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云南省德宏州梁河县第一中学高中数学 3.1.1 两角差的余弦公式学案2 新人教版必修4

云南省德宏州梁河县第一中学高中数学 3.1.1 两角差的余弦公式学案 2 新人 教版必修 4 一、学习目标 1. 知道公式的由来; 2. 知道公式的结构特征,并加以记忆; 3. 能运用公式解答有关问题。 【重点、难点】 重点:公式的推 导和证明 难点:灵活运用公式解答有关问题 【学习方法】合作探究、讨论、归纳 二、前置作业 (一)复习准备 1.三角函数的定义:设α 是任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y), ?y, 那么: ? x , tan? ? 2.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。 如: cos(2k? ? ? ) ? , cos(90o ? ? ) ? , , y p o ? x cos(?? ) ? 3.向量的数量积: sin(?? ) ? (模长形式) a ? b = (坐标形式) a ?b= (二)知识点学习 【问题提出】我们在初中时就知道对于 30°,45°,60°等特殊角的三角函数值可以直接写出,利用诱导 公式还可进一步求出 150°,210°等角的三角函数值. 由此我们能否得到 cos15°=cos(45°-30°)=? 探究 1:利用特殊三角函数值探究两角差的余弦公式 【问题 1】设α ,β 为两个任意角, 你能判断 cos(α -β )=cosα -cosβ 恒成立吗? 【问题 2】我们设想 cos(α -β )的值与α ,β 的三角函数值有一定关系,填 写并观察下表中的数据,你 有什么发现? cos(60? ? 30? ) cos 60? cos30? sin 60? sin 30? cos(120? ? 60? ) cos120? cos 60? sin 120? sin 60? 【问题 3】一般地,你猜想 cos(α -β )等于什么? 探究 2:利用单位圆上的三角函数线探究两角差的余弦公式 【问题 1】 如图 1,设α , β 为锐角, 且α >β , 角 α 的终边与单位圆的交点为 P1,∠POP1=β ,则∠POx=α -β . 1 过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,垂足为 M,那么 cos(α -β )表示哪条线段长? 图1 【问题 2】如何 用线段分别表示 sinβ 和 cosβ ? 【 问 题 3 】 过 点 A 作 AB 垂 直 于 x 轴 , 垂 足 为 B, 过 点 P 作 PC 垂 直 于 AB, 垂 足 为 C, 为 什 么 ?PAC ? ?P 1Ox ? ? ? 【问题 4】cosα cosβ =OAcosα ,它 表示哪条线段长?sinα sinβ =PAsinα ,它表示哪条线段长? 【问题 5】利用 OM=OB+BM=OB+CP 可得什么结论? 【问题 6】上述推理能说明对任意角α ,β ,都有 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 成立吗? 探究 3:利用向量的知识探究两角差的余弦公式 【问题 1】根据 cosα cosβ +sinα sinβ 的结构特征,你能联想到一个相关计算原理吗? 【 问 题 2 】 如 图 , 设 角 α , β 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 分 别 为 A 、 B , 则 向 量 OA 、 OB 坐标分别是什么?其数量积是什么? 图2 【问题 3】设向量 OA 与OB 的夹角θ ,则根据数量积定义, OA ? OB 等于什么? 2 【问题 4】由图可知向量 OA 与OB 的夹角θ 与α ,β 有什 么关系?由此你可以得到什么结论? 【问题 5】公式 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 称为差角的余弦公式,记作 C? ? ? ,该公式有什么 特点?如何记忆 ? (三)例题讲解 例 1 利用差角余弦公式求 cos15°的值. 变式:不查表求 sin75°的值 (四)目标检测 1. cos110°cos20°+sin110°sin20°= 2. sinxsin(x+y)+cosxcos(x+y)= 3.利用公式 C? ? ? 证明: (1) cos( ? 2 ? ? ) ? sin ? (2) cos(2? ? ? ) ? cos? (五)课堂小结 配餐作业 A 组题 1. 习题 3.1A 组 1.(1) 、 (3) ; 2.计算 cos 80°cos 20°+sin 80°·sin 20°的值为( ). 3 A. 2 2 B. 3 2 1 C. 2 D.- 2 2 B 组题 1. cos 75°cos 30°+sin 75°sin 30° = 2. 利用差角余弦公式求 cos165°的值. C 组题 不查表计算下列格式的值。 (1) 1 3 cos15? ? sin 15? 2 2 (2) cos15 ? sin 15 ? ? 4