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3.1.1方程的根与函数的零点


思考:一元二次方程 思考: ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系? 的图象有什么关系?

方程 函数 函 数 的 图 象

X2-2x-3=0 y= x2-2x-3
y

X2-2x+1=0 y= x2-2x+1
y

X2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y

.
2
-1

. .0
-3 -4

1
-1 -2

. .
1 2 3

2 1

. . .
1

.
3 2

5

x
-1

.

4

.
2

.
1

.
2

.

0

x
-1

1

.

0

3

x

方程的实数根 x1=-1,x2=3 函数的图象 (-1,0)、(3,0) 、 与x轴的交点 轴的交点

x1=x2=1 (1,0)

无实数根 无交点

判别式△ 判别式△ = b2-4ac

△>0

△=0

△<0
没有实数根
y

两个不相等 有两个相等的 方程ax 方程 2 +bx+c=0 的实数根x 的实数根 1 、x2 实数根 1 = x2 实数根x (a≠0)的根 的根
y y

函数y= 函数 ax2 +bx +c(a≠0)的图象 的图象

x1

0

x2

x
0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

函数零点的定义: 函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x y=f(x),我们把使f(x)=0的实数 叫做函数y=f(x)的零点。 y=f(x)的零点 叫做函数y=f(x)的零点。
注意: 零点指的是一个实数

零点是一个点吗?

等价关系: 等价关系: 方程f(x)=0有实数根 方程f(x)=0有实数根 f(x)=0 函数y=f(x)的图象与x 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 y=f(x)的图象与 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)有零点 y=f(x)

例1:求下列函数的零点 :求下列函数的零点.

(1)y= (1)y=-x2-x+20; y=- x+20;

(2)y=2x-1;

探究
观 察 二 次 函 数 f ( x) = x ? 2 x ? 3 的 图 象,如右图,我们发现函数 f ( x) = x2 ? 2 x ? 3在
2

y 5 4 3 2 1 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -3 -4 3 4 5 x

区间 [ ?2,1] 上有零点。计算 f (?2) 和 f (1) 的乘 积,你能发现这个乘积有什么特点?在区间

[ 2, 4] 上是否也具有这种特点呢?

结 论

如果函数 y = f (x)在区间[ a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,
并且有 f (a) ? f (b) < 0,那么,函数 y = f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点,

即存在 c∈( a,b) ,使得 f (c) = 0,这个 c也就是方程 f (x) = 0的根。



y

y

a o
y

b x

a
y

o

b x

a

o

b

x

a

o

b

x

例2:已知函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的 已知函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的 y=f(x)在区间[a,b] (5) 曲线,判断下列结论,正确的是_________. 曲线,判断下列结论,正确的是_________.

(1)若f (a) ? f (b) < 0, 则在区间(a, b)内函数f ( x)有且仅 有一个零点;
(2)若f (a ) ? f (b) > 0, 则在区间(a, b)内函数f ( x)无零点;

(3) f ( x)在(a, b)内有零点,必有f (a) ? f (b) < 0
(4)若f (a ) ? f (b) ≤ 0, 则在区间( a, b)内函数f ( x)有零点;
(5)若f (a ) ? f (b) < 0, 则在区间(a, b)内函数f ( x)有零点;

例3、 (1)求函数f ( x) = lg x + 2 x ? 6的零点的个数. (2)求函数f ( x) = ? x ? 3 x + 5的零点的个数.
3

课堂练习: 课堂练习:
1 1.函数f ( x) = x ? 零点的个数是 (C) x
A. 0 B. 1 C. 2 D.无数个

2.若函数f ( x) = 2ax 2 ? x ? 1在(0,1)内恰有一个零点, 则a的取值范围是(B)

A.a < ?1

B.a > 1

C. ? 1 < a < 1

D.0 ≤ a < 1

课堂小结: 课堂小结:
1、函数零点的定义;

2、函数的零点与方程的根的关系; 3、确定函数的零点大致区间的方法。

作业: 作业:
1、求下列函数的零点:(1)y=-x2+6x+7; 求下列函数的零点:(1)y=- +6x+7; (2)y=x3-4x. 2、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,求 若函数f(x)=x ax- 的两个零点是2 loga25 + b2。


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