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新高中数学第2章统计2-3总体特征数的估计2-3-2方差与标准差教学案苏教版必修3

新高中数学第 2 章统计 2-3 总体特征数的估计 2-3-2 方差与标准差教 学案苏教版必修 3

预习课本 P69~71, 思考并完成以下问题 1.什么叫一组数据的极差、方差、标准差?

2.一组数据的方差和标准差具有什么作用?

[新知初探] 1.极差、方差、标准差 (1)极差:一组数据的最大值与最小值的差. (2)方差与标准差: 1n 2 2 设一组样本数据 x1,x2,…,xn,其平均数为 x ,则称 s = ? (xi- x ) 为这个样本

ni=1

的方差,其算术平方根 s= 2.方差与标准差的作用

1

n?

n

xi- x

2

为样本的标准差.

i=1

标准差与方差描述一组数据围绕平均数波动的大小,标准差、方差越大,数据的离散程 度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.方差、标准差刻画了一组数据的稳定程 度. [小试身手] 1.数据 0,1,3,4,7 的极差为________,方差为________. 答案:7 6

2.一组数据 1,2,3,4,a 的平均数是 3,则数据的方差为________,标准差为________. 答案:2 2

3.若 1,2,3,x 的平均数是 5,而 1,3,3,x,y 的平均数是 6,则 1,2,3,x,y 的方差 是________. 1+2+3+x 解析:由 5= 得 x=14. 4 1 / 12

同理 y=9. 1 2 2 2 2 2 2 2 由 s = (1 +2 +3 +14 +9 )-5.8 =24.56. 5 答案:24.56

方差、 标准差的计算及应用 [典例] 甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件,为检验质量,各从中抽取 6 件测量,数据(单位:cm)为: 甲:99 100 98 100 100 103;

乙:99 100 102 99 100 100. (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 1 [解] (1) x 甲= (99+100+98+100+100+103)=100, 6

x 乙= (99+100+102+99+100+100)=100.
2 2 2 2 2 s2 甲 = [(99 - 100) + (100 - 100) + (98 - 100) + (100 - 100) + (100 - 100) + (103 -

1 6

1 6

7 2 100) ]= . 3
2 2 2 2 2 s2 乙 = [(99 - 100) + (100 - 100) + (102 - 100) + (99 - 100) + (100 - 100) + (100 -

1 6

100) ]=1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同, 又 s甲>s乙, 所以乙机床加工零件的质量更稳定.
2 2

2

2 / 12

(1)方差常用计算公式有两个 1 2 2 2 2 ①基本公式 s = [(x1- x ) +(x2- x ) +…+(xn- x ) ].

n

1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ②简单计算公式:s = [(x1+x2+…+xn)-n x ]或写成 s = (x1+x2+…+xn)-

n

n

x 2,即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方.
(2)在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,因此还要研究样本数据偏离平均数 的离散程度(即方差或标准差),标准差大说明样本数据分散性大,标准差小说明样本数据 分散性小或者样本数据集中稳定.

[活学活用] 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品, 称其重量(单位:g)是否合格,分别记录抽查数据,获得重量数据茎叶图如下图:

根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差,并说明哪个车间的产品的 重量相对稳定. 解:设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 x 甲、 x 乙,方差分别为 s甲、s乙, 122+114+113+111+111+107 则 x 甲= =113, 6
2 2

x 乙=
1 6

124+110+112+115+108+109 =113, 6

2 2 2 2 2 s2 甲= [(122-113) +(114-113) +(113-113) +(111-113) +(111-113) +(107-

113) ] =21,
2 2 2 2 2 s2 乙= [(124-113) +(110-113) +(112-113) +(115-113) +(108-113) +(109-

2

1 6

113) ] 1 =29 , 3

2

3 / 12

由于 s甲<s乙,所以甲车间的产品的重量相对稳定. 方差的性质 [典例] 设数据 x1,x2,…,xn 的方差为 s ,求下列各组数据的方差. (1) x1+b,x2+b,…,xn+b; (2)ax1, ax2,…,axn; (3)ax1+b, ax2+b,…,axn+b. [解] 设数据 x1,x2,…,xn 的平均数为 x , 则数据 x1+b,x2+b,… ,xn+b 的平均数为 x +b, 数据 ax1,ax2,…,axn 的平均数为 a x , 数据 ax1+b,ax2+b,…,axn+b 的平均数为 a x +b, 设数据 x1+b,x2+b,…, xn+b 的方差为 s1, 数据 ax1,ax2,…,axn 的方差为 s2, 数据 ax1+b,ax2+b,…,axn+b 的方差为 s3, 1 2 2 2 2 (1) s1= [(x1+b- x -b) +(x2+b- x -b) +…+(xn+b- x -b) ]
2 2 2 2

2

2

n

1 2 2 2 2 = [(x1- x ) +(x2- x ) +…+(xn- x ) ]=s ,

n

1 2 2 2 2 (2)s2= [(ax1-a x ) +(ax2-a x ) +…+(axn-a x ) ]

n

1 2 2 2 2 2 2 =a · [(x1- x ) +(x2- x ) +…+(xn- x ) ]=a s ,

n

1 2 2 2 2 (3)s3= [(ax1+b-a x -b) +(ax2+b-a x -b) +…+(axn+b-a x -b) ]

n

1 2 2 2 = [(ax1-a x ) +(ax2-a x ) +…+(axn-a x ) ]

n

1 2 2 2 2 =a · [(x1- x ) +(x2- x ) +…+(xn- x ) ]

n

=a s .

2 2

4 / 12

(1)数据 x1,x2,…,xn 与数据 x1+b,x2+b,…,xn+b 的方差相等; (2)若 x1,x2,…,xn 的方差为 s ,则 ax1,ax2,…,axn 的方差为 a s ; (3)若 x1,x2,…,xn 的方差为 s ,则 ax1+b,ax2+b,…,axn+b 的方差为
2 2 2 2

a2s2.反映了方差的性质,利用这些性质可比较方便地求一些数据的方差.

[活学活用] 1.已知一组数据 x1,x2,…,x8 的平均数是 2,方差为 6,则数据 x1-1,x2-1,…,

x8-1 的平均数是________,方差是________.
答案:1 6

2.已知一组数据 x1,x2,…,xn 的平均数是-2,方差是 4,则数据 2x1+3,2x2+3,…, 2xn+3 的平均数是________,方差是________. 答案:-1 16 统计图表中的方差问题 [典例] 工人编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (广东高考)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表. 年龄 40 44 40 41 33 40 45 42 43 工人编号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 年龄 36 31 38 39 43 45 39 38 36 工人编号 19 20 21 22 23 24 25 26 27 年龄 27 43 41 37 34 42 37 44 42 工人编号 28 29 30 31 32 33 34 35 36 年龄 34 39 43 38 42 53 37 49 39

(1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本, 且在第一分段里用随机抽样法抽 到的年龄数据为 44,列出样本的年龄数据. (2)计算(1)中样本的均值 x 和方差 s . (3)36 名工人中年龄在 x -s 与 x +s 之间有多少人?所占的百分比是多少 (精确到
2

5 / 12

0.01%)? [解] (1)36 人分成 9 组,每组 4 人,其中第一组的工人年龄为 44,所以它在组中的编 号为 2, 所以所有样本数据的编号为 4n-2(n=1,2,…,9), 其年龄数据为:44,40,36,43,36,37,44,43,37. 44+40+…+37 (2)由均值公式知: x = =40, 9 1 100 2 2 2 2 由方差公式知:s = [(44-40) +(40-40) +…+(37-40) ]= . 9 9 100 10 2 (3)因为 s = ,s= , 9 3 所以 36 名工人中年龄在 x -s 和 x +s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数, 即 40,40,41,…,39,共 23 人. 23 所以 36 名工人中年龄在 x -s 和 x +s 之间的人数所占的百分比为 ×100%≈63.89%. 36

(1)解决统计图表中的方差问题的基本方法是从图表中读取数据后,再利用方差含义求出 方差. (2)利用组中值求出的方差为近似值,往往与实际数据得出的不一致,但它能粗略估计方 差.

[活学活用] 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件, 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量结果 得如下频数分布表: 质量 指标值 分组 频数 6 26 38 22 8 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125]

(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图:

6 / 12

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定? 解:(1)如图所示:

(2)质量指标值的样本平均数为

x =80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
质量指标值的样本方差为

s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于 0.8, 故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定.

层级一 学业水平达标 1.给出下列说法:①一组数据不可能有两个众数;②一组数据中的方差必须是正数; ③将一组数据中的每一个数据加上或减去同一常数后, 方差恒不变; ④在频率分布直方图中, 每个小长方形的面积等于相应小组的频率,其中错误的个数有________个. 答案:2

7 / 12

2.某老师从星期一到星期五收到电子邮件数分别是 10,6,8,5,6,则该组数据的方差 s =________. 解析:5 个数据的平均数 x =
2 2 2

2

10+6+8+5+6 1 2 2 2 =7,所以 s = ×[(10-7) +(6-7) + 5 5

(8-7) +(5-7) +(6-7) ]=3.2. 答案:3.2 3.抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 第5次 93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________. 1 2 2 2 2 解析:易知均值都是 90,甲的方差为 s甲= ×[(87-90) +(91-90) +(90-90) +(89 5 -90) +(93-90) ]=4. 1 2 2 2 2 2 2 乙的方差为 s 乙 = ×[(89- 90) + (90 - 90) + (91 - 90) + (88 - 90) + (92 - 90) ] = 5 2.∴s甲>s乙 答案:2 4.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图, 若去掉一个最高分和一个最低分,则剩余分数的方差为________. 解析: 去掉一个最高分和一个最低分, 所剩数据为 84,84,84,86,87, 1 8 2 2 2 2 其均值为 85,方差为 s = [(84-85) ×3+(86-85) +(87-85) ]= . 5 5 8 答案: 5 5.从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株,分别测得它们的株高如下(单位:cm): 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问:(1)哪种玉米苗长得高? (2)哪种玉米苗长得齐? 1 1 解:(1)∵ x 甲= (25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)= ×300=30(cm), 10 10
2 2 2 2

x 乙= (27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)= ×310=31(cm).

1 10

1 10

8 / 12

∴ x 甲< x 乙,即乙种玉米苗长得高. (2)s甲 =
2 2

1 2 2 2 2 2 2 [(25- 30) + (41-30) + (40 - 30) + (37 -30) + (22 - 30) + (14 - 30) + 10
2 2 2

(19-30) +(39-30) +(21-30) +(42-30) ] = 1 1 (25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)= ×1 042=104.2, 10 10 1 10

2 2 2 2 2 s2 (2×27 +3×16 +3×40 +2×44 )-31 乙=

=128.8, ∴s甲<s乙,即甲种玉米苗长得齐. 层级二 应试能力达标 1.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差见表: 甲 平均数 x 方差 s
2 2 2

乙 8.8 3.5

丙 8.8 2.1

丁 8 8.7

8.5 3.5

则参加奥运会的最佳人选应为________. 解析:由平均数及方差的定义知,丙的平均成绩较高且较稳定. 答案:丙 2.某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生,随机询问了该班五名男生和五 名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名女生的成 绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是________. ①这种抽样方法是一种分层抽样; ②这种抽样方法是一种系统抽样; ③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差; ④该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数. 解析:对①,分层抽样要求男女生总人数之比等于男女生抽样人数之比,所以①错.对 ②,系统抽样要求先对个体进行编号再抽样,所以②错.对③,男生方差为 8,女生方差为 6,所以③正确.对④,抽取的样本平均成绩不能代表总体平均成绩.所以④错. 答案:③ 3.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据的 平均数为 10,方差为 2,则 x +y 的值为________. 1 1 2 2 解析:由 (x+y+10+11+9)=10, [(x-10) +(y-10) +0+1+1]=2,联立解得 5 5
2 2

x2+y2=208.
9 / 12

答案:208 4.若 10 个正数的平方和是 370,方差是 33,则平均数为________. 1 2 2 1 2 2 2 2 解析:由 s = (x1+x2+…+x10)- x ,得 33= ×370- x ,解得 x =2. 10 10 答案:2 5.样本容量为 10 的一组数据,它们的平均数是 5,频率条形图如图,则其标准差等于 ________.

解析:由条形图知 2 与 8 的个数相等,且多于 5 的个数,于是这 10 个数分别为 2,2,2,2,5,5,8,8,8,8.∵ x =5,∴s =
2

1 2 2 2 2 2 [(2-5) +(2-5) +(2-5) +(2-5) +(5-5) 10

1 36 6 5 2 2 2 2 2 +(5-5) +(8-5) +(8-5) +(8-5) +(8-5) ]= ×8×9= .∴s= . 10 5 5 6 5 答案: 5 6.甲、乙两名同学在五次考试中的数学成绩统计用茎叶图表示如图所示,则成绩的方 差较小的为________.

1 解析: x 甲= (98+99+105+115+118)=107, 5

x 乙= (95+106+108+112+114)=107.
2 2 2 2 2 s2 甲= [(98-107) +(99-107) +(105-107) +(115-107) +(118-107) ]=66.8.

1 5

1 5 1 5

2 2 2 2 2 s2 乙= [(95-107) +(106-107) +(108-107) +(112-107) +(114-107) ]=44.

∴成绩的方差较小的为乙. 答案:乙 7. 一组数据的每一个数据都减去 80, 得到一组新数据, 若求得的新数据的平均数是 1.2, 方差是 4.4,则原来的数据的平均数和方差分别是________. 10 / 12

解析:由平均数与方差的性质知原来数据的平均数 1.2+80=81.2.方差不变. 答案:81.2,4.4 8.为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了 “家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图(如图 所示),记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为 s1,s2,s3,则它们的大小关系为________.

解析:由直方图容易求得甲、乙、丙三个社区“家庭每月日常消费额”的平均值分别为 2 200 元、2 250 元、2 150 元,又由直方图可知甲的数据偏离平均值最大,故标准差最大, 乙的数据偏离平均值最小,故标准差最小,即标准差的大小关系是 s1>s3>s2.故填 s1>s3>

s2.
答案:s1>s3>s2 9.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试,测得他们的最大速度(m/s) 的数据如下表: 甲 乙 27 33 38 29 30 38 37 34 35 28 31 36

(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息? (2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差,并 判断选谁参加比赛更合适. 解:(1)画茎叶图如图所示,中间数为数据的十位数.

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从这个茎叶图中可以看出,甲、乙的得分情况都是分布均匀的,只是乙更好一些;乙的 中位数是 33.5,甲的中位数是 33.因此,乙发挥比较稳定,总体得分情况比甲好. (2)可求 x 甲=33, x 乙=33,s 甲≈3.96,s 乙≈3.56, 甲的中位数是 33,乙的中位数是 33.5,综合比较,乙参加比赛较合适.

10.总体的各个个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的 中位数为 10.5,求使该总体的方差最小时 a,b 的取值. 解:∵数据共有 10 个,且总体的中位数为 10.5,∴a+b=21,经计算,此时样本数据 的平均数是 10,∴使该总体的方差最小,则只要(a-10) +(b-10) 最小即可,而(a-10)
2 2 2 2 2 2 2

+(b-10) =(a-10) +(a-11) =2a -42a+221,由二次函数的图象可知当 a=10.5 时, 该总体的方差最小,此时 b=10.5.

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