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人教A版高一数学必修一《2.2.1对数与对数运算》精品课件_图文

2.2 对数函数

必修1 第二章

基本初等函数(I)

栏目导引

2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对 数

必修1 第二章

基本初等函数(I)

栏目导引

1.理解对数的概念. 2.掌握对数的基本性 质. 3.掌握对数式与指数 式的相互转化.

1.指数式与对数式的互 化.(重点) 2.对数的底数与真数的范 围.(易混点) 3.对数性质及对数恒等 式.(难点)

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基本初等函数(I)

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底数 ,b称为____ 指数, 1.在指数ab=N中,a称为_____ N称为幂,在引入了分数指数幂与无理数指数 幂之后,b的取值范围由初中时的限定为整数 实数 . 扩充到了_____ 1 ;a1=__ a ;对于任意 2.若a>0且a≠1,则a0=__ x∈R,ax>0. 4 4 3 = 64 ; (3)5 - 3 3 .填空: (1)3(__) = 81 ; (2)(__) 1 1 (___) -4 =____ 125 ;(4)2 =16.
必修1 第二章 基本初等函数(I)
栏目导引

1.对数的概念 条件 ax=N,且a>0,a≠1

结论

x 叫做以__ N 的对数,记作x a 为底__ __ =logaN

10 为底__ N 的对数,记作lg N 常用对数 以___ 自然对数 以e为底N的对数,记作ln N

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基本初等函数(I)

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2.对数与指数之间的关系 关系如下表:
表达形式 指数式 ax=N ______ 各名称的意义 a N x 底数 底数 幂值 真数 指数 对数

x=logaN 对数式 _________

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基本初等函数(I)

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3.对数的基本性质 性质1 性质2 性质3 负数和零没有对数

0 1的对数是__ 0 ,即loga1=__ (a>0且a≠1)
1 ,即logaa=1 底数的对数等于__

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1.如果a3=N(a>1且a≠1),则有( ) A.log3N=a B.log3a=N C.logNa=3 D.logaN=3 答案: D

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基本初等函数(I)

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1 2.方程 2log3x= 的解是( ) 4 1 x A.x= B.x= 9 3 C.x= 3 D.x=9
1 -2 解析: 由 2log3x= 得,2log3x=2 , 4 1 -2 ∴log3x=-2,∴x=3 = .故选 A. 9 答案: A

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3.方程log5(2x-3)=1的解x=________. 解析: 由log5(2x-3)=1得2x-3=5. ∴x=4. 答案: 4

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4.将下列指数式与对数式互化: 1 -8 5 (1)3 =243;(2)2 = ; 256 (3)log5125=3;(4)lg a=-1.5.

1 解析: (1)log3243=5;(2)log2 =-8; 256 - (3)53=125;(4)10 1.5=a.

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指数式与对数式的互化 将下列指数式与对数式互化: 1 (1)log327=3;(2)log 8=-3;(3)log 2x=5; 2 ?1? 1 -2 ? ?-2 4 (4)2 =16;(5)?3? =9;(6)2 = . 4 ? ?

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基本初等函数(I)

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由题目可获取以下主要信息:(1)、(2)、(3)是对 数式;(4)、(5)、(6)是指数式.,解答本题可以从 指数式与对数式的关系进行转化.

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基本初等函数(I)

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[ 解题过程 ] = x;

(1)3

3

?1? ?- 3 = 27; (2) ? ? ? = 8 ; (3)( ?2?

2)5

1 1 (4)log216=4;(5)log 9=-2;(6)log2 =-2. 3 4

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[题后感悟] (1)对数由指数而来.对数式 logaN=x是由指数式ax=N而来的,两式底数 相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的 值N,而对数值x是指数式中的幂指数.对数 式与指数式的关系如图所示.

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基本初等函数(I)

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(2)在指数式ab=N中,若已知a,N,求幂指数b, 便是对数运算b=logaN. (3)并非任何指数式都可以直接化为对数式,如 (-3)2=9就不能直接写成log-39,只有符合a>0 ,a≠1且N>0时,才有ax=N?x=logaN.

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基本初等函数(I)

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1.将下列对数式与指数式互化 1 (1)log 27=-3;(2)log 3x=6;(3)logx64=-6. 3 ?1? 1 -2 ? ?-2 4 (4)5 =625;(5)3 = ;(6)?4? =16. 9 ? ? ?1? -6 ?-3 6 解析: (1)? = 27.(2)( 3) = x .(3) x = 64. ? ? ?3? 1 1 (4)log5625=4;(5)log3 =-2;(6)log 16=-2. 9 4

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基本初等函数(I)

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对数概念的理解 求下列各式中 x 的范围. (1)log(2x-1)(x+2);(2)log(x2+1)(-3x+8).
注意到x既存在于底数中,又存在于真数 中,解答本题结合对数的概念,应考虑 其各自的要求解出x满足的条件.

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基本初等函数(I)

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[解题过程]

(1)因为真数大于 0,底数大于 0 ,

?x+2>0 ? 且不等于 1,所以?2x-1>0 ? ?2x-1≠1

1 解得 x> 且 x≠1. 2 即x
? ? ? ? 1 ? 的取值范围是?x|x>2且x≠1? ; ? ? ?

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(2)因为底数 x2+1>1,所以 x≠0; 8 又因为-3x+8>0,所以 x< , 3 8 综上可知 x< ,且 x≠0. 3 8 即 x 的取值范围是{x|x< 且 x≠0}. 3

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[题后感悟] (1)求解此类式子中参数的范围 时,应根据对数中对底数和真数的要求列出 不等式组解出即可. (2)在理解对数的概念时,需注意掌握: ①基本点:底数大于0且不等于1; ②简单应用:指数式与对数式的互化; ③对数性质的应用.

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基本初等函数(I)

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2.在 M=log(5-a)(a-2)中,求实数 a 的取值范围.
解析:
?5-a>0 ? ?5-a≠1 ? ?a-2>0

要使 log(5-a)(a-2)有意义,只须使

∴2<a<5 且 a≠4.

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基本初等函数(I)

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对数基本性质的应用 求下列各式中的 x 值 (1)log2(log5x)=0;(2)log2(lg x)=1.(3)log( +1)=x.

2-1)(

2

由题目可获取以下主要信息:(1)、(2)题对数的 值是特殊实数0和1;(3)题中底数和真数都含有 根式.解答本题可利用对数的基本性质求解.

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[解题过程] (1)由 log2(log5x)=0,得 log5x=20 =1, 故 x=51=5. (2)由 log2(lg x)=1, 得 lg x=2, 故 x=102=100. (3)∵log( 2-1)( 2+1)=x 1 -1 x ∴( 2-1) = 2+1= =( 2-1) 2-1 ∴x=-1.

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[题后感悟] 有关“底数”和“1”的对数,可 利用对数的性质求出其值“1”和“0”,化成常 数,有利于化简和计算.

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基本初等函数(I)

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3.求下列各式中的 x. 1 (1)log5(log2x)=0;(2)log3(ln x)=1;(3)log x= 2 -2.
解析: (1)由 log5(log2x)=0,得 log2x=1,∴x =21=2. (2)由 log3(ln x)=1 得 ln x=3;∴x=e3. ?1? 1 ? ?-2 (3)由 log x=-2 得 x=?2? =4. 2 ? ?

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对数恒等式的应用 求值: (1)31+log35;(2)10lg 3+lg 4;(3)blogba· alogac
由题目可获取以下主要信息:①指数中含有 对数值.②底数与指数式的底数相同.解答本题 可使用对数恒等式alogaN=N来化简求值.

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[解题过程] (1)原式=3· 3log3 5=3· 5=15. (2)原式=10lg 3· 10lg 4=3· 4=12. (3)原式=a· c

[题后感悟] 式
N aloga =N

要牢记对数恒等式, 对于对数恒等 要注意格式:①它们是同底的;②

指数中含有对数形式;③其值为对数的真数.

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4.求值: 1 (1)23-log23;(2)e ;(3)3log3 5+ 3log3 . 5 8 3 3 解析: (1)原式=2 ÷ 2log2=8÷ 3= . 3 (2)原式=eln 2· eln 5=2· 5=10. 1 1 5 (3)∵3log3 5= 5,( 3)log3 = = , 5 5 5 5 6 ∴原式= 5+ = 5. 5 5
ln 2+ln 5

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1.准确理解对数概念 对数符号 logaN 只有在 a>0,a≠1 且 N>0 时才 有意义,这是因为: (1)若 a<0,则 N 取某些数值时,x 不存在,为 此规定 a 不能小于 0. (2)若 a=0, ?N≠0时,logaN不存在 则? . ?N=0时,则logaN有无数个值,不能确定 因此,规定 a≠0.
必修1 第二章 基本初等函数(I)
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(3)若 a=1, ?N≠1时,则logaN不存在 则? . ?N=1时,则logaN有无数个值,不能确定 因此,规定 a≠1. (4)由于正数的任何次幂都是正数, 即 ax>0,因此 N>0.

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2.准确认识指数式与对数式的关系 (1)在关系式ax=N中,已知a和x求N的运算称 为求幂运算;而如果已知a和N,求x,就是对 数运算.两个式子实质相同而形式不同,互为 逆运算. (2)并非任何指数式都可以直接化为对数式, 如(-3)2=9就不能直接写成log-39,只有符合 a>0,a≠1且N>0时,才有ax=N?x=logaN.

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◎求log(1-2x)(3x+2)中的x的取值范围.

【错解】 2 ∴x>- . 3

∵对数的真数大于 0,∴3x+2>0,

【错因】 本题错解的原因是忽视对数底数的 限制范围. 底数1-2x需大于零且不等于1.

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【正解】
?1-2x>0 ? ?1-2x≠1 ? ?3x+2>0

由题意得
? ?x<1 ? 2 ? ??x≠0 ? 2 ? x>- ? 3 ? ? 2 1 ?- <x< . 2 ?? 3 ? ?x≠0

所以 x

? ? ? ? 2 1 ? 的取值范围是?x|-3<x<2且x≠0? . ? ? ?

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