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人教A版数学必修二1.3《空间几何体的表面积与体积》学案


数学必修 2 1.3 空间几何体的表面积与体积(练习) 学习目标 1. 会求空间几何体、简单组合体的面积和体积; 2. 能解决与空间几何体表面积、体积有关的综合问题; 3. 进一步体会把空间问题转化为平面问题的思想. 学习过程 一、课前准备 (复习教材 P23~ P28,找出疑惑之处) 复习 1:柱体、锥体、台体的表面积是如何求出来的?它们的体积公式有何联系?球的表面 积和体积只和什么变量有关? 复习 2:简单组合体的表 面积和体积怎么求? 二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 设圆台的上、下底面半径分别为 r ? , r ,母线长是 l ,圆台侧面展开后所得的扇环的圆 r ? r? 心角是 ? ,求证: ? ? ? 360 (度) l 小结:有关几何体侧面的问题,通常是把侧面展开为平面图形,然后在平面图形中寻求解决 途径. 变式:在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AB ? 5 , BC ? 4, BB1 ? 3 ,从 A 点出发,沿着 表面运动到 C1 ,则最短路线长是多少? 小结:求立体图形表面上两点的最短距离问题,是立体几何中的一个重要题型.解决这类问 题的关键是把图形展开(有时全部展开, 有时部分展开)为平面图形, 找出表示最短距离的线 段(通常利用两点之间直线最短). 例 2 若 E , F 是三棱柱 ABC ? A?B ?C ? 的侧棱 BB? 和 CC ? 上的点,且 B?E = CF ,三棱柱的体积为 m ,求四棱锥 A ? BEFC 的体积. 变式:正三棱台 ABC ? A?B ?C ? 中, 体积比为多少? A?B? 1 ? ,则三棱锥 A? ? ABC , B ? A?B?C , C ? A?B ?C ? 的 AB 2 小结:当直接求体积有困难时,可利用转化思想,分割几何体,借助体积公式和图形的性质 转化为其它等体积(等底等高或同底同高)的几何体,从而起到化难为易的作用. ※ 动手试试 练 1. 圆锥 SAB 的底面半径为 R ,母线长 SA ? 3R , D 为 SA 的中点,一个动点自底面圆周 上的 A 点沿圆锥侧面移动到 D ,求这点移动的最短距离. (在 ? ABC 中,边分别为 a , b, c , a 所对角为 ? ,则有 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos ? ) 练 2. 直三棱柱各侧棱和底面边长均为 a ,点 D 是 CC ? 上任意一点,连结 A?B 、 BD 、 A?D 、 AD , 则三棱锥 A — A?BD 的体积为多少? ( ) 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间问题可以转化为平面问题解决; 2. 最短距离的求法 ; 3 . 求体积困难时可采用分割的思想,化为底(面积)高相同的规则几何体求解. ※ 知识拓展 空间问题向平面的转化包括:圆锥、圆台中元素的关系问题,用轴截面来解决;空间几何 体表面上两点线路最短问题,用侧面展开图来解决;球的组合体中的切 、接问题,用过球 心的截面来解决. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在棱长为 1 的正方体上,分别用过顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱 锥后,剩下多面体的体积为( ). 2 7 4 5 A. B. C. D. 3 6 5 6 2. 已知球面上过 A, B, C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半,且 AB ? BC ? CA ?

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