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湖北省黄冈市2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题-含解析

2017 学年黄冈市高二(下)期末试题

数学(理科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个

选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)

1. 设集合 S={|>-2},T={|2+3-4≤0},则(? RS)∪T=( ) A. [-4,-2] B. (-∞,1] C. [1,+∞) D. (-2,1] 【答案】B

【解析】由题意可得:

,且





,即

.

2. 已知复数

,则复数 的虚部为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】由题意可得:



则复数 的虚部为 .

本题选择 D 选项.

3. 随机变量 ~

,若

A.

B.

C.

,则
D.

为( )

【答案】B

【解析】



,故选 D.

4. 若 个人报名参加 项体育比赛,每个人限报一项,则不同的报名方法的种数有( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】四名同学报名参加 3 项体育比赛,每人限报一项,每人有 3 种报名方法;根据分 步计数原理,可得共有 3×3×3×3= 种不同的报名方法,故选 C 5. 广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续 5 个年度的广告费和销售额进行 统计,得到统计数据如下表(单位:万元)

广告费 销售额

2

3

4

5

6

29

41

50

59

71

由上表可得回归方程为

为( )

A.

B.

C.

【答案】A

,据此模型,预测广告费为 8 万元时的销售额约 D.

【解析】 由题意得,



将点

代入

,解得

,即





时,

,故选 D.

6. 从

中不放回地依次取 个数,事件 表示“第 次取到的是奇数”,事件 表示

“第 次取到的是奇数”,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】试题分析:由题意,

,∴

,故选 D.

考点:条件概率与独立事件.

7. 已知函数

,则

的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】试题分析:

,

故 f′()为奇函数,其图象关于原点对称,排除 BD,又当 时,

, 排除 C,只有 A 适合,故选:A.

考点:函数的图像和性质

8. 如图,长方形的四个顶点坐标为 O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线

经过点 B,现将质

点随机投入长方形 OABC 中,则质点落在图中阴影部分的概率为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】由定积分可得,阴影部分的面积为:



由几何概型公式可得:

.

本题选择 A 选项....

点睛:数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关

键:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化

为事件 A 满足的不等式,在图形中画出事件 A 发生的区域,通用公式:

P(A)=

.

9. 若



,则 和 的值满足( )

A.

和 都大于 2 B.

和 都小于 2

C. 和 中至少有一个小于 2 D. 以上说法都不对

【答案】C

【解析】假设



同时成立.

因为>0,y>0,

所以 1+≥2y,且 1+y≥2,

两式相加得 1++1+y≥2(+y),

即+y≤2,这与+y>2 相矛盾,

因此 和 中至少有一个小于 2.

本题选择 C 选项.

点睛:应用反证法证题时必须先否定结论,把结论的反面作为条件,且必须根

据这一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就 不是反证法.所谓矛盾主要指:①与已知条件矛盾;②与假设矛盾;③与定义、 公理、定理矛盾;④与公认的简单事实矛盾;⑤自相矛盾.
10. 2013 年 8 月,考古学家在湖北省随州市叶家山发现了大量的古墓,经过对生物体内碳 14 含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前 850 年左右的西周时期,已知碳 14 的“半衰期” 为 5730 年(即含量大约经过 5730 年衰减为原的一半),由此可知,所测生物体内碳 14 的含 量应最接近于( )
A. 25﹪ B. 50﹪ C. 70﹪ D. 75﹪
【答案】C

【解析】

,且:



据此估计生物体内碳 14 的含量应最接近于 70﹪. 本题选择 C 选项.
11. 对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”:

.仿此,若 的“分裂数”中有一个是 2017,则 m 的值为( )

A. 44 B. 45
【答案】C

C. 46

D. 47

2017 从 3 开始的第 1008 个奇数,

据此可得

.

本题选择 C 选项.

12. 已知函数

恰有两个零点,则实数 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】令

可得:

,...



,



,

则在区间 上 单调递减,在区间

上 g()单调递增,



当 时,

,函数 在

上单调递增,



时,

,函数 在 上单调递减,



时,

,当 时,



.

本题选择 C 选项.

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 数学老师从 6 道习题中随机抽 3 道让同学检测,规定至少要解答正确 2 道题才能及格。
某同学只能求解其中的 4 道题,则他能及格的概率是______________
【答案】
【解析】由超几何分布的概率公式可得,他能及格的概率是:

.

点睛:超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个

数.超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从

中抽取若干个个体,考查某类个体个数的概率分布,超几何分布主要用于抽检

产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.

14. 已知函数

,则曲线



处的切线方程是

_________

【答案】

【解析】由题意可得:

,令

可得:



即:



且:



切线过点

,斜率为

,则切线方程为

15. 设
______________
【答案】135

【解析】解:

.
,则 等于




时,可得:

16. 先阅读下面的文字:“求 ,则有

那么,可用类比的方法,求出

.
的值时,采用了如下的方式:令 ,两边平方,可解得 =2(负值舍去)”。
的值是________.

【答案】 【解析】试题分析:由题观察可类比得; 考点:类比推理.
三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤)...

17. 已知定义在 上的函数

是奇函数.

⑴求 的值,并判断函数 ⑵若对任意的 ,不等式

在定义域中的单调性(不用证明); 恒成立,求实数 的取值范围.

【答案】⑴

;⑵

.

【解析】试题分析:(1)根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求 根据函数奇偶性和单调性的性质,将不等式进行转化进行求解即可. 试题解析:⑴∵ 是定义在 上的奇函数,

的值;(2)



,∴









对一切实数 都成立.

,∴





,∴



⑵不等式

等价于



又 是 上的减函数,∴





对 恒成立,





即实数 的取值范围是



考点:函数的奇偶性和单调性. 【方法点晴】本题属于对函数单调性应用的考察,若函数

在区间上单调递增,则

时,有

,事实上,若

,则

,这



矛盾,类似地,若 在区间上单调递减,则当

时有

;据此可以解不等式,由函数值的大小,根据

单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域

.

18. 为了增强环保意识,某社团从男生中随机抽取了 60 人,从女生中随机抽取了 50 人参

加环保知识测试,统计数据如下表所示:

优秀

非优秀

总计

男生

40

20

60

女生

20

30

50

总计

60

50

110

(1)试判断是否有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关; (2)为参加市举办的环保知识竞赛,学校举办预选赛,现在环保测试优秀的同学中选 3 人参加预选赛,已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为 ,若随机变量 表示 这 3 人中通过预选赛的人数,求 的分布列与数学期望. 附=

0.500

0.400

0.100

0.010

0.001

0.455

0.708

2.706

6.635

10.828

【答案】(1)有 %的把握认为环保知识是否优秀与性别有关;(2)分布列见解析,

【解析】试题分析:(1)利用公式计算得

,故有

把握;(2) 的可能取值为 望. 试题解析:

,且 满足二项分布

(1)

因为 所以有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关. (2) 的可能取值为 0,1,2,3

,由此求得分布列和期



所以 的分布列为:

0

1

2

3

P

因为



所以

考点:1.独立性检验;2.二项分布.

19. 如图,某段铁路 AB 长为 80 公里,

,且

公里,为将货物从 A 地运往 C

地,现在 AB 上的距点 B 为的点 M 处修一公路至点 C.已知铁路运费为每公里 2 元,公路运费 为每公里 4 元. (1)将总运费 y 表示为的函数. (2)如何选点 M 才使总运费最小?

【答案】(1)

;(2)当在距离点 为 公

里时的点 处修筑公路至 时总运费最省.

【解析】试题分析:(1)有已知中铁路 长为

,且

,为将货物从

运往 ,现在 上距点 为 的点 处修一条公路至 ,已知单位距离的铁路运费为 ,公

路运费为 ,我们可以计算公路上的运费和铁路上的运费,进而得到由 到 的总运费;(2)

由(1)中所得的总运费 表示为 的函数,利用导数法,我们可以分析出函数的单调性,

以及憨厚的最小值点,得到答案.

试题解析:(1)依题中,铁路 长为

,且

,将货物从 运往 ,现在

上的距点 为 的点 处修一公路至 ,且单位距离的铁路运费为 ,公路运费为 .

铁路 上的运费为

,公路 上的运费为

,

则由 到 的总运费为

.

(2)

,令

,解得

,或

(舍).



时,

;当

时,

;...

故当

时, 取得最小值, 即当在距离点 为 时的点 处修筑公路至 时总运费最省.

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;函数最值的应用. 【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数求解函数的极值与 最值问题,本题的解答中,根据题意列出 到 的总运费为的函数关系式是关键,再利用 导数研究函数的单调性及求解函数的极值、最值,着重考查了分析问题和解答问题的能 力、以及转化与化归思想的应用,属于中档试题.

20. 已知数列 的前 项和为 ,且

(1)试求出

,并猜想 的表达式;

(2)用数学归纳法证明你的猜想,并求出 的表达式。

【答案】(1)

;(2)见解析.

【解析】试题分析:(1)先根据数列的前 项的和求得

,可知分母和分子分

别是等差数列进而可猜想出 ;(2)利用数学归纳法证明猜想成立,由

可直接

求出 的表达式. 试题解析:(1)解:

证明:(1)当 假设当

时,

`猜想

等式成立。

时,等式成立,即

。当

,∴

时,

时,等式也成立。

综上 1)2)知,对于任意



都成立。



点睛:本题主要考查了数列的递推式.数列的递推式是高考中常考的题型,涉及数列的

通项公式,求和问题,归纳推理与数学归纳法证明等式等问题;数学归纳法的注意事项:

①明确初始值 并验证真假; ②“假设

时命题正确”并写出命题形式;③分析



时”命题是什么,并找出与“

”时命题形式的差别.弄清左端应增加

的项;④明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的方法:乘法公式、因式分解、

添拆项、配方等,并用上假设.

21. 设函数



(1)求 的极值;

(2)当

时,试证明:



【答案】(1) 极大值=

;(2)证明见解析.

【解析】试题分析:

(1)首先求解导函数,然后利用导函数的性质讨论函数的单调性求解极值即可;

(2)构造函数 证明即可得出结论. 试题解析:
(1)函数 定义域为

,利用不等式的特点结合新构造的函数进行




时,



所以当

时, 极大值=

.函数

(Ⅱ)要证

,只需证

无极小值。

只需证

... ,




,则

由(1)知



即在

,故原不等式成立

22. 选修 4 4:坐标系与参数方程

单调递减 上是减函数,而

在极坐标系中,曲线 的方程为

,点

.以极点 为原点,极轴为 轴

的正半轴建立直角坐标系. (1)求直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程;

(2)若直线 与曲线 交于 、 两点,求

的值.

【答案】(1)

(为参数),

;(2) .

【解析】试题分析:(1)利用条件,求得直线 的参数方程,把曲线 的方程为 化为直角坐标方程; (2)联立方程,借助韦达定理,表示目标,得到结
果.

试题解析:(1)∵化为直角坐标可得





∴直线 的参数方程为:





∴曲线 的直角坐标方程:

,得:













考点:极坐标和参数方程等有关知识的综合运用.

23. 选修 4 5:不等式选讲

设函数

,不等式

的解集是



(1)求实数 的值;

(2)若

对一切

恒成立,求 的范围.

【答案】(1)

;(2)



【解析】试题分析:(1)利用公式法解绝对值不等式,根据条件建方程,求得 ;(2)通

过三角绝对值不等式求函数的最值.

试题解析:(1)由题意可知



,解得



∵不等式

的解集是





解得



(2)∵





,...

当 时,







考点:绝对值不等式的有关知识和综合运用.