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高中数学第三章三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课时提升作业 新人教版

课时提升作业(二十六)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

一、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1.cos(-15°)的值为( )

(15 分钟 30 分)

A.

B.

C.

D.-

【解析】选 C.cos(-15°)=cos 15°=cos(45°-30°) =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°

= × + ×=

.

2.sinα = ,α ∈

,则 cos

的值为( )

A.-

B.-

C.-

D.-

【解析】选 B.由 sinα = ,α ∈

,得 cosα =- ,故 cos

=

cos cosα +sin sinα = ×

+ × =- .

3.设α ,β 为钝角,且 sinα = ,cosβ =- ,则α +β 的值为( )

A.

B.

C.

D. 或

【解析】选 C.由α ,β 为钝角,即α ,β ∈

,且 sinα = ,cosβ =- ,

得 cosα =-

=- ,

sinβ =

=,

所以 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ

=- ×

- × = >0,又α ,β ∈

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)

,所以α +β ∈(π ,2π ),因此α +β = .

4.已知 cos

= ,则 cosα + sinα 的值为________.

【解析】cos

=cos cosα +sin sinα = cosα + sinα = (cosα +

sinα )= ,故 cosα + sinα = .

答案: 5.sin(α +30°)cosα +cos(α +30°)sin(-α )=________. 【解题指南】本题解题关键是将 cosα 改写成 cos(-α ). 【解析】sin(α +30°)cosα +cos(α +30°)sin(-α ) =sin(α +30°)cos(-α )+cos(α +30°)sin(-α ) =sin[(α +30°)+(-α )]=sin30°= .

答案: 三、解答题 6.(10 分)(2015·揭阳高一检测)已知函数 f(x)=2sin( x- ),x∈R. (1)求 f 的值.

(2)设α ,β ∈

,f

= ,f(3β +2π )= ,求 cos(α +β )的值.

【解析】(1)f

=2sin

(2)f

=,

=2sin =2× = .

所以 2sin

=,

所以 sinα = ,又因为 f(3β +2π )= ,

所以 2sin

= ,所以 cosβ = ,

因为α ,β ∈

,所以 cosα = ,sinβ = ,

所以 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ = × - × = .

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

(15 分钟 30 分)

1.(2015·三亚高一检测)化简 cosx- sinx 的结果是( )

A.2 cos

B.2 sin

C.2 sin

D.2 cos

【解析】选 D. cosx- sinx

=2 (cos cosx-sin sinx)

=2 cos

.

【一题多解】本题还可以采用以下方法

cosx- sinx =2

=2 sin

=2 cos

=2 cos 【拓展提升】辅助角公式

asinα +bcosα =

sin(α +φ ).

(1)作用:将形如 asinα +bcosα (a,b 不同时为零)的三角函数式化为一个角的一种三角函数式,有利于

三角函数式的化简,更是研究三角函数性质的常用工具.

(2)记住形如 asinα +bcosα 的常用形式:

sinα ±cosα = sin



sinα ± cosα =2sin



sinα ±cosα =2sin

.

2.(2015·重庆高考)若 tanα =2tan ,则

A.1

B.2

C.3

【解析】选 C.

=

=

=( ) D.4 =

=

=

=



因为 tanα =2tan ,所以上式=

=3.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.已知 0<α < <β <π ,sinα = ,cos(α -β )= ,则β 的值为________.

【解析】因为 0<α < ,sinα = , 所以 cosα = ,

因为 cos(α -β )= ,又 <β <π ,

所以-π <-β <- ,α -β ∈(-π ,0),

所以 sin(α -β )=- , 所以 cosβ =cos[α -(α -β )] =cosα cos(α -β )+sinα sin(α -β )

=× +×

=- <0,所以β = .

答案: 4.在△ABC 中,3sinA-4sinB=6,4cosB+3cosA=1,则 C 的大小为__________. 【解题指南】根据题意,把已知的两等式两边平方后,左右相加,然后利用同角三角函数间的基本关系、 两角和的正弦公式及诱导公式化简后即可得到 sinC 的值,利用特殊角的三角函数值及角 C 的范围即可求 出 C 的度数. 【解析】因为 3sinA-4sinB=6,4cosB+3cosA=1, 两式平方相加,可得 9+16+24cos(A+B)=37,

所以 cos(A+B)= . 因为 A+B+C=π ,所以 cos(A+B)=-cosC, 则 cosC=- ,0°<C<180°,故 C=120°. 答案:120° 三、解答题

5.(10 分)若 sin

= ,cos

= ,且 0<α < <β < ,求 cos(α +β )的值.

【解析】因为 0<α < <β < ,所以 < +α <π ,- < -β <0,

又已知 sin

= ,cos

=,

所以 cos

=- ,sin

=- .

所以 cos(α +β )=sin =sin

=sin

cos

-cos

sin

= ×-

×

=- .

【补偿训练】已知 a=(cosα ,sinβ ),b=(cosβ ,sinα ),0<β <α < ,且 a·b= ,求证α = +β . 【证明】a·b=cosα cosβ +sinα sinβ =cos(α -β )= ,

又 0<β <α < ,所以 0<α -β < , 所以α -β = ,即α = +β .