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2013年中考数学试题中档题分类汇编(学生版)


2013 年 1 月各区 初三期末试题 中档题分类汇编 (学生版) 一. 动点问题与函数图象 1.(燕山 8).如图(1)所示,E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点,动点 P、Q 同时从点 B 出发,点 P 沿折线 BE﹣ED﹣DC 运动到点 C 时停止, Q 沿 BC 运动到点 C 时停止, 点 它们运动的速度都是 1cm/秒. P、 设 Q 同时出发 t 秒时,△BPQ 的面积为 ycm2.已知 y 与 t 的函数关系图象如图(2) (曲线 OM 为抛物线 的一部分) .则下列结论错误的是( ) .. A.AD=BE=5 ㎝ C.当 0<t≤5 时, y ?
A E D

B.cos∠ABE=

3 5

2 2 t 5

D.当 t ?

29 秒时,△ABE∽△QBP 4 y
10 M N

P

B

Q

C

O

5

7

H

图⑴

t

图⑵

2(石景山 8) .如图,矩形 ABCD 中,BC=4,AB=3,E 为边 AD 上一点,DE=1,动点 P、Q 同时从点 C 出发,点 P 沿 CB 运动到点 B 时停止,点 Q 沿折线 CD—DE—EB 运 动到点 B 时停止, 它们运动的速度都是 1cm/秒.设 P、Q 同时出发 t 秒时,△CPQ 的面积为 y cm2.则 y 与 t 的函数关系图象大致是 8.如图,矩形 ABCD 中,BC=4, AB=3,E 为边 AD 上一点,DE=1,动点 P、Q 同时从点 C 出发,点 P 沿 CB 运动到点 B 时停止,点 Q 沿折线 CD—DE—EB 运动到点 B 时停止, 它们运动的速度都是 1cm/ 秒.设 P、Q 同时出发 t 秒时,△CPQ 的面积为 y cm2.则 y 与 t 的函数关系图象大 致是 ( )
y 4.5
6 4.5 y 6 4.5 y 6 4.5 y

A

E

D Q

O

34

4+3 2 t

O

34

4+3 2 t

O

34

4+3 2 t

O

34

4+3 2 t

B

P

C

3(门头沟 8). 如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,动点 P 从 A 点出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 向 B 点运动,同时动点 Q 从 B 点出发,以每秒 2 个单位长 度的速度沿 BC→CD 方向运动,当 P 运动到 B 点时,P、Q 两点同时停止运动.设 P 点运动的时间为 t 秒,△APQ 的面积为 S,则表示 S 与 t 之间的函数关系的图象大 致是 ( )
A P D

A

B

C

D

B

Q

C

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A.

B.

C.

D.

4(顺义 8).如图,等腰 Rt ?ABC ( ?ACB ? 90? )的直角边与正方形 且 开始时点 C 与点 D DEFG 的边长均为 2, AC 与 DE 在同一直线上, 重合, ?ABC 沿这条直线向右平移, 让 直到点 A 与点 E 重合为止. CD 设 的长为 x , ?ABC 与正方形 DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积 为 y ,则 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是( )

5(延庆 8).已知:如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=5,BC=3,点 E 在 AD 上, 且 AE=1,点 P 是线段 AB 上一动点.折叠纸片,使点 P 与点 E 重合,展开 纸片得折痕 MN, 过点 P 作 PQ⊥AB, MN 所在的直线于点 Q. 设 x=AP, y=PQ, 交 则 y 关于 x 的函数图象大致为( )

A

B

C

D

6(朝阳 8).如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=4cm,AD=2cm, ∠A=60° ,动点 E 自 A 点出发沿折线 AD—DC 以 1cm/s 的速度运动,设 点 E 的运动时间为 x(s),0<x<6, 点 B 与射线 BE 与射线 AD 交点的距 离为 y(cm),则下列图象中能大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是 ( )

y

y

y

y

O A

6

x

O B

6

x

O

7(房山 8). 如图,MN 是⊙O 的直径,弦 BC⊥MN 于点 E,BC ? 6 . 点 A 、D 分 别为线段 EF 、 BC 上的动点. 连接 AB 、 AD ,设 BD ? x , AB ? AD ? y ,
2 2

6 C

x

O D

6

x
M A O B D E C

下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象是

(

)

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N (第 8 题图

A.

B.

C.

D. )

8(丰台 9).如图,A 点在半径为 2 的⊙O 上,过线段 OA 上的一点 P 作直线 l,与过 A 点的切线交于点 B, 且∠APB=60° ,设 OP=x,则△PAB 的面积 y 关于 x 的函数图像大致是(

y
2 3

y
2 3

y
2 3

y
2 3

A 2
D

O
A

2

x

O
B

2

x

O
C

2

x

O

x

P O

l B

二.找规律
1(东城 12).如图所示,在 △ABC 中,BC=6,E,F 分别是 AB,AC 的中点, 点 P 在射线 EF 上, 交 CE 于D, Q 在 CE 上且 BQ 平分∠CBP, BP= y , BP 点 设

1 1 CE 时, y 与 x 之间的函数式是 ; 当 CQ= CE( n 2 n 为不小于 2 的常数)时, y 与 x 之间的函数关系式是 .
PE= x .当 CQ= 2(通州 16).图中各圆的三个数之间都有相同的规律,据此规律,第 n 个圆 中,m = (用含 n 的代数式表示) .

1 8

2

2 35

4

3 6 80
第16题图

????

n 2n m

3(丰台 15).如图,菱形 ABCD 中,AB=2 ,∠C=60° ,我们把菱形 ABCD 的对称中心 O 称作菱形的中心.菱 形 ABCD 在直线 l 上向右作无滑动的翻滚,每绕着一个顶点旋转 60° 叫一次操作,则经过 1 次这样的操作 菱形中心 O 所经过的路径长为 长为 .(结果都保留 π) ;经过 3n(n 为正整数)次这样的操作菱形中心 O 所经过的路径总

C D

B O A l


3(燕山 12).如图,在△ABC 中,∠ACB=90? ,∠B=30? ,AC=1,AC 在直线 l 上.将△ABC 在直线 l 上 顺时针滚动一周,滚动过程中,三个顶点 B,C,A 依次落在 P1,P2,P3 处,此时 AP3= 按此规律继续旋转,直到得点 P2012,则 AP2012= .

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B

① C A P1 第 12 题图

② P2

③ P3 l

4(房山 12).如图,在直角坐标系中,已知点 A(-3,0),B(0,4),对△OAB 连续作旋转变换,依次得到三角 形①、②、③、④、…,则三角形⑩的直角顶点的坐标为 .

三. 函数图象相关问题 1.(西城 12).已知二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于(1 ,0)和( x1 ,0),其中 ?2 ? x1 ? ?1 ,与 y 轴交 于正半轴上一点.下列结论:① b ? 0 ;② ac ? 号是 .
2

1 2 b ;③ a ? b ;④ ? a ? c ? ?2a .其中所有正确结论的序 4

2.(东城 8).(0,2),B(2,0),点 C 在 y ? x 的图象上,若△ABC 的面积为 2,则这样的 C 点有 ( A.1 个 B.2 个
2

)

C.3 个

D.4 个

3.(石景山 12).已知,在 x 轴上有两点 A(a,0),B(b, 0)(其中 b<a<0),分别过点 A,点 B 作 x 轴的 垂线,交抛物线 y ? 3x 于点 C,点 D.直线 OC 交直线 BD 于点 E,直线 OD 交直线 AC 于点 F.若 将点 E,点 F 的纵坐标分别记为 y E , y F ,则 y E 4(海淀 12).小聪用描点法画出了函数 y ?

y F (用“>”、 “<” 或“=”连接).

x 的图象 F, 如图所示.结合旋转

的知识, 他尝试着将图象 F 绕原点逆时针旋转 90? 得到图象 F1 , 再将图象 F1 绕原点逆时针旋转 90? 得到图象 F2 , 如此继续下去, 得到图象 Fn .在尝试的 过程中,他发现点 P ( ?4, ?2) 在图象 若点 P(a,b)在图象 F127 上,则 a = 上(写出一个正确的即可); (用含 b 的代数式表示) .

四. 弧长、面积、线段长的计算 1(海淀 8). 如图,以 G(0,1) 为圆心,半径为 2 的圆与 x 轴交于 A 、 B 两点, 与 y 轴交于 C 、 D 两点,点 E 为⊙ G 上一动点, CF ? AE 于 F .当点 E 从 点 B 出发顺时针运动到点 D 时,点 F 所经过的路径长为( )

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A.

3 ? 2

B.

3 ? 3

C.

3 ? 4

D.

3 ? 6
D C E

2(门头沟 12).如图,△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形,∠ACB 和∠E 都是直角,点 C 在 AD 边上,BC= 2 ,把△ABC 绕点 A按 顺 时 针 方 向 旋 转 n 度后恰好与△ADE 重合,则 n 的值是 45 ,点 C 经过的路线的长是 积是 . ,线段 BC 在上述旋转过程中所扫过部分的面
B A

3(通州 10). 如图, ⊙O 的半径为 3 厘米, 为⊙O 外一点, 交⊙O 于点 A, B OB AB=OA. 动点 P 从点 A 出发,以 π 厘米/秒的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止.当点 P 运动的时间为( A.1 B.5 )秒时,BP 与⊙O 相切. C.0.5 或 5.5 D. 1 或 5
O

P A B

第10题图

4(怀柔 12).如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BC=2cm,F 是弦 BC 的中点, ∠ABC=60° 若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 A→B→A 方向运动, . 设运动时间为 t(秒)(0≤t<3),连结 EF,当 t 值为_ 三角形. _秒时,△BEF 是直角

C F A E O B

5(大兴 12).现有直径为 2 的半圆 O 和一块等腰直角三角板 (1) 将三角板如图 1 放置, 锐角顶点 P 在圆上, 斜边经过点 B, 一条直角边交圆于点 Q, BQ 的长为 则 ; (2)将三角板如图 2 放置,锐角顶点 P 在圆上,斜边经过点 B,一条直角边的延长线交圆于 Q,则 BQ 的 Q 长为 . P Q

P
A O
图2

B

A
图1

O

B

6. (朝阳 12). 如图,抛物线 y= -

4 2 x 通过平移得到抛物线 m,抛物线 m 经过点 9

B(6,0)和 O(0,0),它的顶点为 A,以 O 为圆心,OA 为半径作圆,在 第四象限内与抛物线 y= ______. 五. 图形操作问题 1(海淀 23). 小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题. 作法: (1)在 e 上任取一点 C,以点 C 为圆心,AB 长为半径画弧交 c 于点 D,交 d 于点 E; (2)以点 A 为圆心,CE 长为半径画弧交 AB 于点 M; ∴点 M 为线段 AB 的二等分点.
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4 2 x 交于点 C,连接 AC,则图中阴影部分的面积为 9

图1 解决下列问题:(尺规作图,保留作图痕迹) (1)仿照小明的作法,在图 2 中作出线段 AB 的三等分点;

图2 (2)点 P 是∠AOB 内部一点,过点 P 作 PM⊥OA 于 M,PN⊥OB 于 N,请找出一个满足下列条件的点 P. (可以利用图 1 中的等距平行线) ①在图 3 中作出点 P,使得 PM ? PN ; ②在图 4 中作出点 P,使得 PM ? 2PN .

图3 2(平谷 22). 数学课上,老师要求小明同学作△A’B’C’∽△ABC,且 (1) 作 B ' C ' ?

图4
B 'C ' 1 ? . 小明的作法是: BC 2

1 BC ; 2 (2) 过点 B ' 作 B ' D ∥ AB ,过点 C ' 作 C ' E ∥ AC ,它们相交于点 A ' ;
?A ' B ' C ' 就是满足条件的三角形(如图 1).

A E A'
D

D

A

B
图1

C

B'

C'

B

C

http://www.zx98.com 图2

解答下列问题: ①若△ABC 的周长为 10,根据小明的作法, ?A ' B ' C ' 的周长为-------------; ②已知四边形 ABCD ,请你在图 2 的右侧作一个四边形 A' B ' C ' D ' ,使四边形 A' B ' C ' D ' ∽四边形 ABCD , 且满足
A' B ' 1 ? (不写画法,保留作图痕迹). AB 2

3(怀柔 22). 操作与实践: (1)在图①中, 以线段 m 为一边画菱形, 要求菱形的顶点均在格点上. (画出所有符合条件的菱形)(4 分) (2)在图②中,平移 a、b、c 中的两条线段,使它们与线段 n 构成以 n 为一边的等腰直角三角形.(画一个即可)(1 分)

4(燕山 22). 如图, 在边长为 1 的小正方形组成的网格中, △AOB 的顶点都在格点上,点 A、B 的坐标分别为(-4,4)、 (-6,2).请按要求完成下列各题: ⑴ 把△AOB 向上平移 4 个单位后得到对应的△A1OB1, 则点 A1、 B1 的坐标分别是 ;
P5

y

A

P1 P2 P3

⑵ 将△AOB 绕点 O 顺时针旋转 90° ,画出旋转后的△A2OB2, 在旋转过程中线段 AO 所扫过的面积为 ;

B
P4

⑶ 点 P1,P2,P3,P4,P5 是△AOB 边上的 5 个格点,画一个三 角形,使它的三个顶点为 P1,P2,P3,P4,P5 中的 3 个格点并 且与△AOB 相似. (要求:在图中联结相应线段,不用说明理由)

O

x
第 22 题 图

5(西城 21).平面直角坐标系 xOy 中,原点 O 是正三角形 ABC 外接圆的圆心,点 A 在 y 轴的正半轴上, △ABC 的边长为 6. 以原点 O 为旋转中心将△ABC 沿逆时针方向旋转 ? 角, 得到△ A?B?C? , A? 、B? 、 点

C ? 分别为点 A、B、C 的对应点.
(1)当 ? =60° 时, ①请在图 1 中画出△ A?B?C? ; ②若 AB 分别与 A?C ? 、 A?B? 交于点 D、E,则 DE 的长为_______; (2)如图 2,当 A?C ? ⊥AB 时, A?B? 分别与 AB、BC 交于点 F、G,则点 A? 的坐标为_______, △FBG 的周长为_______,△ABC 与△ A?B?C? 重叠部分的面积为_______.

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6(石景山)20.已知:△ABC 中, AB ? 2 10 , AC ? 4 , BC ? 6 2 . (1)如图 1,点 M 为 AC 的中点,在线段 BC 上取点 N ,使△CMN 与△ABC 相似,求线段 MN 的长; (2)如图 2,,是由 81 个边长为 1 的小正方形组成的 9× 正方形网格,设顶点在这些小正方形顶点的三 9 角形为格点三角形,试直接写出在所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数, 并在图 2 中画出其中的一个(不需证明).

A M

B

C

图1
点 O 为对称中心的全等三角形。

图2

7(大兴) 22. 操作:如图①,点 O 为线段 MN 的中点,直线 PQ 与 MN 相交于点 O,请利用图①画出一对以

P N M O Q
图① 根据上述操作得到的经验完成下列探究活动: 探究一:如图②,在四边形 ABCD 中,AB∥DC,E 为 BC 边的中点, ∠BAE=∠EAF,AF 与 DC 的延长线相交于点 F. 试探究线段 AB 与 AF、 CF 之间的等量关系,并证明你的结论; 探究二:如图③,DE、BC 相交于点 E,BA 交 DE 于点 A,且 BE:EC=1:2,∠BAE=∠EDF,CF∥AB。若 AB=5,CF=1,求 DF 的长度。

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8(通州 21).如图,AD 为⊙O 的直径,作⊙O 的内接等边三角形 ABC.黄皓、李明两位同学的作法分别是: 黄皓:1. 作 OD 的垂直平分线,交⊙O 于 B,C 两点, 2. 连结 AB,AC,△ABC 即为所求的三角形. 李明:1. 以 D 为圆心,OD 长为半径作圆弧,交⊙O 于 B,C 两点, 2. 连结 AB,BC,CA,△ABC 即为所求的三角形.
第21题图

A O

D

已知两位同学的作法均正确,请选择其中一种作法补全图形,并证明△ABC 是等边三角形.

六.阅读理解问题 1.(西城 22).阅读下面的材料: 小明在学习中遇到这样一个问题:若 1≤x≤m,求二次函数 y ? x 2 ? 6 x ? 7 的最大值.他画图研究后发 现, x ? 1 和 x ? 5 时的函数值相等,于是他认为需要对 m 进行分类讨论. y 他的解答过程如下: ∵二次函数 y ? x 2 ? 6 x ? 7 的对称轴为直线 x ? 3 , ∴由对称性可知, x ? 1 和 x ? 5 时的函数值相等. ∴若 1≤m<5,则 x ? 1 时, y 的最大值为 2; 若 m≥5,则 x ? m 时, y 的最大值为 m ? 6m ? 7 .
2

O

1

5

x

请你参考小明的思路,解答下列问题: (1)当 ?2 ≤x≤4 时,二次函数 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 1 的最大值为_______; (2)若 p≤x≤2,求二次函数 y ? 2 x ? 4 x ? 1 的最大值;
2

x=3

(3)若 t≤x≤t+2 时,二次函数 y ? 2 x ? 4 x ? 1 的最大值为 31,则 t 的值为_______.
2

2(昌平 22). 阅读下面材料: 小伟遇到这样一个问题:如图 1,在正三角形 ABC 内有一点 P,且 PA=3 ,PB=4,PC=5,求∠APB 的度数. 小伟是这样思考的: 如图 2, 利用旋转和全等的知识构造△ AP?C , 连接 PP? , 得到两个特殊的三角形, 从而将问题解决.
A
A P'

D

C
F

E

D C P

P B C
B

P

P

请你回答:图 1 中∠APB 的度数等于

图1 4

图2
.

C

A

B

A

B

图3



参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:

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(1) 如图 3, 在正方形 ABCD 内有一点 P, PA= 2 2 , 且 PB=1, PD= 17 , 则∠APB 的度数等于 正方形的边长为 ;



(2) 如图 4, 在正六边形 ABCDEF 内有一点 P, PA= 2 , 且 PB=1, PF= 13 , 则∠APB 的度数等于 正六边形的边长为 .



七. 圆中的计算与证明 1 (朝阳 21).如图,DE 是⊙O 的直径,CE 与⊙O 相切,E 为切点.连接 CD 交⊙O 于点 B,在 EC 上取一个 点 F,使 EF=BF. (1)求证:BF 是⊙O 的切线; (2)若 cos C ?
E O D B F

4 , DE=9,求 BF 的长. 5

C

2(通州 18).如图,在△ABC 中,点 O 在 AB 上,以 O 为圆心的圆经过 A,C 两点,交 AB 于点 D, 已知 2 ∠A +∠B = 90? . (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)若 OA=6,BC=8,求 BD 的长.

C A O
第18题图

D B

3(燕山 23).如图,AB 是⊙O 的直径,直线 AD 与⊙O 相切于点 A, 点 C 在⊙O 上,∠DAC=∠ACD,直线 DC 与 AB 的延长 线交于点 E.AF⊥ED 于点 F,交⊙O 于点 G. ⑴ 求证:DE 是⊙O 的切线; ⑵ 已知⊙O 的半径是 6cm,EC=8cm, 求 GF 的长.

A O B E C G F D

第 23 题 图

4(平谷 23). 如图,点 D 是⊙O 的直径 CA 延长线上一点,点 B 在⊙O 上,且 AB=AD=AO. (1)求证:BD 是⊙O 的切线. (2)若点 E 是劣弧 BC 上一点,AE 与 BC 相交于点 F,且△BEF 的面

2 积为 8,cos∠BFA= ,求△ACF 的面积. 3
D A

B E F O C

图8

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5(顺义 22). 如图, ABC 是等腰三角形,AB ? AC , AC 为直径的 ? O 与 BC 交于点 D ,DE ⊥ AB , 以 △ 垂足为 E , ED 的延长线与 AC 的延长线交于点 F . (1)求证: DE 是 ? O 的切线; (2)若 ? O 的半径为 2, BE ? 1 ,求 cos A 的值.

F C O D B E

A

6(顺义 24). 分)如图,? O 的直径 AB 为 10cm,弦 AC 为 6cm,?ACB 的平分线交 AB 于 E ,交 ? O (7 于 D .求弦 AD,CD 的长及

CE 的值. DE

C A B

E O D

7(西城 20).如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,过点 C 的直线 与 AB 的延长线交于点 P,∠COB=2∠PCB. (1)求证:PC 是⊙O 的切线; (2)点 M 是弧 AB 的中点,CM 交 AB 于点 N, 若 MN · MC=8,求⊙O 的直径.

8(海淀 22).如图,AB 为⊙O 的直径,BC 切⊙O 于点 B,AC 交⊙O 于点 D,E 为 BC 中点. 求证:(1)DE 为⊙O 的切线; (2)延长 ED 交 BA 的延长线于 F,若 DF=4,AF=2,求 BC 的长.

9(东城 20). 如图,PB 切⊙O 于 B 点,直线 PO 交⊙O 于点 E,F,过点 B 作 PO 的垂线 BA,垂足为点 D, 交⊙O 于点 A,延长 AO 交⊙O 于点 C,连结 BC,AF. (1)求证:直线 PA 为⊙O 的切线; (2)若 BC=6, AD ∶ FD =1∶2,求⊙O 的半径的长.

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10(石景山 23).如图,⊙ O 是△ABC 的外接圆, AB ? AC ? 10 , BC ? 12 , P 是劣弧 BC 的中点,过点

P 作⊙ O 的切线交 AB 延长线于点 D . (1)求证: DP // BC ; (2)求 DP 的长.
D

A

B

O

C

P

11(大兴 23).已知:如图,在半径为 2 5 的⊙O 内,有互相垂直的两条弦 AB,CD,它们相交于 P 点. (1)求证:PA· PB=PC· PD; (2)设 BC 的中点为 F,连接 FP 并延长交 AD 于 E,求证:EF ? AD; (3)如果 AB=8,CD=6,求 O、P 两点之间的距离.
A C E P O D

F B

12(昌平) 21. 在矩形 ABCD 中, O 在对角线 BD 上, OD 为半径的⊙O 与 AD、 点 以 BD 分别交于点 E、F,且∠ABE =∠DBC. (1)求证:BE 与⊙O 相切;
B A E F O C D

(2)若 sin ?ABE ?

1 3

,CD =2,求⊙O 的半径.

13(房山 22).如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,O 为 BC 边上一点,以 O 为圆心,OB 为半径作半圆与 AB 边和 BC 边分别交于点 D、点 E,连接 CD,且 CD=CA,BD= 6 5 , tan∠ADC=2. (1)求证:CD 是半⊙O 的切线; (2)求半⊙O 的直径; (3)求 AD 的长.
C A D

E

O

B

14(丰台 21).如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC,过点 A 作 AD⊥AB 交⊙O 于点 D,交 BC 于点 E,点 F 在 DA 的延长线上,且∠ABF=∠C . (1)求证:BF 是⊙O 的切线; (2)若 AD=4,cos∠ABF=

B O D C E A F

4 ,求 BC 的长. 5

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15(怀柔 20). 如图①,AB 为⊙ O 的直径,AD 与⊙ O 相切于点 A , DE 与⊙ O 相切于点 E , C 为 DE 延 点 长线上一点,且 CE=CB. (1)求证: BC 为⊙ O 的切线; (2)如图②,连接 AE,AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 G .若 AB ? 2 5 , AD ? 2 , 求线段 BC 和 EG 的长.

八. 应用题 1(怀柔 21).小赵投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯.销售过程中发现,月内销售单价不变,每月 销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的关系可近似的看作一次函数: y ? ?10 x ? 500 . (1)设小赵每月获得利润为 w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?并求出最大利润. (2)如果小赵想要每月获得的利润不低于 2000 元,那么如何制定销售单价才可以实现这一目标?

2(朝阳 23). 如图,某校教学楼 AB 的后面有一建筑物 CD,当光线与地面的夹角是 22? 时,教学楼在建筑物 的墙上留下高 2m 的影子 CE;而当光线与地面的夹角是 45? 时,教学楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 13m 的距离(B、F、 在一条直线上).求教学楼 AB 的高度. C 3 15 2 (参考数据:sin22? ,cos22? ≈ ≈ ,tan22? ) ≈ 8 16 5

3(石景山 21).某种产品的年产量不超过 1 000 t,该产品的年 产量与费用之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图甲);该产品的年销量与销售单价之间 的函数图象是线段(如图乙),若生产的产品都能在当年销售完,问该产品年产量为多少吨时,所获得的 毛利润最大.(毛利润=销售额-费用)

y1 1000 O
图甲

费用(万元)

y2 销售单价(万元/t) 30 20
x

1000

年产量(t)

O

1000
图乙

年销售量(t)

x

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4(西城 18).如图,一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 45° 方向,距离灯塔 100 海里的 A 处,它计划沿正北方向 航行,去往位于灯塔 P 的北偏东 30° 方向上的 B 处. (1)B 处距离灯塔 P 有多远? (2)圆形暗礁区域的圆心位于 PB 的延长线上,距离灯塔 200 海里的 O 处.已知圆形暗 礁区域的半径为 50 海里,进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达 B 处是 否有触礁的危险,并说明理由.

5(东城 22).“十八大”报告一大亮点就是关注民生问题,交通问题已经成了全社会关注的 热点.为了解新建 道路的通行能力,某研究表明,某种情况下,车流速度 V (单位:千米/时)是车流密度 x (单位:辆/千 米)的函数,函数图象如图所示. (1)求 V 关于 x 的函数表达式; (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数,计算公式为:车流 量 P =车流速度 V × 车流密度 x .若车流速度 V 低于 80 千米/时,求 当车流密度 x 为多少时,车流量 P (单位:辆/时)达到最大,并求 出这一最大值.

6(昌平 23). 如图,小明在一次高尔夫球训练中,从山坡下 P 点打出一球向球洞 A 点飞去,球的飞行路线为 抛物线,如果不考虑空气阻力,当球达到最大高度 BD 为 12 米时,球移动的水平距离 PD 为 9 米 .已知 山坡 PA 与水平方向 PC 的夹角为 30o,AC⊥PC 于点 C, P、A 两点相距 8 3 米.请你建立适当的平面直 角坐标系解决下列问题. (1)求水平距离 PC 的长; (2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式; (3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从 P 点直接打入球洞 A.
P D C A B

7(丰台 22).小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果,正在上初三的小明经过调查和计算,发现 这种水果每月的销售量 y(千克)与销售单价 x(元)之间存在着一次函数关系:y=-10x+500. 下面是他们的一次对话: 小明:“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少?我就能帮你预测好多信息呢!” 爸爸:“咱家这种水果的进价是每千克 20 元” 聪明的你,也来解答一下小明想要解决的三个问题: (1)若每月获得利润 w(元)是销售单价 x(元)的函数,求这个函数的解析式. (2)当销售单价为多少元时,每月可获得最大利润? (3)如果想要每月从这种水果的销售中获利 2000 元,那么销售单价应该定为多少元?
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8(延庆 23). 某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为 400 元时,可全部租 出;当每辆车的日租金每增加 50 元,未租出的车将增加 1 辆;公司平均每日的各项 支出共 4800 元.设公司每日租出 x 辆车时,日收益为 y 元. (日收益=日租金收入一 平均每日各项支出) (1)公司每日租出 x 辆车时,每辆车的日租金为 元(用含 x 的代数式表示) ;

(2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元? (3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?

9(通州)20. 如图是黄金海岸的沙丘滑沙场景.已知滑沙斜坡 AC 的坡度是 tan ? ?

3 ,在与滑沙坡底 C 4

距离 20 米的 D 处,测得坡顶 A 的仰角为 26.6° ,且点 D、C、B 在同一直线上,求滑坡的高 AB(结 果取整数:参考数据:sin26.6° =0.45,cos26.6° =0.89,tan26.6° =0.50) .

A

D
九. 动点问题与最值

26.6° 20米

α C
第20题图

B

1. (西城 8).如图,△ABC 中,∠B=60° ,∠ACB=75° ,点 D 是 BC 边上一动点, 以 AD 为直径作⊙O,分别交 AB、AC 于 E、F,若弦 EF 的最小值 为 1,则 AB 的长为( A. 2 2 B. ) C. 1.5 D.

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4 3 3

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