产量 336 334 338 338 339 345 342 356 350 351

求: (1)按五日和按旬合并煤产量,编成时间数列; (2)按五日和按旬计算平均日产量,编成时间数列;

6

(3)运用移动平均法(时距扩大为四天和五天)编制时间数列。 解: (1) (2)按五日和按旬计算的采煤量与按五日和按旬的平均日产量编成时间数列。 某煤矿每五日的采煤量和每五日平均每日采煤量的时间数列 单位:吨 日期起止 1-5 6-10 11-15 煤产量 1496 1552 1566 平均日产量 299.2 310.4 313.2 日期起止 16-20 21-25 26-30 煤产量 1615 1685 1744 平均日产量 323 337 348.8

某煤矿每 10 日的采煤量和每 10 日平均每日采煤量的时间数列 单位:吨 日期起止 煤产量 平均日产量 1-10 3048 304.8 11-20 3181 318.1 21-30 3429 342.9

(3)运用移动平均法(时距扩大为四天和五天)编制时间数列: 五天移动平均: 第一个平均数为

301 ? 302 ? 304 ? 291 ? 298 1496 ? ? 299 .2 5 5

对正第三天原值。 依次类推移动平均,得出五天移动平均数列共 26 项。 四天移动平均: 第一个平均数为

301 ? 302 ? 304 ? 291 ? 299 .5 4 302 ? 304 ? 291 ? 298 ? 298 .75 4

对着第 2-3 项中间。 第二个平均数为

对着第 2-3 项中间。依次类推移动平均,得出四天移动平均数列。最后进行二项移正平均。

日期

产量 五天移动平均

趋势值 四天移动平均 两项移正平均 — —

1

301



2

302

— 299.50



3

304

229.2 298.75

299.10

4

291

301.0 300.75

299.75

5

298

301.6 301.00

300.88

6

310

303.2 306.25

303.75

7

305

308.0 310.50

308.50

7

8

312

310.4 310.50

310.50

9

315

310.0 311.25

310.90

10

310

312.8 313.00

312.10

11

308

314.4 314.25

313.60

12

319

316.0 317.50

315.90

13

320

313.2 314.50

316.00

14

323

309.6 307.25

310.90

15

296

311.4 309.25

308.30

16

290

313.4 311.00

310.25

17

328

315.6 320.50

315.80

18

330

323.0 331.25

325.90

19

334

332.2 333.25

332.30

20

333

333.4 334.25

333.80

21

336

335.1 335.25

334.80

22

334

335.8 336.50

336.00

23

338

337.0 337.25

337.00

24

338

338.8 340.00

338.60

25

339

340.4 341.00

340.50

26

345

344.4 345.50

343.25

27

342

346.4 348.25

346.90

28

356

348.8 349.75

349.00

29

350





8

— 30 351 — —

例 14、某地区年粮食总产量如下表所示: 年份 1 2 3 4 5 产量(万吨) 230 236 241 246 252 年份 6 7 8 9 10 产量(万吨) 257 262 276 281 286

要求: (1)试检查该地区粮食生产发展趋势是否接近于直线型的?(2)如果是直线型,请用最小平方法 配合直线趋势方程。 (3)预测第 11 年的粮食生产水平。 解: (1)列表如下: 年份 1 2 3 4 5 产量 y 230 236 241 246 2525 逐期增长量 — 6 5 5 6 年份 6 7 8 9 10 产量 y 257 262 276 281 286 逐期增长量 5 5 14 5 5

从逐期增长量可以看出,各期增长量大体相同,所以变化趋势是直线型的。 (2)配合直线趋势方程如下: 年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 产量

y

时间代码 t -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 0

t2
81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 330

ty
-2070 -1652 -1205 -738 -252 252 786 1380 1967 2574 1047

趋势值

yt ? a ? bt

230 236 241 246 252 257 262 276 281 286 2567

228.17 234.51 240.85 247.19 253.53 259.87 266.21 272.55 278.89 285.23 2567

?

把上表数据代入简化了的方程组:

?? y ? na ? ? 2 ?? ty ? b? t ?
9

解得 a

y 2567 ?? ? ? 256.7 , b ? n 10

? ty ? 1047 ? 3.17 ? t 330
2

则配合的直线方程为

yt ? a ? bt ? 256.7 ? 3.17t
? 11 )粮食产量为:

(3)预测第 11 年( t

y11 ? 256.7 ? 3.17 ?11 ? 291.57(万吨)
例 15、以下是某厂的单位产品成本和配合方程的相关数据: 年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 金额(元) 435 422 407 395 382 370 —

y

环比速度(%) — 97.01 96.45 97.05 96.71 96.86 —

t
1 2 3 4 5 6 21

t2
1 4 9 16 25 36 91

lg y
2.6385 2.6253 2.6096 2.5966 2.5821 2.5682 15.6203

t lg y
2.6385 5.2506 7.8288 10.3864 12.9105 15.4092 54.424

?

预测 2001 年的单位产品水平。 解: 【分析】从以上资料可知环比速度大体相同,所以其发展趋势是指数曲线型的,方程式为

yt ? abt

lg y ? t lg b ? lg a
设Y

? lg y, B ? lg b,

A ? lg a

下面用最小二乘法配合曲线方程。

B?

n? tY ? ? t ?Y 6 ? 54.424 ? 21? 15.620 ? ? ?0.01412 n? t 2 ? (? t ) 2 6 ? 91? 212

b ? 10B ? 10?0.01412 ? 0.968

Y t 15.6203 21 A? ? ?B? ? ? ?? 0.1412? ? ? 2.6528 n n 6 6
a ? 10A ? 102.6528 ? 449.573
所以

yt ? abt ? 449.573? 0.968t

y7 ? ab7 ? 449.573? 0.9687 ? 358(元)
例 16、某市 1999——2002 年各月毛衣销售量如下: 单位:件 月份 1999 2000 2001 2002 月平均

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

8000 6000 2000 1000 600 400 800 1200 2000 5000 21000 25000

15000 9000 4000 2500 1000 800 1200 2000 3500 8500 34000 35000

24000 15000 6000 4000 2000 1100 3200 4000 7000 15000 42000 48000

28000 14000 8000 3000 1200 900 3700 4800 8300 14000 47000 51000

18750 1100 5000 2625 1200 800 2225 3000 5200 10625 36000 39754

根据上表资料按月平均法计算季节比率。 解: 【分析】先计算出各年同月份的月平均数(即上表的“月平均” )和各年所有月份的月总平均数,然后 将 12 个各年同月的平均数分别除以各年所有月份的月总平均数, 得到 12 个季节比率, 比率高说明是旺季, 比率低说明是淡季。 通过计算,各年所有月份的平均数(月总平均数)为

18750 ? 11000 ? 5000 ? 2625 ? 1200 ? 800 ? 2225 ? 3000 ? 5200 ? 10625 ? 36000 ? 39754 12
=11348.25 所计算的季节比率如下表: 月份 1 2 3 4 5 6 季节比率的具体计算: 季节比率(%) 165.22 96.93 44.06 23.13 10.57 7.05 月份 7 8 9 10 11 12 季节比率(%) 19.61 26.44 45.82 93.63 317.23 350.31

18750 ? 165 .22% 11348 .25 39754 ? 350 .31 % 如 12 月份的季节比率= 11348 .25
如 1 月份的季节比率=

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