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2015-2016学年辽宁省鞍山市第一中学、东北育才中学、辽宁省实验中学高一上学期期末考试数学试题


2015——2016 学年度上学期期末考试高一年级数学科试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.如图所示的韦恩图中, A 、 B 是非空几何,定义 A ? B 表示阴影部分集合.若 x, y ? R ,

A ? {x | y ? 2 x ? x2 } , B ? { y | y ? 3x , x ? 0} ,则 A ? B =(



A. (2, ??)

B. [0,1) ? (2, ??)

C. [0,1] ? (2, ??)

D. [0,1] ? [2, ??) )

2.设集合 A ? {a, b} , B ? {0,1, 2} ,则从 A 到 B 的映射的个数有( A. 3 B.6 C.8 D.9

3.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? B.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ?



4.若 3x1 ? 4 y1 ? 2 ? 0,3x2 ? 4 y2 ? 2 ? 0 ,则过 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线方程是( A. 4 x ? 3 y ? 2 ? 0
0.3



B. 3 x ? 4 y ? 2 ? 0

C. 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 )

D. 3x ? 4 y ? 2 ? 0

5.设 a ? 1.6 , b ? log 2 A. a ? b ? c 6.函数 y ?

1 , c ? 0.81.6 ,则 a, b, c 的大小关系是( 9
C. b ? c ? a D. c ? a ? b

B. b ? a ? c

1 ln[ x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4] 的定义域是( x
B. [?4,0) ? (0,1] C. (?4,0) ? (0,1) )

) D. (??, ?4) ? [2, ??)

A. [?4,0) ? (0,1)

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A. 2?

B. 2 2?

C. (2 2 ? 1)?

D. (2 2 ? 2)? )

8.若函数 f ( x) ?| x | ? a ? x 2 ? 2 (a ? 0) 没有零点,则 a 的取值范围是( A. ( 2, ??) B. (2, ??) C. (0,1) ? ( 2, ??) D. (0,1) ? (2, ??)

9.若点 P( x0 , y0 ) 在圆 C : x2 ? y 2 ? r 2 的内部,则直线 xx0 ? yy0 ? r 2 与圆 C 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定



11.已知半径为 5 的球 O 被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦长为 4,若其中的一圆的半径 为 4,则另一圆的半径为( A. 10 B. 11 ) C. 2 3 D. 13 )

x 2 12.已知函数 f ( x ) 的图象如图:则满足 f (2 ) ? f (lg( x ? 6x ? 120)) ? 0 的 x 的取值范围是(

A. (??,1]

B. [1, ??)

C. [0, ??)

D. (??, 2]

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

?e x ( x ? 0) 1 13.设 f ( x) ? ? ,则 f [ f ( ? )] ? 2 ?ln x( x ? 0)



A 沿表面移到点 D1 时的 14.正六棱柱 ABCDEF ? A 1B 1C1D 1E1F 1 的底面边长为 3 ,侧棱长为 1,则动点从
最短的路程是
2 2


2

15.若过点 P(1, ?1) 作圆 x ? y ? kx ? 2 y ? k ? 0 的切线有两条,则实数 k 的取值范围是



16.一个长为 8cm ,宽为 6cm ,高为 10cm 的密封的长方体盒子中放一个半径为 1cm 的小球,无论怎样摇 动盒子,则小球在盒子中总不能到达的空间的体积为

cm3 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分 10 分) 解方程: log2 (4x ? 4) ? x ? log2 (2x?1 ? 3)

18. (本小题满分 12 分) 设 f ( x ) 是定义在 [?3,3] 上的偶函数,当 0 ? x ? 3 时, f ( x ) 单调递减,若 f (1 ? 2m) ? f (m) 成立,求

m 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 如图,四面体 ABCD 中, O 是 BD 的中点, ?ABD 和 ?BCD 均为等边三角形, AB ? 2 , AC ? 6 . (Ⅰ)求证: AO ? 平面 BCD ; (Ⅱ)求 O 点到平面 ACD 的距离.

A

D O B C

20. (本小题满分 12 分) 若已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等,且 P(4,3) 到直线 l 的距离为 3 2 ,求直线 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分)

2 ? ?? x ? ax( x ? 1) 已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若存在 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ? ?a x ? 7a ? 14( x ? 1)

(Ⅰ)求实数 a 的取值集合 A ; (Ⅱ)若 a ? A ,且函数 g ( x) ? lg[ax2 ? (a ? 3) x ? 4] 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知⊙ O : x ? y ? 1和定点 A(2,1) ,由⊙ O 外一点 P( x, y) 向⊙ O 引切线 PQ ,切点为 Q ,且满足
2 2

| PQ |? 2 | PA | .
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程 C ; (Ⅱ)求线段 PQ 长的最小值; (Ⅲ)若以⊙ P 为圆心所做的⊙ P 与⊙ O 有公共点,试求 P 半径取最小值时的 P 点坐标.

2015——2016 学年度上学期期末考试高一年级数学科试卷 参考答案
一.选择题: CDCBC ABDCC DA

二.填空题: 13. ?

1 2

14. 19

15. ?

2 3 2 3 ? k ? ?1 或 0 ? k ? 3 3

16. 80 ?

58? 3

三.解答题: 17.解方程 log2 (4x ? 4) ? log2[2x (2x?1 ? 3)] 则: 4 ? 4 ? 2 (2
x x x ?1

? 3)

∴ x ? 2 .……………………………8 分 经检验 x ? 2 满足方程.……………10 分

?|1 ? 2m |?| m | ? 18.解 ? ?3 ? 1 ? 2 m ? 3 ……………………………………4 分 ? ?3 ? m ? 3 ?

?3m 2 ? 4m ? 1 ? 0 ? ? ? ?1 ? m ? 2 ? ?3 ? m ? 3 ?

…………………………………………8 分

1 ? m ? 或m ? 1 ? 3 ? 1 ? ??1 ? m ? 2 ? ?1 ? m ? 或1 ? m ? 2 .………………12 分 3 ??3 ? m ? 3 ? ?
19.解(1)证明:连结 OC . ∵ ?ABD 为等边三角形, O 为 BD 的中点, ∴ AO ? BD . ∵ ?ABD 和 ?CBD 为等边三角形, O 为 BD 的中点, AB ? 2, AC ? 6 ,

∴ AO ? CO ? 3 . 在 ?AOC 中,∵ AO ? CO ? AC ,∴ ?AOC ? 90 ,即 AO ? OC .
2 2 2 ?

∵ BD ? OC ? 0 ,∴ AO ? 平面 BCD . (Ⅱ)解:设点 O 到平面 ACD 的距离为 h . ∵ VO? ACD ? VA?OCD ,∴

………………………………6 分

1 S ?OCD ? AO .在 ?ACD 中, AD ? CD ? 2 , AC ? 6 3
2

S?ACD

? 6? 3 S 15 1 15 .而 AO ? 3 , S?OCD ? ,∴ h ? ?OCD ? AO ? . ? 6 ? 22 ? ? ? ? ? ? 2 S 5 2 2 2 ?ACD ? ?
15 .………………………………………………12 分 5
|7?a| ? 3 2 ? a ? 1或a ? 13 ……………………5 分 2

∴点 O 到平面 ACD 的距离为

20.解: (Ⅰ)设 l : x ? y ? a ? 0 ,∴

(Ⅱ)设 l : y ? kx 即 kx ? y ? 0 ,∴ d ?

| 4k ? 3 | 1? k
2

? 3 2 ? k ? ?6 ? ? ?

3 14 ……………10 分 2

综上,直线方程: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 13 ? 0 或 ? ?6 ? 21.解: (Ⅰ)依题意函数 f ( x ) 不单调

3 ? 14 ? x ? y ? 0 ………………12 分 2 ?

a 2 a2 而当 x ? 1 时: f ( x) ? ?( x ? ) ? 2 4
a ? 1 时满足题意,即 a ? 2 2 a ②当 ? 1 时,因 x ? 1 时 f ( x) ? a ? 1 ,而 x ? 1 时 f ( x) ? a2 ? 7a ? 14 2
①当 只需 a ? 1 ? a ? 7a ? 14 ,此时: 3 ? a ? 5
2

综上: A ? {x | x ? 2或3 ? x ? 5} (写成区间亦可 A ? (??, 2) ? (3,5) )…………………………6 分 (Ⅱ)①当 a ? 0 时 g ( x) ? lg(3x ? 4) 满足题意

②当 ?

?a ? 0
2 ?? ? (a ? 3) ? 16a ? 0

? 0 ? a ? 1或a ? 9 .

则 0 ? a ? 1或a ? 9, 又a ? A .

综上 0 ? a ? 1 ……………………………………………………………………………………12 分 22.解: (Ⅰ)

| PQ |? 2 | PA |? x 2 ? y 2 ? 1 ? 2 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 3 x 2 ? 3 y 2 ? 16 x ? 8 y ? 21 ? 0 ……………4 分
(Ⅱ)∵ | PQ |? 2 | PA | ∴ | PQ |min ? 2 | PA |min

而轨迹 C 的方程 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

8 3

4 3

17 8 4 17 ,圆心设为 C ( , ) ,半径 r ? 9 3 3 3

而 | PA |min ? r ? | AC |?

17 8 4 17 ? 5 ? (2 ? )2 ? (1 ? )2 ? 3 3 3 3

因此 | PQ |min ?

2( 17 ? 5) .……………………………………8 分 3

(Ⅲ)依题意若以 P 为圆心所作的⊙ P 与⊙ O 有公共点,⊙ P 半径取最小值时的 P 点坐标即线段 OC 与⊙

C 的交点.即 OC : y ?

1 8 x (0 ? x ? ) 与⊙ C 的交点 2 3

1 ? 15 40 ? 2 85 20 ? 85 ?y ? x ? x 2 ? 20 x ? 21 ? 0 ? x ? ?y? 2 ? 4 15 15 ?3x 2 ? 3 y 2 ? 16 x ? 8 y ? 21 ? 0 ?
即 P(

40 ? 2 85 20 ? 85 , ) …………………………………………12 分 15 15


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