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高中数学《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教案2 新人教A版必修4


第 8 课时 二、平面向量数量积的运算律 教学目的: 1.掌握平面向量数量积运算规律; 2.能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 3.掌握两个向量共线、 垂直的几何判断, 会证明两向量垂直, 以及能解决一些简单问题. 教学重点:平面向量数量积及运算规律. 教学难点:平面向量数量积的应用 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导学生注 意数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质. ? 教学过程: 一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫a与 b的夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ ,则数量 |a||b|cos ?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos ?, (0≤θ ≤π ).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3. “投影”的概念:作图 C 定义:|b|cos ?叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当? 为直角时投影为 0;当? = 0 ?时投影为 |b|;当? = 180 ?时投影为 ?|b|. 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos ?的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1 ? e?a = a?e =|a|cos ?; 2 ? a ? b ? a?b = 0 2 3 ? 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a| 或 | a |? a ? a 4 ? cos ? = a ?b ;5 ?|a?b| ≤ |a||b| | a || b | 二、讲解新课: 平面向量数量积的运算律 1.交换律:a ? b = b ? a 证:设 a,b 夹角为?,则 a ? b = |a||b|cos ?,b ? a = |b||a|cos ? ∴a ? b = b ? a 2.数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 证:若 ? > 0,( ? a)?b = ? |a||b|cos ?, ? (a?b) = ? |a||b|cos ?,a?( ? b) = ? |a||b|cos ?, 若 ? < 0,( ? a)?b =| ? a||b|cos(???) = ? ? |a||b|(? cos ?) = ? |a||b|cos ?, ? (a?b) = ? |a||b|cos ?, a?( ? b) =|a|| ? b|cos(???) = ? ? |a||b|(? cos ?) = ? |a||b|cos ?. 3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c, ∵a + b (即 OB )在 c 方向上 的投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和,即 2 |a + b| cos ? = |a| cos ? 1 + |b| cos ? ∴| c | |a + b| cos ? =|c| |a| cos ? 1 + |c| |b| cos ? 2, ∴c?(a

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