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广东省深圳市高级中学2010届高三数学上学期第一次月考(理)

2009─ 深圳市高级中学 2009─2010 学年第一次月考试题

高三数学( 高三数学(理)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. 已知集合 M = {a, 0}, N = {x | 2 x ? 5 x < 0, x ∈ Z } , M I N ≠ ? , a 等于 若 则
2





A.1

B.2

C.1 或 2.5

D. 1 或 2 ( )

CA 当 △ABC 的形状为 2. 已知△ABC 中,AB = a , = b , a ? b < 0 时,
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形

D.无法判定

3. 已知函数 f ( x ) = ? ? ? log 2 x ,若实数 x0 是方程 f ( x ) = 0 的解,且 0 < x1 < x0 ,则

?1? ?3?

x

f ( x1 ) 的值为(
A.恒为正值

) B.等于 0 C.恒为负值
n

D.不大于 0

4.在数列 {an } 中, an +1 = can ( c 为非零常数) ,且前 n 项和为 S n = 3 + k ,则实数 k 的值为 ( ) A.0

B.1

C.-1

D.2 ( D. (2π ,3π ) ( ) )

5、函数 y = x cos x ? sin x 在下面的哪个区间上是增函数 C. ? 3π , 5π ? ? ? ? 2 2 ? ?2 2 ? 6.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为 A. ? π , 3π ? ? ? B. (A)

(π ,2π )

5 18

(B)

3 4

(C)

3 2

(D)

7 8

7.点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 内或边界上一动点,N 是边 BC 的中点,则 AN ? AM 的最 大值是( A.2 ) B.4 C.5 D.6

8.已知 f(x)= a tan 的值为 ( )

x - b sin x +4(其中 a 、 b 为常数且 ab ≠ 0),如果 f(3)=5,则 f(2008 π -3) 2
B. -5 C. 3 D.5

A. -3

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 = 72 ,则 a2 + a4 + a9 = 10.已知 。

1 1 4 + = ,则 sin 2a = sin a cos a 3



11 . 设 a1 = 2 , an +1 =

a +2 2 * , bn = n , n ∈ N , 则 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 an + 1 an ? 1

bn =



.

12.在 ?ABC 中,已知角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 则 ?ABC 的面积的最大值为

cos C 3a ? c = ,又 b = 3 , cos B b
y

uuu uuu uuu r r r 13.函数 y = tan π x? π 的部分图像如图所示,则 OA + OB ? AB = 4 2

(

)



(

)



1 A 第

B x 13

14. 已知 a > 0 , 设函数 f ( x) =

O 2009 x +1 + 2007 最小值为 N , + sin x( x ∈ [?a, a ]) 的最大值为 M , x 2009 + 1

那么 M + N = . 三、解答题(12+12+14+14+14+14 共计 80 分) 15、(本题满分 12 分) 2 2 已知 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根;q:方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围。

16.(本题满分 12 分) (1) 已 知

π r 0 < α < ,β 为 f (x) = cos ? 2x + π ? 的 最 小 正 周 期 , a = ? tan ? α + 1 β ?, 1?, ? ? ? ? ? ? ? 4 8? 4 ? ? ? ? ?

r r r 2 cos 2 α + sin 2(α + β ) b = (cos α, ,且 a b =3.求 2) 的值. cos α ? sin α
(2)如图,平行四边形 ABCD 中,M、N 分别为 DC、BC 的中点,已知 AM = c 、

AN = d , 试用 c 、 d 表示 AB 和 AD .

17. (本题满分 14 分) ur r x x x 已知向量 m = ( 3 sin ,1), n = (cos ,cos 2 ) . 4 4 4 ur r 2π ? x) 的值; (1)若 m ? n = 1 ,求 cos( 3 ur r (2)记 f ( x) = m ? n ,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足

(2a ? c) cos B = b cos C ,求函数 f(A)的取值范围.

18.(本题满分 14 分)
? 0 其图象经过点 M ? π , . 已知函数 f ( x ) = A sin( x + ? )( A > 0, < ? < π) ,x ∈ R 的最大值是 2, 1 ? ? ?3 ?

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 tan α = 3 ,且函数 g ( x ) = f ( x + α ) + f ( x + α ? π ) ( x ∈ R )的图象关于直线 x = x0 对称, 2 求 tan x0 的值.

19.(本题满分 14 分)在 ?OAB 中, uuu r uuu r uuur uuu r uuur OA + λOB (1)若 C 为直线 AB 上一点,且 AC = λCB (λ ≠ ?1) ,求证: OC = ; 1+ λ uuu uuu r r uuur uuu r uuu uuu r r (2)若 OA OB = 0 , OA = OB = a ,且 C 为线段 AB 上靠近 A 的一个三等分点,求 OC AB 的 值;

uuu r uuu r (3)若 OA = 1 , OB = 3 ,且 P , P2 , P3 ,…, Pn ?1 为线段 AB 的 n(n ≥ 2) 等分点,求 1 uuur uuu uuuu uuu r r r uuuuur uuu r OP AB + OP2 AB + L + OPn ?1 AB 的值. 1

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ? x 3 + ax 2 + b ( a, b ∈ R ) . (I)当 a > 0 时,求函数 y = f (x ) 的极值; 求证: 6 < a < ? (II) 若函数 y = f (x ) 的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于 2, (III)对任意 x0 ∈ [0,1], y = f (x) 的图像在 x = x0 处的切线的斜率为 k ,求证:1 ≤ a ≤

6; 3是

| k |≤ 1 成立的充要条件.

2009─ 高级中学 2009─2010 学年第一次月考试题
高三数学( (答案) 高三数学(理) 答案) (答案
1~8:DDACB,DDC

3 2 3 9. 24。10. ? . 11.2 n+1. 12. ; 13.6. 14. 4016 . 4 4

?? = m 2 ? 4 > 0, 15、解:若方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根,则 ? ? m > 0.
解得 m>2,即 p:m>2.若方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根, 则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0.解得 1<m<3,即 q:1<m<3. ∵p 或 q 为真,∴p、q 至少有一为真.又 p 且 q 为假,∴p、q 至少有一为假. 因此,p、q 两命题应一真一假,即 p 为真、q 为假或 p 为假、q 为真.

?m > 2, ?m ≤ 2, 或? 解得 m≥3 或 1<m≤2 ∴? ?m ≤ 1或m ≥ 3 ?1 < m < 3.
16 (1)解:因为 β 为 f ( x) = cos ? 2 x + π ? 的最小正周期,故 β = π .
? ? ? 8?

.…12 分

因 a b = m ,又 a b = cos α tan ? α + 1 β ? ? 2 .故 cos α tan ? α + 1 β ? = 3 + 2 = 5 .由于 0 < α < π , · · ? · · ? ? ?
? 4 ?

?

4

?

4

2 所以 2 cos α + sin 2(α + β ) = 2 cos α + sin(2α + 2π) = 2 cos α + sin 2α = 2 cos α (cos α + sin α ) cos α ? sin α cos α ? sin α cos α ? sin α cos α ? sin α 1 + tan α π? ? = 2 cos α = 2 cos α tan ? α + ? = 2(2 + 3) = 10 · 1 ? tan α 4? ?

2

2

…………6 分 (2)

…………12 分 ur r x x x x π 1 17 解: (1) m ? n = 3 sin ? cos + cos 2 = sin( + ) + 4 4 4 2 6 2 ur r x π 1 1 π x π 1 ∵ m ? n = 1 ∴ sin( + ) = ∴cos( x + ) = 1 ? 2sin 2 ( + ) = 2 6 2 2 3 2 6 2 2π π 1 ∴ cos( ? x) = ? cos( x + ) = ? 3 3 2

…………7 分

(2)∵(2a-c)cosB=bcosC 由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C) 1 π 2π ∵ A+ B+C =π ∴ sin( B + C ) = sin A ≠ 0 ,∴ cos B = , B = ∴0 < A< 2 3 3 ∴

π
6

<

A π π A π 1 + < ,sin( + ) ∈ ( ,1) 2 6 2 2 6 2

x π 1 A π 1 又∵ f ( x) = sin( + ) + ,∴ f ( A) = sin( + ) + 2 6 2 2 6 2

3 故函数 f(A)的取值范围是 (1, ) . 2

…………14 分

18 解: (1)因为函数 f ( x ) 的最大值是 2,所以 A = 2 又函数图象经过点 M ? , ,故 2 sin( 1? 由于 0 < ? < π ,所以 ? =

?π ? ?3 ?
π 2

π

π 1 + ? ) = 1 ,即 sin( + ? ) = 3 3 2

所以 …………5 分

f ( x) = 2 sin( x + ) = 2 cos x 2
(2) g ( x ) = f ( x + α ) + f ( x + α ?

π

π

) = 2 cos( x + α ) + 2 cos( x + α ? ) 2 2

π

= 2 cos( x + α ) + 2 sin( x + α ) = 2 2 sin( x + α + ) 4
由其图象关于直线 x = x0 对称,得 sin( x0 + α + 所以 x0 + α +

π

π

π
4

= kπ +

π
2

4

) = ±1

(k ∈ z ) ,即 x0 = kπ ? α +

π
4

(k ∈ z )
…………14 分

π π 1 ? tan α 1 tan x0 = tan(kπ ? α + ) = tan( ? α ) = =? 4 4 1 + tan α 2

uuur uuu r uuur uuu r uuu uuur r 19 解: (1)由 AC = λCB ,得 OC ? OA = λ (OB ? OC ) 。 uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur OA + λOB 即 (1 + λ )OC = OA + λOB ,因为 λ ≠ ?1 ,所以 OC = …………3 分 1+ λ uuu r uuu r uuur uuu OA + λOB uuu uuu 1 ? λ uuu uuu r r r r r r r λ uuu 2 1 uuu 2 (2) OC AB = (OB ? OA) = OA OB + OB ? OA 1+ λ 1+ λ 1+ λ 1+ λ uuu uuu r r uuur uuu λ ? 1 2 r uuu uuu r r 因为 OA OB = 0 , OA = OB = a 所以 OC AB = a λ +1 1 由于 C 为线段 AB 上靠近 A 的一个三等分点,故 λ = 所以 2 uuur uuu r 1 OC AB = ? a 2 …………8 分 3 uuur uuu uuuu uuu r r r uuuuur uuu uuu uuur uuuu r r r uuuuur (3) OP AB + OP2 AB + L + OPn ?1 AB = AB (OP + OP2 + L + OPn ?1 ) 1 1

uuu r r uuu r r r r n ? 1 uuu 1 uuu uuu 2 uuu OA + OB OA + OB OA + OB uuu r n ? (n ? 1) n ?1 n?2 ) = AB ( + +L + 1 2 n ?1 1+ 1+ 1+ n ?1 n?2 n ? ( n ? 1) uuu n ? 1 n ? 2 r r r r r r r 1 uuu 1 2 n ? 1 uuu n ? 1 uuu uuu uuu uuu = AB[( + + L + )OA + ( + L + )OB ] = (OB ? OA)(OB + OA) n n n n n n 2 uuu 2 uuu 2 r r n ?1 = (OB ? OA ) = n ? 1 ………14 分 2
20 解: (I) f ′( x) = ?3 x + 2ax = ?3 x( x ?
2

2a ) 3

由 f ′( x) = 0 得, x = 0 或 x =

2a 3

而 a > 0 ,列出下表

x
f ' ( x) f ( x)

(?∞,0)

0 0 极小值

(0,

2a ) 3

2a 3

(

2a ,+∞) 3

— 递减

+ 递增

0 极大值

— 递减

所以,当 x = 0 时, f ( x ) 取得极小值,极小值等于 b ; 当x =

2a 4a 3 时, f ( x ) 取得极大值,极大值等于 + b ; ………..4 分 3 27
不妨设

(II)设函数 y = f ( x)的图象上任意不同的两点P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) ,

x1 > x 2 ,
则 ∴
3 y1 ? y 2 ? x 3 + ax12 + x 2 ? ax 22 < 2即 1 < 2, x1 ? x 2 x1 ? x 2

? ( x1 ? x 2 )( x12 + x1 x 2 + x 22 ) + a ( x1 ? x 2 )( x1 + x 2 ) <2 x1 ? x 2

整理得 : x12 + ( x 2 ? a ) x1 + x 22 ? ax 2 + 2 > 0 Q x1 ∈ R ∴ ? 1 = ( x 2 ? a ) 2 ? 4( x 22 ? ax 2 + 2) < 0即3 x 22 ? 2ax 2 ? a 2 + 8 > 0 Q x 2 ∈ R ∴ ? 2 = 4a 2 ? 12(? a 2 + 8) < 0即a 2 ? 6 < 0 ∴ ? 6 < a < 6
(注:若直接用 f ' ( x) < 2 来证明至少扣 1 分) 9 分

(III) k = f ′( x 0 ) = ?3 x 0 + 2ax0 , 则当x0 ∈ [0,1] 时,
2

| k |≤ 1 ? ?1 ≤ ?3 x02 + 2ax 0 ≤ 1 a ? ? a ? a ? 0 ≤ 3 ≤1 ? 3 >1 ? 3 <0 ? f ' (1) = ?3 + 2a ≥ ?1 ? ? ? ?? 或? f ′(1) = ?3 + 2a ≤ 1 或? f ′(1) = ?3 + 2a ≥ ?1 ? f ' ( 0) = 0 ≥ ? 1 ? f ' ( 0) = 0 ≥ ? 1 ? f ' ( 0) = 0 ≤ 1 2 ? f '( a ) = a ≤ 1 ? ? ? ? ? 3 3 ?
解得 : 1 ≤ a ≤ 3 , 故 | k |≤ 1成立的充要条件是1 ≤ a ≤ 3.
………………………………………….14 分

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