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高三数学复习笔记

高中数学复习笔记
(整理于 2015-5) 一、 函数 1、两个函数的对称性: ①y=f(x)与 y=f(-x)关于 y 轴对称 ②y=f(x)与 y= —f(x)关于 x 轴对称 ③y=f(x)与 y= —f(-x)关于原点对称 ④y=f(x)与 y=f ? 1 (x)关于 y=x 对称 注:函数与其反函数之间的一个有用的结论: f ?1 ?a ? ? b ? f ?b? ? a. 原函数与反函数图象 的交点不全在 y=x 上; y ? f ?1 ? x ? a ? 只能理解为 y ? f ?1 ?x ? 在 x+a 处的函数值。 ⑤y=f(a+x)与 y=f(a—x)关于 y 轴对称 例子可以自己举。 注意如下“翻折”变换:
f ( x) ? ?? f ( x) f ( x) ? ?? f (| x|)

2、函数本身的对称性 ①偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称。 ②若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),则函数关于 x=a 对称(即:相加能消 x,除 2 对称 轴,相减能消 x 得数是周期)注意与上述第⑤点的区别。 3、奇偶性(函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点左右对称) ①奇函数的导数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数,但反之不成立 证:设 f ( x) ? ? f (? x) ,两边求导即可。 ②复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. ③既奇又偶函数有无穷多个( f ( x) ? 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集) ④在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函 数与奇函数的乘积是奇函数。 ⑤ 若f(x) 是奇函数且在 x ? 0时有意义,则 f(0) ? 0。 4、平移: 函数图像的平移口诀:左加右减,上加下减。特别需要注意的是:在左加右减中,无论加 还是减,如果 x 前方有系数(包括负号) ,都必须先把系数提取出去之后再加减,这时候 的加减量才是函数的平移量。 ? 例如:将函数 y=sin(2x+ )向右边平移 ? 个单位后,图像关于 y 轴对称,求 ? 的最小正 3 5? 值。 (? ? ) 12 5、一阶导数决定单调性、二阶导数决定凹凸性,二阶导数大于 0 的函数是凹函数,反之
1

是凸函数 6、必须掌握的几种常见函数的图象 ①二次函数 y=a x 2 +bx+c(a ? 0 ) (懂得利用定义域及对称轴判断函数的最值, ) ②指数函数 y ? a x ( a ? 0且a ? 1) (理解并掌握该函数的单调性与底数 a 的关系) ③幂函数 y ? x a ( a ? 0且a ? 1) (理解并掌握该函数的单调性与幂指数 a 的关系) ④对数函数 y=log a x( a ? 0且a ? 1) (理解并掌握该函数的单调性与底数 a 的关系)
a (a 为正的常数) (懂得判断该函数的四个单调区间) x a ⑥背靠背函数 y= x - (a 为正的常数) x ⑦三角函数 y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx(能根据图象判断这些函数的单调区间)

⑤对勾函数 y= x ?

?或y ? A cos??x ? ? ?? 正弦型函数 y = Asin??x + ? ?的图象和性质要熟记。
(1)振幅| A| ,周期T ? 2? | ?|

若f ?x 0 ? ? ?A,则x ? x 0 为对称轴。
若f ?x0 ? ? 0,则?x0, 0?为对称中心,反之也对 。
( 2 )五点作图:令 ?x ? ? 依次为 0, ? 3? ,?, , 2 ? ,求出x与y,依点 (x,y)作图。 2 2

(3)根据图象求解析式。(求A、?、?值)

先根据振幅,求出 A,再求周期,然后得出 ? 的值,最后利用五点法求 ? ⑧抽象函数: 抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式, 只给出了其它一些条件 (如 函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽象函数问题的常用 方法是: (1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: f ( x) ? kx(k ? 0) --------------- f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ;

2

x f ( x) ②幂函数型: f ( x) ? x2 -------------- f ( xy) ? f ( x) f ( y) , f ( ) ? ; y f ( y) f ( x) ③指数函数型: f ( x) ? a x ------------ f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x ? y ) ? ; f ( y) x ④对数函数型: f ( x) ? loga x ----- f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? f ( x) ? f ( y) ; y

⑤三角函数型: f ( x) ? tan x ----- f ( x ? y ) ? (2)赋值法、结构变换法

f ( x) ? f ( y ) 1 ? f ( x) f ( y )

如:①x ? R,f ( x)满足f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),证明f ( x)为奇函数。 (先令x ? y ? 0 ? f (0) ? 0再令y ? ?x,??) ②x ? R,f ( x)满足f ( xy) ? f ( x) ? f ( y),证明f ( x)是偶函数。

(先令x ? y ? ?t ? f ?(?t )(?t )? ? f ( t·t )
∴f (?t ) ? f (?t ) ? f ( t ) ? f ( t ) ∴f (? t ) ? f ( t ) ??) ③证明单调性: f ( x2 ) ? f ??x2 ? x1 ? ? x2 ? ? ??
7、函数中的最值问题: Ⅰ.二次函数最值问题 结合对称轴及定义域进行讨论。 ① 已知函数 f(x)= x 2 ? 2ax ? 1, x ? [1,2] ,求 f(x)的最小值 ② 已知函数 f(x)= x 2 ? 2x ? 1, x ?[a,2a] , (a ? 0) 求 f(x)的最小值 Ⅱ.利用均值不等式
y2 典例:已知 x、y 为正数,且 x ? =1,求 x 1 ? y 2 的最大值 2
2

分 析 : x 1? y2 =

2 x( 1 ? y 2)=

2 y2 2 x( 1 ? y 2) ( 即 设 法 构 造 定 值 x 2? =1 ) 2 2

2 1? y = 2 x( )? 2 2 2

x2 ?

1? y2 2 = 3 2 故最大值为 3 2 2 4 4

3

a 2 ? b2 a ? b 2ab 注意如下结论: ? ? ab ? a,b ? R ? 2 2 a?b

?

?

Ⅲ.三角换元法 上题亦可用三角代换求解即设 x=cos ? ,
y 2

=sin ? 求解

Ⅳ.通过求导,找极值点的函数值及端点的函数值,通过比较找出最值。 如:求函数 y=lnx-x+1 的最大值 Ⅴ.利用函数的单调性 典例:求 t 2 ?3 ? 解,解略) Ⅵ.数形结合 例:已知 x、y 满足 x 2 ? y 2 ? 4 ,求 8、周期问题 函数 y=f(x)满足 f(x+a)= f(x) ,周期为 a f(x+a)= -f(x)周期为 2a f(x+a)= ?
1 周期为 2a(以上 a 皆不为 0) f ( x)
y?5 的最值 x?6

1 1 的最小值(分析:利用函数 y= x ? 在(1,+ ? )的单调性求 t ?2 x
2

若定义在 R 上的函数有两条对称轴,则该函数为周期函数,周期为两条对称轴距离的两倍 一般说来,周期函数加绝对值或平方,其周期减半. (如 y ? sin 2 x, y ? sin x 的周期都是 ? , 但 y ? sin x ? cos x 则不是) 函数 y ? sin x 2 , y ? sin x , y ? cos x 都不是周期函数 二、不等式 1.穿根法解不等式 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切” ,从最大根的右上方开始

如:?x ? 1??x ? 1? ?x ? 2? ? 0
2 3

2. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如:解不等式loga x ? 1

4

3. 对含有两个绝对值的不等式如何去解? (找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。 )

例如:解不等式| x ? 3|? x ? 1 ? 1
1? ? (解集为 ?x| x ? ?) 2? ?

4. 会用不等式| a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | 证明较简单的不等问题 5.不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)

如:a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最小值 a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最大值 a ? f ( x)有解 ? a ? f ( x)的最小值 a ? f ( x)有解 ? a ? f ( x)的最大值
还有以下四种类型须作了解
① ?x1 ? (a, b), ?x2 ? (c, d ) 使 得

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒 成 立 ? x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) 时 ,

f ( x1 ) m i ?ng ( x) m

i

n

② ?x1 ? (a, b), ?x2 ? (c, d ) 使 得

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒 成 立 ? x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) 时 ,

f ( x1 ) m i ?ng ( x) m

a

x

③ ?x1 ? (a, b), ?x2 ? (c, d ) 使 得

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒 成 立 ? x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) 时 ,

f ( x1 ) m a ?xg ( x) m

i

n

④ ?x1 ? (a, b), ?x2 ? (c, d ) 使 得

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒 成 立 ? x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) 时 ,

f ( x1 ) m a ?xg ( x) m

a

x

三、圆锥曲线 1、 离心率 圆 (离心率 e=0) 、 椭圆 (离心率 0<e<1) 、 抛物线 (离心率 e=1) 、 双曲线 (离心率 e>1) 。 2、 焦半径 椭圆:PF 1 =a+ex 0 、PF 2 =a-ex 0 (左加右减) (其中 P 为椭圆上任一点,F 1 为椭圆左焦 点、F 2 为椭圆右焦点)

5

双曲线:PF 1 = |ex 0 +a|、PF 2 =| ex 0 -a|(左加右减) (其中 P 为双曲线上任一点,F 1 为双曲线左焦点、F 2 为双曲线右焦点)双曲线焦点到其渐近线距离为 b 抛物线:抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离(解题中常用) 3.圆锥曲线中的面积公式: (F 1 、F 2 为焦点) 设 P 为椭圆上一点, ?F1 PF2 = ? ,则三角形 F 1 PF 2 的面积为:b 2 tan 三角形中利用余弦定理整理即可 ? 注:|PF 1 | |PF 2 |cos 2 =b 2 为定值 2 设 P 为双曲线上一点, ?F1 PF2 = ? ,则三角形 F 1 PF 2 的面积为:b 2 cot 注:|PF 1 | |PF 2 |sin 2

?
2

?
2

? =b 2 为定值 2

4 .圆锥曲线与圆锥曲线相切问题不可用判别式判断(会产生增根)如:

x2 ? y2 ? 1与 4

( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1
5.若已知两个圆相交,则两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程 过圆 x2+y2=r2 上一点(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y=r2, 若点(x0,y0)在已知圆外,则 x0x+y0y=r2 表示切点弦 四、数列求和 裂项法:若 ?an ? 是等差数列,公差为 d( ai ? 0 )则求 s n ?
b b b 时可用 ? ? ?? a1a2 a2 a3 a n an?1

裂项法求解,即 sn =

b 1 1 1 1 1 1 bn ( ? ? ? ? ?? )= ? d a1 a2 a2 a3 an an?1 a1 a n ?1

求导法: (典例见高三练习册 p86 例 9) 倒序求和: (典例见世纪金榜 p40 练习 18) 分组求和:求和:1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-?分析:可分解为一个等差数列和一个等比 数列然后分组求和
?1? 求通项:构造新数列法典例分析:典例见世纪金榜 p30 例 4——构造新数列 ? ? 即可 ? an ?

累加法求通项 累乘法求通项 五、集合与简易逻辑 1.从集合角度来理解充要条件:若 A ? B,则称 A 为 B 的充分不必要条件,此时 B 为 A 的必 要不充分条件, (越大越必要,越小越充分)若 A=B,则称 A 为 B 的充要条件
6

2.集合 A、B, A ? B ? ? 时,你是否注意到“极端”情况: A ? ? 或 B ? ? ;求集合的 子集时是否忘记 ? . 3.对于含有 n 个元素的有限集合 M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次
2 n ? 1, 2 n ? 1, 2 n ? 2. 为 2n,

4. “非 p 或非 q” , CI ( A ? B) ? CI A ? CI B , CI ( A ? B) ? CI A ? CI B 。 “p 且 q”的否定是 “p 或 q”的否定是“非 p 且非 q” 。在反证法中的相关“反设”你清楚吗? 5. “≥”的涵义你清楚吗?不等式 ( x ? 2) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是 ?x | x ? 3

? 对吗?

附:简易逻辑之——否定词: (所谓否定,即事物的对立面) 原词 = > < 是 都是 至多有一个 至多有 n 个 至少有一个 任意的 否定 ? ? ? 不是 不都是 至少有两个 至少有 n+1 个 一个也没有 某个 原词 任两个 p 或 q 能 否定 某两个 P 且 q 不能 注:以上否定词只是针对一般的情况而言而非绝对,遇到特殊问题还需具体分析 六、二项展开式系数:
n n ?1 n ?1 1 2 n 0 2 4 3 5 C0 ;C 1 ) n +C n +C n +?C n =2 (其中 C n + C n + C n +?=2 n +C n + C n +?=2

例:已知 (1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) 3 ? ??? (1 ? x)10 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ??? a10 x10 求 a1 ? a2 ? ?? ? a9 ? ? 七、离散型随机变量的期望与方差 E(a ? +b)=aE ? +b;E(b)=b D(a ? +b)=a 2 D ? ;D(b)=0 D ? =E ? 2 —(E ? ) 2 特殊分布的期望与方差 (0、1) 分布:期望:E ? =p;方差 D ? =pq 二项分布: 期望 E ? =np;方差 D ? =npq

注:期望体现平均值,方差体现稳定性,方差越小越稳定。 八、向量与直线 1.向量在几何中的一些应用 ? ? ? MA MB ? ①给出 ? ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ?
7

②在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是菱形; ??? ? ???? ??? ? ???? ③在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形; ④在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形外接圆的圆 心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; ⑤在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是三 角形三条中线的交点) ; ⑥在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂心(三角形的 垂心是三角形三条高的交点) ; ??? ? ??? ? AB AC ? ? ??? ? ) (? ? R ? ) 等于已知 AP 通过 ?ABC 的内心; ⑦在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ? ? ( ??? | AB | | AC | ⑧在 ?ABC 中,给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心(三角形内切圆 的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; ???? 1 ??? ? ???? ⑨在 ?ABC 中,给出 AD ? AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; 2 引申: 若三棱锥三个侧面与底面所成的角相等,则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形 的内心 若三棱锥三条侧棱与底面所成的角相等,则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形 的外心 若三棱锥三条侧棱两两垂直,则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心 若该三棱锥为正三棱锥,则其顶点在底面的射影为底面三角形的中心 2.三点共线,四点共面的判断 3.直线及角的一些概念
2 2 2

?

?

①:直线的“到角” (按逆时针方向旋转)公式: l1 到 l 2 的角为 tan ? = 公式为 tan ? =|

k 2 ? k1 ; “夹角” 1 ? k 2 k1

k 2 ? k1 | 1 ? k 2 k1

? ?? ( “到角”可以为钝角,而“夹角”只能为 ?0, ? 之间的角) ? 2?

②:异面直线所成角的范围: (0, ③:直线倾斜角范围[0, ? )

? ] 2

? ] 2 ⑤:向量夹角、二面角范围:[0, ? ] ? ⑥:锐角: (0, ) 2 ? ? ⑦:0 到 的角表示(0, ] 2 2
④:直线和平面所成的角[0,
8

? ) 2 附:三角和差化积及积化和差公式简记 S + S = S C S + S = C S C + C = C C C — C = — S S 九、立体几何 1.球与正方体的三种关系 球内切于正方体——直径等于正方体棱长 球与正方体十二条棱相切——直径等于面对角线 正方体内接于球——直径等于正方体体对角线 2.正四面体问题——通常将正四面体置于正方体中考虑
⑧:第一象限角(2k ? ,2k ? + 附:三角形面积公式: 1 1 abc 1 S= 底 ? 高 = absinC= = r ( a+b+c ) = ( R 为外接圆半径, r 为内切圆半径) 2 2 4R 2 = l (l ? a)(l ? b)(l ? c) (l为三角形周长的一半 ) (这就是著名的海伦公式)

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