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2016年中考数学复习系列课件-第7讲 一元二次方程及其应用 新人教版_图文

第7讲┃一元二次方程及其应用

第7讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1一元二次方程的概念及一般形
含有________ 个未知数,并且未知 一 数最高次数是________ 的整式方程 2
2+bx+c=0(a≠0) ax ________________

定义

一元二 次方程

一般形式

防错提醒

在一元二次方程的一般形式中要注 意强调ax2+bx+c=0(a≠0)

第7讲┃ 考点聚焦

考点2

一元二次方程的四种解法

直接 适合于(x+a)2=b(b≥0)或(ax+b)2=(cx+ 开平 d)2形式的方程 方法

基本思想 把方程化成ab=0的形式,得a=0 或b=0 因式 分解 常用的方法主要运用提公因式法、 法 方法规律 平方差公式、完全平方公式型因式 分解

第7讲┃ 考点聚焦

一元二次方程 ax2+bx+c=0, 且 b2 求根公式 公式 法 -b± b2-4ac -4ac≥0 时, 则 x1,2= 2a

(1)将方程化成 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式;(2)确定 a,b,c 的值;(3) 公式法解方程 若 b2-4ac≥0,则代入求根公式,得 的一般步骤 x1,x2;若 b2-4ac<0,则方程无实数 根

第7讲┃ 考点聚焦

定义

通过配成完全平方的形式解一元二次方 程

配方 法

①化二次项系数为1;②把常数项移到 配方法 方程的另一边;③在方程两边同时加上 解方程 一次项系数一半的平方;④把方程整理 的步骤 成(x+a)2=b的形式;⑤运用直接开平 方解方程

第7讲┃ 考点聚焦

考点3

一元二次方程的根的判别式

一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式

根的判 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c= 别式定 0(a≠0)的根的判别式为 b2-4ac. 义 (1)b2-4ac>0?方程有两个不相等 ________的实 判别式 数根; 与根的 (2)b2-4ac=0?方程有两个相等 ________的实 关系 数根; 2 没有 (3)b -4ac<0?方程________ 实数根 在使用根的判别式解决问题时,如果 防错提 二次项系数中含有字母,要加上二次 醒 项系数不为零这个限制条件

第7讲┃ 考点聚焦 考点4 一元二次方程的根与系数的关系

第7讲┃ 考点聚焦 考点5 一元二次方程的应用 等量关系 (1)增长率=增量÷基础量(2)设a为原来 的量,m为平均增长率,n为增长次数,b 为增长后的量,则a(1+m)n=b,当m为平 均下降率时,则a(1-m)n=b (1)本息和=本金+利息(2)利息=本金 ×利率×期数 (1)毛利润=售出价-进货价(2)纯利润 =售出价-进货价-其他费用(3)利润率 =利润÷进货价

应用类型 增长率问题

利率问题 销售利润问题

第7讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 一元二次方程的有关概念 命题角度: 1.一元二次方程的概念; 2.一元二次方程的一般式; 3.一元二次方程的解的概念. 例1 已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0) ,则a-b的值为( A ) A.-1 B.0 C.1 D.2

[解析] 把x=-a代入x2+bx+a=0,得(-a)2+b×(-a) +a=0,∴a2-ab+a=0, 所以a-b+1=0,∴a-b=-1,故选择A

第7讲┃ 归类示例 ? 类型之二 一元二次方程的解法

命题角度: 1.直接开平方法; 2.配方法; 3.公式法; 4.因式分解法. 例2 解方程:2(x-3)=3x(x-3)

第7讲┃ 归类示例

第7讲┃ 归类示例

利用因式分解法解方程时,当等号两边有相 同的含未知数的因式(如例2)时,不能随便先约 去这个因式,因为如果约去则是默认这个因式 不为零,那么如果此因式可以为零,则方程会 失一个根,出现漏根错误.所以应通过移项, 提取公因式的方法求解.

第7讲┃ 归类示例 ? 类型之三 一元二次方程根的判别式

命题角度: 1.判别一元二次方程根的情况; 2.求一元二次方程字母系数的取值范围.
例3 [2012·绵阳] 已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)= 0. (1)求证:方程恒有两个不相等的实数根; (2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求 出以此两根为边长的直角三角形的周长.

第7讲┃ 归类示例

解:(1)∵b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×(2m-1) =m2-4m+8 =(m-2)2+4>0, ∴方程恒有两个不相等的实数根. (2)①把 x=1 代入方程 x2-(m+2)x+(2m-1)=0 中, 解得 m=2, ∴原方程为 x2-4x+3=0,解这个方程得:x1=1,x2 =3, ∴方程的另一个根为 x=3. ②当 1、3 为直角边时,斜边为 12+32= 10, ∴周长为 1+3+ 10=4+ 10. 当 3 为斜边时,另一直角边为 32-12=2 2, ∴周长为 1+3+2 2=4+2 2.

第7讲┃ 归类示例

(1)判别一元二次方程有无实数根,就是计 算判别式Δ =b2-4ac的值,看它是否大于0.因 此,在计算前应先将方程化为一般式.
(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件

第7讲┃ 归类示例 ? 类型之四 一元二次方程的应用 命题角度: 1.用一元二次方程解决变化率问题:a(1±m)n=b; 2.用一元二次方程解决商品销售问题. 例4 [2012·乐山 ]菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元 的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成 该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过 两次下调后,以每千克3.2元的单价对外批发销售. (1)求平均每次下调的百分率; (2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决 定再给予两种优惠方案以供选择: 方案一:打九折销售; 方案二:不打折,每吨优惠现金200元. 试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.

第7讲┃ 归类示例

[解析] (1)设出平均每次下调的百分率,根据从5元下调 到3.2元列出一元二次方程求解即可; (2)根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得 到结果. 解:(1)设平均每次下调的百分率为x. 由题意,得5(1-x)2=3.2.解这个方程,得x1=0.2,x2= 1.8. 因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题 意,符合题目要求的是x1=0.2=20%. 答:平均每次下调的百分率是20%. (2)小华选择方案一购买更优惠. 理由:方案一所需费用为:3.2×0.9×5000=14400(元), 方案二所需费用为:3.2×5000-200×5=15000(元). ∵ 14400 <15000, ∴小华选择方案一购买更优惠.

第7讲┃ 回归教材

回归教材
根的判别式作用大 教材母题 人教版九上P43T14 无论p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的 实数根吗?给出答案并说明理由.

第7讲┃ 回归教材

第7讲┃ 回归教材

[点析] 解一元二次方程有配方法、公式法或因式分解法 ,一般来说,公式法对于解任何一元二次方程都适用,是 解一元二次方程的主要方法,但在具体解题时,应具体分 析方程的特点,选择适当的方法.

第7讲┃ 回归教材

中考变式
[2012·广安] 已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x +1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( C ) A.a>2 B .a<2 C.a<2且a≠1 D.a<-2 [解析] Δ =4-4(a-1)=8-4a>0 ,得a<2.又a-1≠0, ∴a<2且a≠1.故选C.


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