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高中数学第三章三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课时提升作业 新人教版

课时提升作业(二十七)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

(25 分钟 60 分)

1.(2015·天津高一检测)若 tanα =3,tanβ = ,则 tan(α -β )=( )

A.-3

B.-

C.3

D.

【解析】选 D.tan(α -β )=

=

=.

【补偿训练】已知 tanα = ,tanβ = ,并且α ,β 均为锐角,则α +2β 的值为

A.

B.

C.

D.

()

【解析】选 A.因为 tanα = <1,tanβ = <1,且α 、β 均为锐角,所以 0<α < ,0<β < .所以 0<α +2β

< .又 tan2β =

= ,所以 tan(α +2β )

=

=

=1.所以α +2β = .

2.已知 tan

=2,tan

= ,则 tan(α +β )=( )

A.8

B.

C.12

D.

【解析】选 C.因为 tan

=2,tan

=,

所以 tan(α +β )=tan

=

=

=12.

3.tan10°tan20°+ (tan10°+tan20°)的值等于( )

A.

B.1

C.

D.

【解析】选 B.因为

=tan30°= ,

所以 tan10°+tan20°= (1-tan10°tan20°). 所以原式=tan10°tan20°+1-tan10°tan20°=1.

【补偿训练】已知 tanα +tanβ =2,tan(α +β )=4,则 tanα ·tanβ =________.

【解析】因为 tan(α +β )=



所以 1-tanα tanβ =

==,

所以 tanα ·tanβ =1- = .

答案:

4.(2015·绵阳高一检测)设向量 a=(cosα ,-1),b=(2,sinα ),若 a⊥b,则 tan

等于( )

A.-

B.

C.-3

D.3

【解析】选 B.因为 a⊥b,所以 a·b=(cosα ,-1)·(2,sinα )=2cosα -sinα =0,所以 tanα = =2,

所以 tan

=

=

=.

5.在△ABC 中,若 0<tanBtanC<1,则△ABC 是( )

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.形状不能确定

【解题指南】可借助公式 T(α ±β ),也可以采用切化弦求解.

【解析】选 B.由条件知,tanB>0,

tanC>0,1-tanBtanC>0,

所以 tan(B+C)=

>0.

所以 B+C 为锐角,从而 A 为钝角. 【一题多解】选 B.因为 0<tanBtanC<1, 所以 B,C 均为锐角,

所以

<1,所以 cos(B+C)>0,

所以 cosA<0,所以 A 为钝角. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.tan105°=________. 【解析】tan105°=tan(60°+45°)

=

=

=

=

=

=-2- .

答案:-2【补偿训练】

=________.

【解析】原式=

=

=tan(45°-15°)=tan30°= .

答案:

7.(2015·江苏高考)已知 tanα =-2,tan(α +β )= ,则 tanβ 的值为________.

【解题指南】将β 作为β =(α +β )-α ,利用两角差的正切公式求解.

【 解 析 】 tan β =tan[( α + β )- α ]=

. 因 为 tan α =-2 , tan( α + β )= , 所 以 上 式

=

=3.

答案:3 【补偿训练】若 tan(α +β )= ,tan

则 tan

=________.

=,

【解析】因为α + =(α +β )-

tan

=tan

tan(? ? ?) ? tan(? ? ?)

=

4

1? tan(? ? ?) tan(? ? ?)

4

=

=.

,所以

答案: 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知以 x 轴非负半轴为始边的角α ,β 的终边分别经过点(-4,3),(3,4), 则 tan(α +β )=________. 【解析】由题意结合三角函数的定义可得

tanα =- ,tanβ = ,由两角和的正切公式可得

tan(α +β )=

=

=.

答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知 sinα = ,α 为第二象限角,且 tan(α +β )=1,求 tanβ 的值. 【解析】由 sinα = ,α 为第二象限角, 得 cosα =- ,则 tanα =- , 所以 tanβ =tan[(α +β )-α ]

=

=

=7.

10.已知 tan(π +α )=- ,tan(α +β )=

.

(1)求 tan(α +β )的值.(2)求 tanβ 的值.

【解析】(1)因为 tan(π +α )=- ,所以 tanα =- ,

因为 tan(α +β )=

=



所以 tan(α +β )= = .

(2)因为 tanβ =tan[(α +β )-α ]=



所以 tanβ =

=.

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

(20 分钟 40 分)

1.若α =20°,β =25°,则(1+tanα )(1+tanβ )的值为( )

A.1

B.2

C.1+

【解析】选 B.因为 tan 45°=tan(20°+25°)

D.1+

=

=1,

所以 tan 20°+tan 25°=1-tan 20°tan 25°, 所以(1+tanα )(1+tanβ )=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°·tan 25° =1+1-tan 20°tan 25°+tan 20°tan 25°=2.

2.若 tanα =lg(10a),tanβ =lg ,且α +β = ,则实数 a 的值为( )

A.1

B.

【解析】选 C.因为 tan(α +β )=1,

C.1 或

D.1 或 10

所以

=

=1.

所以 lg10+lga -lga=1-(lg10+lga)(-lga) 所以(lga)2+lga=0,

所以 lga=0 或 lga=-1,即 a=1 或 .

【误区警示】解答本题容易因为对数运算性质应用不当导致运算错误. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

3.(2015·开远高一检测)已知 cosθ =- ,θ ∈

,则 tan

【解析】因为 cosθ =- ,θ ∈



所以 sinθ =-

=- ,

所以 tanθ = = .

=________.

所以 tan

=

= =- .

答案:-

4.若α +β = ,tanα + (tanα tanβ +c)=0(c 为常数),则 tanβ =________.

【解析】因为α +β = , 所以 tan(α +β )=

=,

所以 tanα +tanβ + tanα tanβ = , 所以 tanα + tanα tanβ + c= -tanβ + c=0, 所以 tanβ = (c+1).

答案: (c+1) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.(2015·吉林高一检测)设α ,β ∈ 求α +β 的值. 【解析】由根与系数的关系得:

,tanα ,tanβ 是一元二次方程 x2+3 x+4=0 的两个根,

所以 tan(α +β )= 又由α ,β ∈

= =. ,且 tanα <0,tanβ <0(因为 tanα +tanβ <0,

tanα tanβ >0)得α +β ∈(-π ,0),所以α +β =- .

6.已知 tan

=2,tanβ = ,

(1)求 tanα 的值.

(2)求

的值.

【解题指南】(1)利用两角和的正切公式将 tan

=2 左边展开,转化为关于 tanα 的方程求 tanα .

(2)先用两角和的正弦和余弦公式展开化简原式,然后利用同角三角函数的商关系转化为两角差的正切, 并用公式求值.

【解析】(1)因为 tan

=2,

所以

=2,

所以 (2) = = =tan

=2,解得 tanα = .
= =

=

=.


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