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高中数学第六章 不等式


高中数学第六章高中数学第六章-不等式
考试内容: 考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会 简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义: a ? b > 0 ? a > b; a ? b = 0 ? a = b; a ? b < 0 ? a < b. (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1) a > b ? b < a (对称性) (2) a > b, b > c ? a > c (传递性) (3) a > b ? a + c > b + c (加法单调性) (4) a > b, c > d ? a + c > b + d (同向不等式相加) (5) a > b, c < d ? a ? c > b ? d (异向不等式相减) (6) a. > b, c > 0 ? ac > bc (7) a > b, c < 0 ? ac < bc (乘法单调性) (8) a > b > 0, c > d > 0 ? ac > bd (同向不等式相乘)
(9) a > b > 0, 0 < c < d ? a b (异向不等式相除) > c d

(10) a > b, ab > 0 ?

1 1 (倒数关系) < a b

(11) a > b > 0 ? a n > b n (n ∈ Z , 且n > 1) (平方法则) (12) a > b > 0 ? n a > n b (n ∈ Z , 且n > 1) (开方法则) 3.几个重要不等式 (1) 若a ∈ R, 则 | a |≥ 0, a 2 ≥ 0 (2) 若a、b ∈ R + , 则a 2 + b 2 ≥ 2ab(或a 2 + b 2 ≥ 2 | ab |≥ 2ab) (当仅当 a=b 时取等号) (3)如果 a,b 都是正数,那么
ab ≤ a + b (当仅当 a=b 时取等号) . 2

极值定理:若 x, y ∈ R + , x + y = S , xy = P, 则: 1 ○如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小; 2 ○如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
(4)若a、b、c ∈ R + , 则 a+b+c 3 ≥ abc (当仅当 a=b=c 时取等号) 3

b a (5) 若ab > 0, 则 + ≥ 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b

(6)a > 0时,x |> a ? x 2 > a 2 ? x < ?a 或 x > a; |

| x |< a ? x 2 < a 2 ? ?a < x < a

(7) 若a、b ∈ R, 则 || a | ? | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b | 4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果 a,b 都是正数,那么
2 1 1 + a b ≤ ab ≤ a+b a 2 + b 2 (当仅当 ≤ . 2 2

a=b 时

取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数):
2 2 2 2 特别地, ab ≤ ( a + b ) 2 ≤ a +b (当 a = b 时, ( a + b ) 2 = a +b = ab ) 2 2 2 2

a 2 + b 2 + c 2 ? a + +b + c ? ≥? ? (a, b, c ∈ R, a = b = c时取等) 3 3 ? ?
2

2 2 ? 幂平均不等式: a12 + a 2 + ... + a n ≥

1 (a1 + a 2 + ... + a n ) 2 n

注:例如: (ac + bd ) 2 ≤ ( a 2 +b 2 )(c 2 + d 2 ) .

1 1 1 1 1 常用不等式的放缩法:① 1 ? 1 = p p = ? (n ≥ 2) n n + 1 n(n + 1) n 2 n(n ? 1) n ? 1 n
② n +1 ? n =

1 n + n +1

p

1 2 n

p

1 n + n ?1

= n ? n ? 1(n ≥ 1)

(2)柯西不等式: 若a1 , a 2 , a3 ,L, a n ∈ R, b1 , b2 , b3 L , bn ∈ R; 则

2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 + a 2 b2 + a3b3 + L + a n bn ) 2 ≤ (a1 + a 2 + a3 + L + a n )(b12 + b2 + b3 + Lbn ) a a a a 当且仅当 1 = 2 = 3 = L = n 时取等号 b1 b2 b3 bn

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ≠ x2 ), 有
f( x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )≤ 或 2 2 f( x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )≥ . 2 2

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法). 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f ( x) > 0 ? f ( x ) g ( x) > 0; g ( x)

? f ( x ) g ( x) ≥ 0 f ( x) ≥0?? g ( x) ? g ( x) ≠ 0

(3)无理不等式:转化为有理不等式求解

1 ○ f ( x) > g ( x ) ? ? g ( x) ≥ 0 ? ? 定义域 ? ?
? f ( x) > g ( x) ?

? f ( x) ≥ 0?

2 ○ f ( x) > g ( x) ? ? g ( x) ≥ 0 ?

? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) > [ g ( x)] ?

或? f ( x) ≥ 0 ? g ( x) < 0 2 ?

3 ○

? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) < g ( x ) ? ? g ( x) ≥ 0 ? f ( x) < [ g ( x)]2 ?

(4).指数不等式:转化为代数不等式
a f ( x ) > a g ( x ) (a > 1) ? f ( x) > g ( x); a f ( x ) > a g ( x ) (0 < a < 1) ? f ( x) < g ( x) a f ( x ) > b(a > 0, b > 0) ? f ( x) ? lg a > lg b

(5)对数不等式:转化为代数不等式
? f ( x) > 0 ? log a f ( x) > log a g ( x)(a > 1) ? ? g ( x) > 0 ; ? f ( x) > g ( x) ? ? f ( x) > 0 ? log a f ( x) > log a g ( x)(0 < a < 1) ? ? g ( x) > 0 ? f ( x) < g ( x) ?

(6)含绝对值不等式 1 ○应用分类讨论思想去绝对值; 3 ○应用化归思想等价转化

2 ○应用数形思想;

| f ( x) |< g ( x) ? ? g ( x ) > 0 ?? g ( x ) < f ( x ) < g ( x ) ? | f ( x) |> g ( x ) ? g ( x ) ≤ 0( f ( x ), g ( x )不同时为0)或? g ( x ) > 0 ? f ( x ) < ? g ( x)或f ( x ) > g ( x) ?

注:常用不等式的解法举例(x 为正数): ① x(1 ? x ) 2 =

1 1 2 4 ? 2 x(1 ? x )(1 ? x) ≤ ( ) 3 = 2 2 3 27
2 x 2 (1 ? x 2 )(1 ? x 2 ) 1 2 3 4 2 3 ≤ ( ) = ?y≤ 2 2 3 27 9

② y = x(1 ? x 2 ) ? y 2 =

类似于 y = sin x cos 2 x = sin x(1 ? sin 2 x) ,③ | x + 1 |=| x | + | 1 | ( x与 1 同号,故取等) ≥ 2 x x x


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