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数列求和的常用方法


七剑合壁破解数列求和
数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有相应的求和公式外,大部 分数列的求和都需要一定的技巧,下面介绍用七种办法——“七剑”,希望对同学们有所启 发: 第一剑——套用公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本、最重要的方法: 1.等差数列求和公式:

2.等比数列求和公式:

3. [例 1] 已知

4、 ,求 的前 n 项和.

分析:从题目中可看出这是一个等比数列的求和,自然想到直接应用等比数列求和公式 即可. 解:由 由等比数列求和公式得 第二剑——错位相减法 这是类比推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 的前 n 项和,其中 [例 2] 求和: 分析:注意到式子有两个特点,单纯从系数上看,它呈等差数列,这个数列的通项是 2n -1;单纯从字母上看,它呈等比数列,此数列的通项是 法求它前 n 的和. 解:∵ ……………………… ① ,所以可类比推导等比数列的方 分别是等差数列和等比数列. = = =

?
①-②得

………… ②

又因为 再利用等比数列的求和公式得:

∴ 第三剑——逆序相加法 这是类比推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反 序),再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 .

1 2 3 n ? 2Cn ? 3Cn ? ... ? nCn ? n ? 2n?1 。 [例 3] 求证: Cn

分析:这虽然看似一道组合的证明题,本质上还是数列求和,注意组合的一个公式 ,所以我们用逆序相加法进行尝试. 证明: 设 把①式右边倒转过来得
0 1 n ?2 n?1 ? (n ? 1)Cn ? ... ? 2Cn ? Cn = nCn ..……②

………………………….. ①

①+②得 ∴ 第四剑——分组求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。 [例 4] 求数列的前 n 项和: 分析:可以看出该数列可分成两部分,注意到一部分等差数列,一部分成等比数列.我 们使用化整为零的办法先拆开,再组合. 解:设

当 a=1 时,





时,



第五剑——裂项相消法 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最 终达到求和的目的. 通项分解(裂项)常见的如下: (1)
k 1 1 ? k( ? ) n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(2)

(3)

[例 5] 求数列

的前 n 项和. 的情形.

分析:本题符合上述的第三个公式中的情况,此时 解:设

则 = = 第六剑——分段求和法. 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的 和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn.,对等差数列的绝对值求和也可仿效. [例 6] 数列 中 ,求

分析:题目要我们求前 2008 项的和,从前 3 项可以看出它不是等差、也不是等比,那么 怎么办呢?先通过求出相应的几项可判断该数列应该是以 6 为一个周期的数列. 解:设 由 可得

??





= [例 7]等差数列 中,



=5 ,求其前 n 项的绝对值的和.

分析:对于等差数列的绝对值的求和,我们一般是转化为分段求和来解决. 解:由已知可得 不妨设 当 时, ,则当 时.

当 = =

时,



第七剑——活用通项法

先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. [例 8] 求 之和.

分析:本题的数列也十分特殊,具有良好的美感.如果我们知道它的一个通项公式是 ,这样即可将之分成两部分,转化为上述的第四种方法来解决,可见对通项的识别 尤为重要. 解:由于 ∴ = =

= = 当然数列求和的方法还不止这些,但是只要同学们七剑在手,勤加修炼,做到七剑合璧, 融汇贯通,定能破解这一求和问题了.


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