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说课:等差数列的前N项和 公开课一等奖课件PPT_图文

等差数列的前n项和
(说课稿)

一、教材分析
?教材地位、作用 ?教学目标 ?教学重点、难点

教材地位与作用
数列是刻画离散现象的函数,是一种重要的数学模型。人们往 往通过离散现象认识连续现象,因此就有必要研究数列。
高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课 的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。
在推导等差数列前n项和公式的过程中,采用了:1.从特殊到 一般的研究方法;2.等差数列的基本元表示 ;3.逆序相加求和。 不仅得出了等差数列前n项和公式,而且对以后推导等比数列前n项 和公式有一定的启发,也是一种常用的数学思想方法。
等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础,与数学课程的 其它内容(函数、三角、不等式等)有着密切的联系。

教学目标
知识与技能目标: 掌握等差数列前n项和公式,能较熟练应用等差数列前 n项和公式求和。 过程与方法目标: 经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验 从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思。 情感、态度与价值观目标: 获得发现的成就感,逐步养成科学严谨的学习态度,提 高代数推理的能力。

教学重点、难点
?等差数列前n项和公式是重点。 ?获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

二、教法分析
教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知 识阶段。
探索与发现公式推导的思路是教学的重点。如果直接介 绍“逆序相加”求和,无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出 来的兔子”。所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫,从 特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。
应用公式也是教学的重点。为了让学生较熟练掌握公式, 可采用设计变式题的教学手段,通过“选择公式”,“变用 公式”,“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的 形成。

三、学法分析
建构主义学习理论认为,学习是学生积极主动的建构知 识的过程,学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中, 让学生在问题情境中,经历知识的形成和发展,通过观察、 操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习,认识和理 解数学知识,学会学习,发展能力。

三、教学过程
?问题呈现阶段 ?探究发现阶段 ?公式应用阶段

问题呈现

泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世 界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图 案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案,以相 同 大 小 的 圆 宝 石 镶 饰 而 成 , 共 有 100 层 (见左图),奢靡之程度,可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

设计说明
?源于历史,富有人文气息. ?图中算数,激发学习兴趣. ?承上启下,探讨高斯算法.
计算 1+ 2 + 3 + +100

探究发现
学生叙述高斯首尾配对的方法
学生对高斯的算法是熟悉的,知道采用 首尾配对的方法来求和,但是他们对这种方 法的认识可能处于模仿、记忆的阶段 。
为了促进学生对这种算法的进一步理解, 设计了下面问题。

探究发现

问题1:图案中,第1层到第21层一共有

多少颗宝石?

这是求奇数个项和的问题,不

能简单模仿偶数个项求和的办法,

需要把中间项11看成首、尾两项

1和21的等差中项。

通过前后比较得出认识:高 斯“首尾配对” 的算法还得分 奇、偶个项的情况求和。

进而提出有无简单的方法?

探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石?
借助几何图形之 直观性,引导学生使 用熟悉的几何方法: 把“全等三角形”倒 置,与原图补成平行 四边形。

探究发现

问题1:图案中,第1层到第21层一共有

多少颗宝石?

1 2 3

21 20 19

获得算法:

s21

?

(1 ?

21) ? 2

21

21

1

设计说明
几何直观能启迪思路,帮助理解,因此,借 助几何直观学习和理解数学,是数学学习中的重 要方面。只有做到了直观上的理解,才是真正的 理解。因此在教学中,要鼓励学生借助几何直观 进行思考,揭示研究对象的性质和关系,从而渗 透了数形结合的数学思想。

探究发现

问题2:求1到n的正整数之和。

即 sn ? 1? 2 ? 3 ? ? (n ?1) ? n

sn ? 1? 2 ? 3 ? ? (n ?1) ? n sn ? n ? (n ?1) ? (n ? 2) ? ? 2 ?1 ?2sn ? (1? n) ? (1? n) ? ? (1? n)
n

从求确定的前n个 正整数之和到求一般 项数的前n个正整数之 和,旨在让学生体验

sn

?

n(n ?1) 2

“逆序相加求和”这 一算法的合理性,从

心理上完成对“首尾

配对求和”算法的改

探究发现

问题3:如何求等差数列?an?的前n项和Sn ?

由于前面的铺垫,学生容易得出如下过程:

sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an

sn ? an ? a n?1?an?2 ? ? a1

? sn

?

n(a1 ? 2

an )

图追形问直学观生:为什么在等差数列中有

等差数a列2 的? a性n?质1 ?(如a1果?ma?n ,n ? p ? q,那么am ? an ? ap ? aq.)

探究发现

问题4:如何求等差数列?an?的前n项和Sn ?
如果萧华同学目前还不知道等差数列的这个

性质,你又该如何解释呢?

在图与式的

sn ? 1? 2 ? 3 ? ? (n ?1) ? n sn ? n ? (n ?1) ? (n ? 2) ? ? 2 ?1

启发下,引导学

?2sn ? (1? n) ? (1? n) ? ? (1? n) 生用项(首项或

n

sn

?

n(n ?1) 2

尾项)、公差两 个基本元表示等

差数列。

探究发现

问题4:如何求等差数列?an?的前n项和Sn ?
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? ? [a1 ?(n ?1)d ] Sn ? an ? (an ? d ) ? ? [an ? (n ?1)d ]

2Sn ? n(a1 ? an )

公式1

Sn

?

n(a1 ? 2

an )

an ? a1 ? (n ?1)d

公式2

n(n ?1) Sn ? na1 ? 2 d

设计说明
(方法1) 许多的教学设计在介绍“等差数 列前n项和”教学时,先复习或介绍等差数列的 性质,然后在此基础上采用逆序相加推导公式。
(方法2)《数学》第一册(上)(人民教育 出版社)介绍的推导方法是先把等差数列用项 (首项、尾项)、公差两个基本元表示,然后采 用逆序相加推导公式。

设计说明
有观点认为方法1直接干脆,要比方法2好。我们之所以 浓墨重彩引出方法2,绝不是一味迷信教材人云亦云,而是源 于以下的考虑:
方法1是以学生掌握了等差数列的性质(教材内容始终未 出现,增加了学生的负担)为基础的,起点比较高,因而方法 显得抽象一些,不容易被学生理解和信服。
方法2的关键是等差数列的基本元表示——只要给定首项 (尾项)和公差就可以确定该等差数列,反映了等差数列的本 质,可以进一步促进学生对等差数列的理解。而且方法仅以等 差数列的定义为基础,乃是学生熟悉的背景知识,因而显得比 较直观,令人信服。

设计说明
一言而蔽之,数学教学应努力做到: 以简驭繁, 平实近人, 返朴归真, 循循善诱, 引人入胜。

公式应用
?选用公式 ?变用公式 ?知三求二

撧撨撩撪撬撮撯撱揿撴撵撶撷撸 撹撺挞撼撽挝擀擃掳擅擆擈擉擌 擎擏擐擑擓携擖擗擘擙擛擜擝擞 擟抬擢擤擥举擨

公式应用
选用公式
例1 某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m) 是: 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500
这位长跑运动员7天共跑了多少米?
本例提供了许多数据信息,学生可以从首项、尾 项、项数出发,使用公式1,也可以从首项、公差、 项数出发,使用公式2求和。达到学生熟悉公式的要 素与结构的教学目的。
通过两种方法的比较,引导学生应该根据信息选 择适当的公式,以便于计算。

公式应用
变用公式
例2 等差数列-10,-6,-2,2,…的前多少 项的和为54?
本例已知首项,前n项和、并且可以求出公差, 利用公式2求项数。
事实上,在两个求和公式中各包含四个元素, 从方程的角度,知三必能求余一。
变式练习
在等差数列?an?中,a1 ? 20, an ? 54, sn ? 999,求n.

公式应用
知三求二
例3 在等差数列?an?中,已知d ? 20, n ? 37, sn ? 629,
求a1及an .
本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知 元。
可以使用公式2,先求出首项,再使用通项公式求尾 项。也可以使用公式1和通项公式,联列方程组求解。
事实上,在求和公式、通项公式中共有首项、公差、 项数、尾项、前n项和五个元素,如果已知其中三个, 联列方程组,就可求其余二个。

课堂小结
?回顾从特殊到一般的研究方法; ?体会等差数列的基本元表示方法,逆序相加的算法, 及数形结合的数学思想; ?掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

作业布置
A必做题:课本118页,练习1、2、3;习题3.3 第2题(3、4)
B选做题:在等差数列中,
1、已知a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36, 求s16; 2、已知a6 ? 20,求s11
必做题是让学生巩固所学的知识,熟练公式的 应用。根据我校的特点,为了促进数学成绩优秀 学生的发展,培养他们分析问题解决问题的能力, 我们设计了选做题,达到分层教学的目的。

撧撨撩撪撬撮撯撱揿撴撵撶撷撸 撹撺挞撼撽挝擀擃掳擅擆擈擉擌 擎擏擐擑擓携擖擗擘擙擛擜擝擞 擟抬擢擤擥举擨