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2018_2019学年高中数学第二章几个重要的不等式1.2一般形式的柯西不等式学案北师大版选修4_5

1.2
学习目标

一般形式的柯西不等式

1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式,体会从特

殊到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题.

知识点一 三维形式的柯西不等式 思考 1 类比平面向量,在空间向量中,如何用|α ||β |≥ |α ·β |推导三维形式的柯西不等式? 答案 设 α =(a1,a2,a3),β =(b1,b2,b3), 则|α |= a1+a2+a3,|β |= b1+b2+b3. ∵|α ||β |≥|α ·β |, ∴ a1+a2+a3· b1+b2+b3≥|a1b1+a2b2+a3b3|, ∴(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)≥(a1b1+a2b2+a3b3) . 思考 2 三维形式的柯西不等式中,等号成立的条件是什么? 答案 当且仅当 α ,β 共线时,即 β =0 或存在实数 k,使 a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3 时, 等号成立. 梳理 三维形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是两组实数,则(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)≥(a1b1+a2b2+a3b3) .当向 量(a1,a2,a3)与向量(b1,b2,b3)共线时,等号成立. 知识点二 一般形式的柯西不等式 1.一般形式的柯西不等式 设 a1, a2, a3, …, an, b1, b2, b3, …, bn 是两组实数, 则(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)≥(a1b1 +a2b2+…+anbn) . 2.柯西不等式等号成立的条件 当且仅当 bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数 k,使得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

ai=kbi(i=1,2,…,n)时等号成立.当向量(a1,a2,…,an)与向量(b1,b2,…,bn)共线时,
等号成立.

1

类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度 1 三维形式的柯西不等式的应用 例 1 设 a,b,c 为正数,且不全相等. 求证: 2 2 2 9 + + > . a+b b+c c+a a+b+c

证明 构造两组数 a+b, b+c, c+a; 1

a+b



1

b+c



1

c+ a

,则由柯西不等式,得

(a+b+b+c+c+a)? 即 2(a+b+c)? 于是

? 1 + 1 + 1 ?≥(1+1+1)2,① ? ?a+b b+c c+a?

? 1 + 1 + 1 ?≥9, ? ?a+b b+c c+a?

2 2 2 9 + + ≥ . a+b b+c c+a a+b+c

由柯西不等式知,①中等号成立?

a+b
1



b+c
1



c+a
1

?a+b=b+c=c+a?a=b=c.

a+b

b+c

c+a

因为题设中 a,b,c 不全相等,故①中等号不成立, 于是 2

a+b b+c c+a a+b+c



2



2



9

.

反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件,可以通过: (1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的 目的. (4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.

?a b c? ?b c a? 跟踪训练 1 已知 a,b,c∈R+,求证:? + + ?·? + + ?≥9. ?b c a? ?a b c?
b?2 ? ? +? a? ? a?2 ? c? c?2 ? ? +? b? ?
证明 由柯西不等式知, 左边=?? ≥?

?? ??
a × b

a?2 ? ? +? b? ? b + a
2

b?2 ? ? +? c? ? b × c c + b

c?2? ?? ? ?×?? a? ? ?? c × a

a?2? ?? c? ?

? ?

=(1+1+1) =9,
2

∴原不等式成立. 命题角度 2 一般形式的柯西不等式的应用 例 2 设 a1,a2,…,an 为正整数,求证: + +…+ ≥a1+a2+…+an. 证明 由柯西不等式,得

a2 a2 1 2 a2 a3

a2 n a1

?a1+a2+…+an?(a +a +…+a ) ?a2 a3 2 3 1 a1? ? ?
≥?

2

2

2

? a1 · a2+ a2 · a3+…+ an · a1?2 ? a3 a1 ? a2 ?
2

=(a1+a2+…+an) , 故 + +…+ ≥a1+a2+…+an. 反思与感悟 一般形式的柯西不等式看着往往感觉比较复杂,这时一定要注意式子的结构特 征,一边一定要出现“方、和、积”的形式. 跟踪训练 2 已知 a1, a2, …, an∈R+, 且 a1+a2+…+an=1, 求证: + 1 ≥ . an+a1 2
2 2 2

a2 a2 1 2 a2 a3

a2 n a1

a2 1

a1+a2 a2+a3



a2 2

+…+

a2 n-1

an-1+an

a2 n

? a1 + a2 +…+ an ?×2 证明 ∵? an+a1? ?a1+a2 a2+a3 ? ? a1 + a2 +…+ an ?[(a +a )+(a +a )+…+(a +a )] =? 1 2 2 3 n 1 an+a1? ?a1+a2 a2+a3 ? ? a1 ≥? · a1+a2+ ?a1+a2
2 2 2 2 2

a2 2

a2+a3

· a2+a3+…+

a2 n

an+a1

· an+a1?

?2 ?

=(a1+a2+…+an) =1, ∴

a2 1

a1+a2 a2+a3



a2 2

+…+

a2 n

an+a1 2

1 ≥ .

类型二 利用柯西不等式求函数的最值 例 3 (1)若实数 x,y,z 满足 x+2y+3z=a(a 为常数),则 x +y +z 的最小值为______. 答案
2 2 2

a2
14
2 2 2 2 2 2 2 2

解析 ∵(1 +2 +3 )(x +y +z )≥(x+2y+3z) =a , 1 2 3 2 2 2 2 当且仅当 = = 时取等号,即 14(x +y +z )≥a ,

x y z
2

∴x +y +z ≥ , 14 即 x +y +z 的最小值为 . 14
3
2 2 2

2

2

a2

a2

1 4 9 (2)已知 x,y,z∈R+,且 x+y+z=1.求 + + 的最小值;

x y z

解 ∵x+y+z=1,

? 1 4 9 ?1 4 9? ∴ + + =? + + ?(x+y+z)≥?
x y z ?x y z? y z

1

?

x

· x+

2

y

· y+

3

z

· z?2=(1+2+3)2=36.

? ?

当且仅当 x= = , 2 3 1 1 1 即 x= ,y= ,z= 时取等号. 6 3 2 1 4 9 ∴ + + 的最小值为 36.

x y z

反思与感悟 利用柯西不等式求最值时,关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结 果.同时,要注意等号成立的条件. 跟踪训练 3 已知 a>0,b>0,c>0,函数 f(x)=|x+a|+|x-b|+c 的最小值为 4. (1)求 a+b+c 的值; 1 2 1 2 2 (2)求 a + b +c 的最小值. 4 9 解 (1)因为 f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c, 当且仅当-a≤x≤b 时,等号成立. 又 a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以 f(x)的最小值为 a+b+c, 又已知 f(x)的最小值为 4,所以 a+b+c=4. (2)由(1)知 a+b+c=4,由柯西不等式,得

?1a2+1b2+c2?(4+9+1)≥?a×2+b×3+c×1?2=(a+b+c)2=16, ?4 ? ?2 ? 9 3 ? ? ? ?
1 1 a b 2 3 c 1 2 1 2 8 2 即 a + b +c ≥ ,当且仅当 = = , 4 9 7 2 3 1 8 18 2 即 a= ,b= ,c= 时等号成立, 7 7 7 1 2 1 2 8 2 故 a + b +c 的最小值为 . 4 9 7

1.已知 x,y,z∈R+且 x+y+z=2,则 x+2 y+ 3z的最大值为( A.2 7 C.4 B.2 3 D.5

)

4

答案 C 解析
2

∵( x + 2 y + 3z ) =(1· x +2· y + 3 · z ) ≤[1 + 2 + ( 3) ][( x ) +
2

2

2

2

2

2

2

( y) +( z) ] 1 1 1 =8(x+y+z)=16(当且仅当 x= y= z= 时取等号), 4 3 4 ∴ x+2 y+ 3z≤4. 1 1 1 2.若 a,b,c∈R+,且 + + =1,则 a+2b+3c 的最小值为( a 2b 3c A.9B.3C. 3D.6 答案 A )

?1 1 1 ? 2 解析 由柯西不等式,得 a+2b+3c=(a+2b+3c)·? + + ?≥(1+1+1) =9, ?a 2b 3c?
∴a+2b+3c 的最小值为 9.

?1 1 1 1? 3.设 a,b,c,d 均为正实数,则(a+b+c+d)? + + + ?的最小值为________. ?a b c d?
答案 16

?1 1 1 1? 解析 (a+b+c+d)? + + + ? ?a b c d?
2 2

=[( a) +( b) +( c) +( d) ]·??
2 2

?? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2? ? +? ? +? ? +? ? ? ?? a? ? b? ? c? ? d? ?
1 ?2

? ≥? a· ?

1

a

+ b·

1

b

+ c·

1

c

+ d·

d?

? =(1+1+1+1) =4 =16,
2 2

当且仅当 a=b=c=d 时取等号. 4.已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=1,求证: 证明 1 ≥ . y+2z z+2x x+2y 3 + +
2 2

x2

y2

z2

因 为 x > 0 , y > 0 , z > 0 , 所 以 由 柯 西 不 等 式 得 [( y+2z ) + ( z+2x ) +
2 2 2 2

? x + y + z ?≥(x+y+z)2,当且仅当y+2z=z+2x=x+2y,即 x ( x+2y) ]·? ? x y z ?y+2z z+2x x+2y?
1 =y=z= 时,等号成立, 3 所以 ?x+y+z? 1 = . y+2z z+2x x+2y ?y+2z?+?z+2x?+?x+2y? 3

x2



y2



z2

2



1.柯西不等式的一般结构为(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)≥(a1b1+a2b2+…+anbn) ,在利 用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组,从而利用题目的条件正确解题. 2.要求 ax+by+z 的最大值,利用柯西不等式(ax+by+z) ≤(a +b +1 )(x +y +z )的形
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

5

式,再结合已知条件进行配凑,是常见的变形技巧.对于许多不等式问题,用柯西不等式来 解往往是简明的,正确理解柯西不等式,掌握它的结构特点,就能更灵活地应用它.

一、选择题 1.已知 a1+a2+…+an=1,x1+x2+…+xn=1,则 a1x1+a2x2+…+anxn 的最大值是( A.1B.2C.3D.4 答案 A 解析 (a1x1+a2x2+…+anxn) ≤(a1+a2+…+an)·(x1+x2+…+xn)=1×1=1,当且仅当
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

x1 a1

= =…= =1 时取等号. ∴a1x1+a2x2+…+anxn 的最大值是 1. 2.已知 a +b +c +d =5,则 ab+bc+cd+ad 的最小值为( A.5B.-5C.25D.-25 答案 B 解析 (ab+bc+cd+da) ≤(a +b +c +d )·(b +c +d +a )=25,当且仅当 a=b=c=d =± 5 时,等号成立. 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 a2

xn an

)

∴ab+bc+cd+ad 的最小值为-5. 3. 设 a, b, c, x, y, z 是正数, 且 a +b +c =10, x +y +z =40, ax+by+cz=20, 则 等于( )
2 2 2 2 2 2

a+b+c x+y+z

1 1 1 3 A. B. C. D. 4 3 2 4 答案 C 解析 由柯西不等式, 得(a +b +c )(x +y +z )≥(ax+by+cz) =400, 当且仅当 = = = 1 a+b+c 1 时取等号,因此有 = . 2 x+y+z 2 4.已知 a,b,c>0,且 a+b+c=1,则 3a+1+ 3b+1+ 3c+1的最大值为( A.3 C.18 答案 B 解析 由柯西不等式,得
6
2 2 2 2 2 2 2

a b c x y z

)

B.3 2 D.9

( 3a+1+ 3b+1+ 3c+1) ≤(1+1+1)(3a+1+3b+1+3c+1)=3[3(a+b+c)+3]. ∵a+b+c=1, ∴( 3a+1+ 3b+1+ 3c+1) ≤3×6=18, 1 ∴ 3a+1+ 3b+1+ 3c+1≤3 2,当且仅当 a=b=c= 时等号成立. 3 5.设 a,b,c>0,且 a+b+c=1,则 a+ b+ c的最大值是( A.1 C.3 答案 B 6.已知 x,y 是实数,则 x +y +(1-x-y) 的最小值是( A. 1 6 B. 1 3
2 2 2 2

2

)

B. 3 D.9

)

C.6 答案 B

D.3

解析 ∵(1 +1 +1 )[x +y +(1-x-y) ]≥[x+y+(1-x-y)] =1, 1 1 2 2 2 ∴x +y +(1-x-y) ≥ ,当且仅当 x=y= 时等号成立. 3 3 二、填空题

2

2

2

2

2

2

2

?1 1 k? 7.设 a,b,c∈R+,若(a+b+c)? + + ?≥25 恒成立,则正数 k 的最小值是________. ?a b c?
答案 9

c ?1 1 k? 2 2 解析 因为(a+b+c)? + + ?≥(1+1+ k) =(2+ k) ,当且仅当 a=b= 时,等号成

?a b c?

k

?1 1 k? ?1 1 k? 2 立,所以(a+b+c)·? + + ?的最小值是(2+ k) .由(a+b+c)·? + + ?≥25 恒成立, ?a b c? ?a b c?
得(2+ k) ≥25.又 k>0,所以 k≥9,所以正数 k 的最小值是 9.
2

?4 9 36? 8.设 a,b,c 为正数,则(a+b+c)? + + ?的最小值是________. ?a b
c?
答案 121 2 ?2 ? 3 ?2 ? 6 ?2? ?4 9 36? 2 2 2 ?? 解析 (a+b+c)? + + ?=[( a) +( b) +( c) ]?? ? +? ? +? ? ? a b c

?

?

?? a?

? b?

? c? ?

? ≥? a· ?

2

a

+ b·

3

b

+ c·

6 ?2 2 ? =(2+3+6) =121.

c?

当且仅当 = = =k(k 为正实数)时,等号成立. 2 3 6 9.已知 a,b,c∈R+且 a+b+c=6,则 2a+ 2b+1+ 2c+3的最大值为________.
7

a b c

答案 4 3 解析 由柯西不等式,得( 2a+ 2b+1+ 2c+3) =(1× 2a+1× 2b+1+1× 2c+3) ≤(1 +1 +1 )(2a+2b+1+2c+3) =3(2×6+4)=48. 当且仅当 2a= 2b+1= 2c+3, 即 2a=2b+1=2c+3 时等号成立. 8 13 7 又 a+b+c=6,∴当 a= ,b= ,c= 时, 3 6 6 2a+ 2b+1+ 2c+3取得最大值 4 3. 10.设 x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1) +(y+2) +(z-3) 的最小值为_______. 答案 9 解析 ∵(2 +2 +1 )[(x-1) +(y+2) +(z-3) ]≥[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)] =(2x+2y+z-1) =81, ∴(x-1) +(y+2) +(z-3) ≥9. 当且仅当
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x-1 y+2 z-3
2 = 2 = 1

时取等号.

三、解答题 11 . 在 △ABC 中 , 设 其 各 边 长 分 别 为 a , b , c , 外 接 圆 半 径 为 R , 求 证 : (a + b +
2 2

c2)?

? 1 2 + 1 2 + 1 2 ?≥36R2. ? ?sin A sin B sin C?
a b c

证明 ∵ = = =2R, sinA sinB sinC ∴(a +b +c )?
2 2 2

? 1 2 + 1 2 + 1 2 ?≥? a + b + c ?2=36R2. ? ? ? ?sin A sin B sin C? ?sinA sinB sinC?

∴原不等式成立. 12.已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为 a,又正数 p,q,r 满足 p+q +r=a,求证:p +q +r ≥3. 证明 因为 f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 即函数 f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为 a=3, 所以 p+q+r=3. 由柯西不等式,得(p +q +r )(1+1+1)≥(p+q+r) =9, 于是 p +q +r ≥3. 13.(2018·江苏)若 x,y,z 为实数,且 x+2y+2z=6,求 x +y +z 的最小值. 解 由柯西不等式,得(x +y +z )(1 +2 +2 )≥(x+2y+2z) . 因为 x+2y+2z=6,
8
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以 x +y +z ≥4, 当且仅当 = = 时,不等式取等号, 1 2 2 2 4 4 此时 x= ,y= ,z= , 3 3 3 所以 x +y +z 的最小值为 4. 四、探究与拓展 14.已知 x,y,z∈R+,且 x+y+z=1. (1)若 2x +3y +6z =1,求 x,y,z 的值; (2)若 2x +3y +tz ≥1 恒成立,求正数 t 的取值范围. 1 1? 2x 3y 6z 2 2 2 ?1 2 解 (1)∵(2x +3y +6z )? + + ?≥(x+y+z) =1,当且仅当 = = 时,等号成 1 1 1 ?2 3 6? 2 立, ∴2x=3y=6z.又∵x+y+z=1, 1 1 1 ∴x= ,y= ,z= . 2 3 6 1 1? 2 2 2 ?1 2 (2)∵(2x +3y +tz )? + + ?≥(x+y+z) =1, ?2 3 t? 当且仅当 2x 3y tz = = 时,等号成立, 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

x y z

3

6

3

t
1 . 5 1 + 6 t

∴(2x +3y +tz )min=

∵2x +3y +tz ≥1 恒成立, ∴ ≥1. 5 1 + 6 t 1

2

2

2

又 t>0,∴t≥6.

9