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2014届高考数学一轮复习方案 第26讲 平面向量的数量积课时作业 新人教B版

课时作业(二十六)A [第 26 讲
基础热身

平面向量的数量积]

(时间:35 分钟 分值:80 分)

1.[2012?辽宁卷] 已知向量 a=(1,-1),b=(2,x),若 a?b=1,则 x=( 1 A.-1 B.- 2 C. 1 D.1 2

)

2.已知向量 a,b 满足 a?b=1,|a|=1,|b|=2,则向量 a,b 所成夹角为( A.30° B.60°

)

C.120° D.150° 3.已知向量 a,满足 a?b=0,│a│=1,│b│=2,则│2a-b│=( A.0 B.2 2 C.4 D.8 4.已知向量 a,b 满足|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 b 在 a 上的投影是________. )

能力提升 5.[2013?宁波模拟] 设|a|=|b|=|a+b|,则 a-b 与 b 的夹角为( A.30° B.60° )

C.120° D.150° 6.[2013?珠海模拟] 已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a+3b|等 于( ( A. 7 ) ) B. 10

C. 13 D.4 7.[2013?辽宁五校协作体联考] 已知向量 a=(2,1),b=(1,k)且 a 与 b 的夹角为 锐角,则 k 的取值范围是( A.(-2,+∞) 1 1 B.-2, ∪ ,+∞ 2 2 C.(-∞,-2) D.(-2,2) )

1

8.[2012?广州一模] 已知两个非零向量 a 与 b,定义|a?b|=|a|?|b|sinθ ,其中 θ 为 a 与 b 的夹角.若 a=(-3,4),b=(0,2),则|a?b|的值为( A.-8 B.-6 C.6 D.8 9.[2012?绥化一模] 已知向量 a=(2,4),b=(1,1),若向量 b⊥(λ a+b),则实数 λ 的值为________ )

10.[2013?兖州诊断] 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)?(2a+b)=61,则 a 与 b 的夹 角 θ 为________. → → 11. [2012?石嘴山模拟] 在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点,AB=3,BD=1, AB? 则 AD =________. 12.(13 分)已知向量 a=(2cosx,cos2x),b=(sinx,1),令 f(x)=a?b. π (1)求 f 的值; 4

? π π? (2)求 x∈?- , ?时,f(x)的单调递增区间. ? 2 2?

难点突破 13.(12 分)(1)已知|a|=3,|b|=4,且(a+2b)?(a-3b)=-93,求向量 a 与 b 的夹 角〈a,b〉; → → → (2)设向量OA=(-1,-2),OB=(1,4),OC=(2,-4),在线段 OC 上是否存在点 P, → → 使得PA⊥PB?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

2

3

课时作业(二十六)B [第 26 讲 平面向量的数量积]

(时间:35 分钟 分值:80 分)

基础热身 → → 1.在平面直角坐标系中,已知 O(0,0),A(0,1),B(1, 3),则OA?OB的值为( A.1 B. 3-1 C. 3 D. 3+1 ) )

2. 已知平面向量 a 和 b,a|=1,b|=2, a 与 b 的夹角为 120°, a+b|等于( | | 且 则|2 A.2 B.4 C.2 5 D.6 )

3.已知 a=(2,3),b=(-4,7),若|c|= 26,且 a?b=a?c,则 c=( A.(-4,7) B.(-5,1)

C.(5,1)或(-1,5) D.(2,4) 4.在△ABC 中,有如下命题,其中正确的是( )

→ → → → → → → → → → ①AB-AC=BC;②AB+BC+CA=0;③若(AB+AC)?(AB-AC)=0,则△ABC 为等腰三角 → → 形;④若AB?BC>0,则△ABC 为锐角三角形. A.①② B.①④ C.②③ D.②③④

能力提升 5.已知 a⊥b,|a|=2,|b|=3,且 3a+2b 与 λ a-b 垂直,则实数 λ 的值为( )

4

3 3 A.- B. 2 2 3 C.± D.1 2 6.已知向量 a=(cosθ ,sinθ ),b=( 3,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别 是( ) A.4 2,0 B.4,4 2

C.16,0 D.4,0 7. 已知两个非零向量 a 与 b, +b=(-3, a-b=(-3, 则 a -b 的值为( a 6), 2), A.3 B.-24 C.21 D.12 → → → → 8.[2012?北京朝阳区二模] 在△ABC 中,|AB|=2,|AC|=3,AB?AC<0,且△ABC 的 3 面积为 ,则∠BAC 等于( 2 A.60°或 120° )
2 2

)

B.120°

C.150° D.30°或 150°

9.已知非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|= ________.

2 3 |a|,则 a+b 与 a-b 的夹角为 3

10.[2012?太原模拟] 已知向量 a=(cosθ ,sinθ ),b=( 3,1),则|a-b|的最大 值为________. → → → → → → 11.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设BC=2BD,CA=3CE,则AD?BE=________. 12.(13 分)已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c 的坐标; (2)若|b|= 5 且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ . 2

5

难点突破 13.(12 分)已知向量 a=(1,2),b=(cosα ,sinα ),设 m=a+tb(t 为实数). π (1)若 α = ,求当|m|取最小值时实数 t 的值; 4 π (2)若 a⊥b,问:是否存在实数 t,使得向量 a-b 和向量 m 的夹角为 ?若存在,请求 4 出 t;若不存在,请说明理由.

6

课时作业(二十六)A 【基础热身】 1.D [解析] a?b=(1,-1)?(2,x)=1?2-1?x=1? x=1,所以选 D.

a?b 1 2.B [解析] cos〈a,b〉= = ,∴〈a,b〉=60°. |a|?|b| 2
3.B [解析] ∵|2a-b| =4a -4a?b+b =4+4=8,∴|2a-b|=2 2. 1 4.1 [解析] b 在 a 上的投影是|b|?cos60°=2? =1. 2 【能力提升】 5.D [解析] 因为根据向量的加法几何意义可知,向量 a,b 夹角为 120°,以其为邻
2 2 2

边得到的平行四边形为菱形,因此可知 a-b,b 的夹角为 150°,选 D. 6.C [解析] |a+3b|= (a+3b) = 1+9+6a?b= 10+6cos60°= 13. 7. B
?2+k>0, ? [解析] 由于 a 与 b 的夹角为锐角, 所以 a?b>0, a≠λ b, 且 所以? ? k> ? ?1≠2k
2

1 -2 且 k≠ . 2 8.C [解析] ∵cosθ =

a?b -3?0+4?2 4 3 = = ,∴sinθ = . |a|?|b| 5?2 5 5

3 ∴|a?b|=|a|?|b|sinθ =5?2? =6. 5 1 9. - 3 [解析] a=(2, 4), =(1, b 1), a+b=(2λ +1, +1), λ 4λ 因为向量 b⊥(λ a

1 +b),所以 b?(λ a+b)=0,即 2λ +1+4λ +1=0,解得 λ =- . 3

? 2π ? 10.120°?或 ? ? 3 ?
6.

[解析] (2a-3b)?(2a+b)=61? 4a -3b -4a?b=61? a?b=-

2

2

a?b -6 1 所以 cosθ = = =- ,∴θ =120°. |a|?|b| 3?4 2

15 11. 2

3 3 3 [解析] 如图,建立平面直角坐标系,由已知得 B(0,0),D(1,0),A , , 2 2

3 3 3 → 1 3 3 → 所以AB=- ,- ,AD=- ,- , 2 2 2 2

7

→ → 3 27 30 15 从而AB?AD= + = = . 4 4 4 2 12.解:(1)∵f(x)=a?b=2cosxsinx+cos2x=sin2x+cos2x, π π ?π ? ∴f? ?=sin +cos =1. 4? 2 2 ? π? ? (2)f(x)= 2sin?2x+ ?. 4? ? π π π 3π π 当- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z), 即- +kπ ≤x≤ +kπ (k∈Z)时, (x) f 2 4 2 8 8

? π π? 单调递增,而 x∈?- , ?, ? 2 2? ? π π? ? 3π π ? 故 f(x)在?- , ?上的单调递增区间为?- , ?. 8? ? 2 2? ? 8
【难点突破】 13.解:(1)由|a|=3,|b|=4,得(a+2b)?(a-3b)=a -a?b-6b =-93,得 a?b
2 2

a?b 6 1 =6.因此 cos〈a,b〉= = = . |a||b| 3?4 2
π 又〈a,b〉∈[0,π ],所以〈a,b〉= . 3 → → → (2)设在OC上存在点 P,使得PA⊥PB, → → 则OP=tOC=(2t,-4t)(0<t<1), → → 得PA=(-1-2t,-2+4t),PB=(1-2t,4+4t). → → 因为PA⊥PB,所以(-1-2t)(1-2t)+(-2+4t)(4+4t)=0, 1 9 2 整理得 20t +8t-9=0,解得 t= 或 t=- (舍去). 2 10 所以存在点 P(1,-2)满足题意. 课时作业(二十六)B 【基础热身】 → → 1.C [解析] OA?OB=(0,1)?(1, 3)=0?1+1? 3= 3,故选 C. 2. A =2. 3.C [解析] 设 c=(x,y),|c|= 26,∴x +y =26,① ∵a?b=a?c,∴2?(-4)+3?7=2x+3y,② 联立①②,解之得?
? ?x=5, ? ?y=1
2 2

[解析] |2a+b|= (2a+b) = 4a +4a?b+b = 4+4?1?2?cos120°+4

2

2

2

或?

? ?x=-1, ? ?y=5.

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8

4.C

→ → → → → [解析] 在△ABC 中,AB-AC=CB,①错误;若AB?BC>0,则∠B 是钝角,△ABC

是钝角三角形,④错误. 【能力提升】 5.B [解析] a⊥b,|a|=2,|b|=3,且 3a+2b 与 λ a-b 垂直,则(3a+2b)?(λ a -b)=3λ a +(2λ -3)a?b-2b =12λ -18=0. 3 所以 λ = . 2 6 . D [ 解 析 ] |2a - b| = |2a-b|
2 2 2



4a -4a?b+b

2

2



4-4( 3cosθ -sinθ )+4 = π ? ? ?θ π ?? ? 8-8cos?θ + ?=4?sin? + ??,所以其最小值为 0,最大值为 4. 6 ? ? ? 2 12?? ?

7.C [解析] 因为 a+b=(-3,6),a-b=(-3,2),相加得到 a=(-3,4),相减 得到 b=(0,2),∴a -b =21,即选 C. → → → → 8.C [解析] 因为|AB|=2,|AC|=3,AB?AC<0,说明角 A 为钝角,则利用三角形的 1 → 3 1 → 面积公式,△ABC 的面积为 S= |AB|?|AC|sinA= ? sinA= ,∴ A=150°,选 C. 2 2 2 9.60° [解析] 将|a+b|=|a-b|两边同时平方得 a?b=0;
2 2

2 3 1 2 2 将|a-b|= |a|两边同时平方得 b = a . 3 3 (a+b)?(a-b) a -b 1 所以 cos〈a+b,a-b〉= = = . |a+b|?|a-b| 4 2 2 a 3 所以〈a+b,a-b〉=60°. 10.3 [解析] |a - b| =(a - b) = a -2a?b + b =5-4 ?
2 2 2 2

2

2

1 ? 3 cosθ + sinθ 2 ?2

? ? =5- ?

π? ? 4sin?θ + ?,所以|a-b|的最大值为 3. 3? ? 1 → 1 → → 11.- [解析] 根据已知AD= (AB+AC), 4 2 →

BE= AC-AB,
→ → 1 → → ?2→ →? 所以AD?BE= (AB+AC)?? AC-AB? 2 ?3 ? 1→ →? 1?2 1 = ? -1- AB?AC?=- . 3 2?3 4 ? 12.解:(1)设 c=(x,y),∵|c|=2 5,∴ x +y =2 5,∴x +y =20.
2 2 2 2

2→ → 3

9

∵c∥a,a=(1,2),∴2x-y=0,∴y=2x. 由?
?y=2x, ?
2 2

?x=2, ?x=-2, ? ? ∴? 或? ∴c=(2,4)或 c=(-2,-4). ? ? ? ?x +y =20, ?y=4 ?y=-4,

(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)?(2a-b)=0. 2a +3a?b-2b =0,∴2|a| +3a?b-2|b| =0.(※) ∵|a| =5,|b| =?
2 2 2 2 2 2

? 5?2 5 ? = ,代入(※)中, ?2? 4

5 5 ∴2?5+3a?b-2? =0,∴a?b=- . 4 2 5 a?b ∵|a|= 5,|b|= ,∴cosθ = = 2 |a|?|b| 5 - 2 5 5? 2

=-1.

∵θ ∈[0,π ],∴θ =π . 【难点突破】 π 3 2 2? ? 2 13.解:(1)因为 α = ,则 b=? , ?,a?b= , 4 2 2 2 ? ? 则|m|= (a+tb) = 5+t +2ta?b= t +3 2t+5= 3 2 2 所以当 t=- 时,|m|取到最小值,最小值为 . 2 2 (a-b)?(a+tb) (2)由条件得 cos45°= , |a-b||a+tb| 又因为 a⊥b ,则|a-b|= (a-b) = 6,|a +tb|= (a+tb) = 5+t ,(a-
2 2 2 2 2 2

? 3 2?2 1 ?t+ ? + , 2 ? 2 ?

b)?(a+tb)=5-t,
则有 5-t 6 5+t
2



2 2 ,且 t<5,整理得 t +5t-5=0, 2

-5±3 5 所以存在 t= 满足条件. 2

10


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