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中学数学不等式证明方法


中学不等式证明方法探究
摘 要

不等式,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题 体现了一定的综合性、灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作 用。在解决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案, 最终归结为不等式的求解或证明。 而不等式的证明, 方法灵活多样, 还和很多内容结合, 它既是中学数学教学中的难点,也是数学竞赛培训的难点,近年也演变为竞赛命题的热 点,因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧,而且证明 过程千姿百态,极易出错,因此,有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与 大家一起分享交流。本文通过对不等式的进一步研究,同时在前人的基础上对不等式的 证明方法进行再探讨,得出了几点新方法,再有就是对于一些题目,很多人都是用一些 常用的方法来解决,而笔者则是通过另外的一种方法来解,并且解题过程相对简单,在 正文的例题当中,我用方法二给出了我的证明过程,以飨读者。 关键词:不等式;证明方法;证明技巧;换元法;微分法

证明不等式的方法灵活多样, 内容丰富、 技巧性较强要依据题设、 题断的结构特点、 内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤, 技巧和语言特点.在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系, 选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的 不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手,经过一系 列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因”,后者是“由因导果”,为沟通联 系的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的. 通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解 析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问 题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素 质及创新意识. 1、比较法 比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是最常用的的方法,基本不等式就是用比 较法证明的。其难点在第二步的“变形”上,变形的目的是有利于第三步判断,求差比 较法变形的方向主要是分解因式、配方。 1)作差比较法的理论依据有:
a ? b ? a ? b ? 0, a ? b ? a ? b ? 0, a ? b ? a ? b ? 0.

2)作商比较法的理论依据有: a b ? 0, a ? b ? ? 1. b 3)作差(商)比较法的步骤: 作差(商) ?变形 ?判断符号(与 1 的大小) 例 1:求证: 1 ? 2 x 4 ? 2 x 3 ? x 2 证明:法一:? (1 ? 2x 4 ) ? (2x 3 ? x 2 )
? 2 x 3 ( x ? 1) ? ( x ? 1)(x ? 1) ? ( x ? 1)(2 x 3 ? x ? 1) ? ( x ? 1)(2 x 3 ? 2 x ? x ? 1) ? ( x ? 1) 2 (2 x 2 ? 2 x ? 1) 1 1 ? ( x ? 1) 2 [2( x ? ) 2 ? ] ? 0 2 2 4 3 2 ?1 ? 2 x ? 2 x ? x

法二: 1 ? 2x 4 ? (2x 3 ? x 2 )

? x 4 ? 2x3 ? x 2 ? x 4 ? 2x 2 ? 1 ? ( x 2 ? x) 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? 0 ?1 ? 2 x 4 ? 2 x 3 ? x 2
说明: 法一的变形主要是因式分解, 其难点在于分解 2 x 3 ? x ? 1的因式, 判断 2 x 2 ? 2 x ? 1 的符号除用配方法外,还可用判别式法(此法我们后面再述) 。证法二的变形主要是配 方法,难点在于拆项,此法笔者又将其归纳为裂项法。通过本例,可以了解求差比较法 的全貌,以及关键的第二步变形。 例 2:已知 a ? 1, ? ? 0 ,求证: loga (a ? ? ) ? log( a?? ) (a ? 2? ) 证明:?

log( a ?? ) (a ? 2? ) loga (a ? ? )
?[ ?[

? log( a ?? ) (a ? 2? ) ? log( a?? ) a
]2 ? [ log( a ? ? ) a (a ? 2? ) 2
2

log( a ? ? ) (a ? 2? ) ? log( a ? ? ) a 2 log( a ? ? ) (a ? 2a? )
2

]2

]2 ? 1 2 又 loga (a ? ? ) ? 0,? log( a ? ? ) (a ? 2? ) ? loga (a ? ? ). 2

]2 ? [

log( a ? ? ) (a ? ? )

说明:观察不等式的特点, a ? ? 充当了真数和底,联想到 loga N ?

1 ,进而用了 logN a

作商比较法,作商比较法的变形主要是利用某些运算性质和性质,如函数的单调性等, 我们再看: 例 3:若 a ? b ? c ? 0 ,求证: (1) a a b b ? b a a b (2) a 2a b 2b c 2c ? a b?c b a ?c c a ?b
a abb a 证明: (1)? a ? b ? c ? 0 , a b ? ( ) a ?b b b a

又 a ? b ? 0,?

a ? 1, a ? b ? 0 b

a a abb ? ( ) a ?b ? 1,即 b a ? 1, 又 ? a b b a ? 0 b a b a b b a ?a b ? a b

(2)由(1)的结果,有

a a bb ? a b b a ? 0, bb c c ? b c c b ? 0, c c a a ? c a a c ? 0
两边分别相乘得

a abb ? bb c c ? c c a a ? a bb a ? bc cb ? c a a c ? a 2 a b 2b c 2 c ? a b ? c b a ? c c a ?b
2、综合法 利用某些证明过的不等式作为基础,再运用不等式的性质,推导出所求证的不等式,这 种证明方法叫做综合法,综合法的思考路线是“由因导果” 。 例 4: (1)已知 a, b, c为不全相等的正数,求 证: b?c?a c?a?b a?b?c ? ? ?3 a b c (2)已知 a, b, c为不相等正数,且 abc ? 1 ,
1 1 1 ? ? a b c b a c b a c 证明: (1)证法一: 左式 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 a b b c c a

求证: a ? b ? c ?

? a, b, c为不全相等的正数 ? b a b a ? ?2 ? ?2 a b a b c b c a 同理: ? ? 2, ? ? 2 b c a c
得证;

且上面三个等号不能同时成立, b a c b a c ? ( ? )?( ? )?( ? )?3 ? 6?3 ? 3 a b b c c a a?b?c a?b?c a?b?c ? 2) ? ( ? 2) ? ( ? 2) 证法二: 左式 ? ( a b c

1 1 1 ? (a ? b ? c)( ? ? ) ? 6 a b c ? a, b, c为不全等正数 1 1 1 1 ? (a ? b ? c)( ? ? ) ? 6 ? 33 abc ? 33 ?6 a b c abc ?9?6 ?3
得证。

abc ? 1 (2)证法一:? a, b, c为不等正数,且
? a? b? c? 1 1 1 ? ? bc ca ab 1 1 1 1 1 1 ? ? ? b c c a a b ? 1?1?1 ? ? ? 2 2 2 a b c

abc ? 1 证法二:? a, b, c为不正数,且

1 1 1 ab ? ac ab ? bc ac ? bc ? ? ? ? bc ? ac ? ab ? ? ? a b c 2 2 2 ? a 2 bc ? ab2 c ? abc2 ? a ? b ? c
得证。 说明: (1)题两种方法的差别主要在于对不等式左边施行不同的恒等变形,其目的都是 为了有效地利用基本不等式,灵活地运用均值不等式,这也是综合法证明不等式的主要 技巧之一; (2)题是条件不等式的证明,要找出条件与结论之间的内在联系,分析已知与求证, 不等式左边与右边的差异与联系,去异求存同,找到证题的切入口,本题合理运用条件
abc ? 1 的不同变形。

3、分析法 从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转 化为判断这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可判定所 求证的不等式成立,这种证明方法叫做分析法,分析法的思路是“执果索因” 。 1 1 1 例 5:已知函数 f ( x) ? lg( ? 1), x ? (0, ) ,若 x1 , x 2 ? (0, )且x1 ? x 2 . x 2 2
x ?x 1 求证: [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f ( 1 2 ) 2 2

证明:要证原不等式成立,只需证明 ( 事实上,? 0 ? x1 x 2 ?
?( ?
1 , x1 ? x 2 2

1 1 2 ? 1)( ? 1) ? ( ? 1) 2 x1 x2 x1 ? x2

1 1 2 ? 1)( ? 1) ? ( ? 1) 2 x1 x2 x1 ? x 2

1 1 1 4 4 ? ? ? ? 2 x1 x 2 x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

( x1 ? x 2 ) 2 (1 ? x1 x 2 ) ? ?0 x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) 2 即是( ? lg[( 1 1 2 ? 1)( ? 1) ? ( ? 1) 2 x1 x2 x1 ? x 2 1 1 2 ? 1)( ? 1)] ? lg( ? 1) 2 x1 x2 x1 ? x 2

x ? x2 1 故 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f ( 1 ) 2 2

得证。 4、换元法

换元法是数学中的一个基本方法。 在不等式的证明过程中, 按照所证不等式的结构特点, 将不等式中的变量作适当的代换, 可使不等式的结构明朗, 从而使不等式变得容易证明, 这种方法称为换元法。换元法的目的是把合命题化简、化熟,把复杂的、不熟悉的命题 化为简单的、熟悉的命题。 换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用,有些问题直接证 明较为困难,但若通过换元法的思想与方法来解就很方便,换元法多用于条件不等式的 证明中,一般有增量换元、三角换元、和差换元、向量换元、利用对称性换元、借助几 何图形换元等几种方法。 1)增量换元 对对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序的不等式,常用增量换元, 换元的目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简。 1 1 4 ? ? . 例 6:已知 a ? b ? c, 求证: a?b b?c a?c 分析:考虑到 a ? c ? (a ? b) ? (b ? c) ,由此可以令 x ? a ? b ? 0, y ? b ? c ? 0, 这时问题转
1 1 4 化为“ 若x, y ? 0, 证明 ? ? ” 。 x y x? y

证明:令 x ? a ? b ? 0, y ? b ? c ? 0, a ? c ? x ? y ,下面只要证明:

1 1 4 ? ? 即可。 x y x? y

1 1 y x y x ? x, y ? 0,? ( ? )(x ? y) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 4(当且仅当 ? ,即x ? y,2b ? a ? c取等号) x y x y x y 1 1 4 1 1 4 ? ? ? ,即 ? ? 成立。 x y x? y a ?b b?c a ?c

例 7:若 a ? b ? 0, 求证:2ab ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? a. 分析:如何利用已知不等式 a ? b ? 0 是证明本题的关键, 因为 a ? b ? 0 ? a ? b ? a ? b ? h(h ? 0) ? a ? b ? h(h ? 0) , 这样可把已知的不等式关系 换成相等关系。 证明:? a ? b ? 0, 设a ? b ? h(h ? 0),
则 2ab ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? 2b(b ? h) ? b 2 ? (b ? h) 2 ? b 2 ? b 2 ? 2nh ? h 2 ? 2bh ? b ? h ? a ? 2ab ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? a.

得证。

2)三角换元 三角换元就是根据已知的一些三角等式、三角代换来解决题目中的某些问题,如,问题 中 若 已 知

x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0,??)),可设x ? a c ? o, y s ? as ? i

; n







x 2 ? y 2 ? 1, 可设x ? r c ? o, y s ? rs ? i ( rn? 1) ;若已知

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 或 ? ? 1, 则条件可 a2 b2 a2 b2

? x ? a cos? , ? x ? a sec? , 设? 其中 ? 的范围取决于 x, y 的取值范围,等等。 或? ? y ? a sin ? ; ? y ? tan? ,
例 8:已知 a, b, c, d都是实数,且 a 2 ? b 2 ? 1, c 2 ? d 2 ? 1, 求证: ac ? bd ? 1. 分析:由 a 2 ? b 2 ? 1, c 2 ? d 2 ? 1,可以联想到 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 的关系作三角代换。 证明:? a 2 ? b 2 ? 1, c 2 ? d 2 ? 1, 所以可设a ? sin ? , b ? cos? , c ? sin ? , d ? cos? ,

? ac ? bd ? s i n ?s i n ? ?c o? s co? s ? cos ?(? ? ) , 又? cos(? ? ? ) ? 1,? ac ? bd ? 1,即原不等式成立。
3)和差换元
a ? b a 2 ? b 2 a3 ? b 3 a 6 ? b 6 ? ? ? . 例 9:对任意实数 a, b, 求证: 2 2 2 2

分 析 : 对 于 任 意 实 数 a与 b , 都 有 a ?
s? a?b a ?b ,t ? , 则有 a ? s ? t , b ? s ? t 。 2 2

a?b a?b a?b a?b ? ,b ? ? , 令 2 2 2 2

证明:设 a ? s ? t , b ? s ? t ,下面只需证

s(s 2 ? t 2 )(s 3 ? 3st 2 ) ? s 6 ? 15s 4t 2 ? 15s 2t 4 ? t 6 .

? 右边 ? 左边 ? 11s 4 t 2 ? 12s 2 t 4 ? t 6 ? 0, ? s( s 2 ? t 2 )(s 3 ? 3st 2 ) ? s 6 ? 15s 4 t 2 ? 15s 2 t 4 ? t 6 , a ? b a 2 ? b 2 a3 ? b3 a 6 ? b6 ? ? ? . 2 2 2 2 得证。 4)向量换元 即
例 10:已知 a, b ? R ? , a ? b ? 1, 求证:2a ? 1 ? 2b ? 1 ? 2 2. 分析:将不等式变形为 1? 2a ? 1 ? 1? 2b ? 1 ? 2 ? 2a ? 1 ? 2b ? 1 ,观察其结构我们可 联想到学习两个向量的内积是有这样一个性质: a ? b ? a ? b 及a ? b ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 。

证明:设 m ? (1,1), n ? ( 2a ? 1, 2b ? 1) , 则有 m ? n ? 2a ? 1 ? 2b ? 1, m ? 2 , n ? 2a ? 1 ? 2b ? 1

? a ? b ? 1,? n ? 2,由 性 质 m? n ? m ? n, 得 2a ? 1 ? 2a ? 1 ? 2 2. 5)利用对称性换元
例 11:设 a, b, c ? R ? , 求证:abc ? (b ? c ? a)(c ? a ? b)(a ? b ? c). 分 析 : 经 过 观 察 , 我 们 发 现 , 把 a, b, c 中 的 两 个 互 换 , 不 等 式 不 变 , 则 可 令

x ? b ? c ? a, y ? c ? a ? b, z ? a ? b ? c, 则原不等式可化为: ( x ? y)( y ? z)(z ? x) ? 8xyz.
证明:令 x ? b ? c ? a, y ? c ? a ? b, z ? a ? b ? c

1 1 1 ( y ? z ), b ? ( x ? z ), c ? ( x ? y ) 2 2 2 ? ? a, b, c ? R ,?当xyz ? 0时,有 ( x ? y )( y ? z )(z ? x) ? 8 xyz. 则a ?
当 xyz ? 0 时, 有 x, y, z ? R ? (否则 x, y, z 中必有两个不为正值, 不妨设 x ? 0, y ? 0 则 c ? 0 , 这与 c ? 0 矛盾) 因此: x ? y ? 2 xy ? 0, y ? z ? 2 yz ? 0, z ? x ? 2 zx ? 0 则有: ( x ? y)( y ? z)(z ? x) ? 8xyz 综上,恒有 ( x ? y)( y ? z)(z ? x) ? 8xyz , 把 x, y, z 的值代人上式得: abc ? (b ? c ? a)(c ? a ? b)(a ? b ? c).得证。 6)借助几何图形换元 例 12:已知 a, b, c 是 ?ABC 三边的长,求证: a 3b ? b 3 c ? c 3 a ? a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 . 分析:如图,作 ?ABC的内切圆,设 D, E, F为切点 ,令 x ? BD, y ? CD, z ? AE. (其中 ,则原不等式可转化为: x, y, z ? R ? )

(

y2 z2 x2 ? z ) ? ( ? x) ? ( ? y ) ? 2 x ? 2 y ? 2 z z x y

(1)

再利用均值不等式: a ? b ? 2 ab 。

证明:设 D, E, F 为切点,令 x ? BD, y ? CD, z ? AE. 则原不等式可化为(1)的形式,又 因为 x, y, z ? R ? ,则有, 等式成立。得证。 7)代数换元 例 13:已知 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1, 求证:3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 ? 3 2. 分析:引入参数,配凑成二次方程转化为二次不等式 证明:设 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 ? k. 则可令 3a ? 1 ?
k k k ? t1 , 3b ? 1 ? ? t 2 , 3c ? 1 ? ? t 3 , 其中 t1 ? t 2 ? t 3 ? 0. 3 3 3

y2 z2 x2 ? z ? 2 y, ? x ? 2 z, ? y ? 2 x. 所以(1)式成立,故原不 z x y

k k k 所以 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 ? ( ? t1 ) 2 ? ( ?t 2 ) 2 ? ( ? t 3 ) 2 3 3 3

k2 2 k2 2 2 2 2 2 2 ? k (t1 ? t 2 ? t 3 ) ? t1 ? t 2 ? t 3 ? ? (t1 ? t 2 ? t 3 ) 即6 ? 3 3 3

所以 6 ?

k2 ,解得 3

k ? 3 2 ,即 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 ? 3 2 。得证。
8)分式换元

1 2 例 14:设 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1, 求证: ? ? 3 ? 2 2 x y
分析:因为 x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0, 所以用分式换元,转化为均值不等式证明。 证明:设 x ?
a b ,y ? (a ? 0, b ? 0) ,则 a?b a?b

1 2 a ? b 2(a ? b) b 2a ? ? ? ? 3? ? ? 3? 2 2 , x y a b a b



1 2 ? ? 3? 2 2 x y

9)比值换元法

对于在已知条件中含有若干个等比式的问题,往往可先设一个辅助未知数表示这个比 值,然后代入求证式即可。 例 15:已知 x ? 1 ? y ? 2 ? z ? 4, 求证:x 2 ? y 2 ? z 2 ? 10. 证明:设 x ? 1 ? y ? 2 ? z ? 4 ? k , 于是 x ? k ? 1, y ? k ? 2, z ? k ? 4 把 x, y, z 代入 x 2 ? y 2 ? z 2 得: 3k 2 ? 6k ? 13 ? 3(k 2 ? 2k ? 1) ? 10 ? 3(k ? 1) 2 ? 10 ? 10 。 得证。 5、放缩法 为了证明不等式,有时需舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的 传递性达到证题的目的,这种方法称为放缩法,放缩时主要方法有: 1 3 1 1)舍去或加上一些项,如: (a ? ) 2 ? ? (a ? ) 2 . 2 4 2 2)将分子或分母放大(缩小) ,如:
1 1 1 1 1 ? , 2 ? , ? 2 k (k ? 1) k k (k ? 1) k k 2 k ? k ?1 , 1 k ? 2 k ? k ?1 .(k ? N , k ? 1).

例 16:设 an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ?? n(n ? 1).(n ? N ). 求证:

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? . 2 2

证明: an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ?? n(n ? 1) ? 1?1 ? 2 ? 2 ? ? n ? n
n(n ? 1) . 2 k ? (k ? 1) .(k ? N ). 又? k ? k ? 1,? k (k ? 1) ? 2 ? 1? 2 ??? n ?

? a n ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ? n 2 ? 2n (n ? 1) 2 ? 2 2 n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? ? an ? 。得证。 2 2 ?

1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) ? ??? 2 2 2

说明:在使用放缩法时,需要注意的是放缩要适度,不能放得过大或太小。 6、反证法 反证法就是从否定结论出发,通过逻辑推理,导出矛盾,从而肯定原命题成立,反证法 必须考虑各种与原命题相异的结论,缺少任何一个可能都是不完全的,如,要证不等式
A ? B ,先假设 A ? B ,根据题设及其他性质推出矛盾,从而肯定 A ? B 成立。

1 f (1) , f (2) , f (3) 不全小于 . 例 17:已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? b, 求证: 2 1 1 1 1 证明:假设 f (1) , f (2) , f (3) 全小于 ,即 f (1) ? , f (2) ? , f (3) ? , 2 2 2 2

由于 f (1) ? 1 ? a ? b, f (2) ? 4 ? 2a ? b, f (3) ? 9 ? 3a ? b,

? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2 ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2.
另一方面:由假设得
f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? f (1) ? f (3) ? 2 f (2) ? 1 1 1 ? ? 2? ? 2 2 2 2

显然, 2 ? 2 是错误的 故 f (1) , f (2) , f (3) 不全小于
1 。得证。 2

说明:对于存在、不都是、至少(多) 、不全小(大) 、某个(反面:任意的)等问题, 通常从正面难寻突破口,可变换角度,巧用反证法往往会见奇效。 7、判别式法 如果所要证明的不等式可转化为形如: y ?

a2 x 2 ? b2 x ? c2 的函数值域 ( x ? R) ,或转化 a1 x 2 ? b1 x ? c1

为一元二次方程有实数根等问题,则可用判别式法达到证题目的。 1 2 例 18: 若 x, y, z ? R, 且x ? y ? z ? a, 用x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 (a ? 0) 求证 x, y, z 都是不大于 a 2 3 的非负数。 1 证明:由 z ? a ? x ? y, 代入 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 ,可得 2

1 2 x 2 ? 2(a ? y ) x ? y 2 ? (a ? y ) 2 ? a 2 ? 0 2 1 ? x ? R, ? ? ? 0,即4(a ? y ) 2 ? 8[ y 2 ? (a ? y ) 2 ? a 2 ] ? 0 2 2 化简得3 y ? 2ay ? 0, ? a ? 0, ?0 ? y ? 2 a 3 2 2 同理可得: 0 ? x ? a, 0 ? z ? a。得证。 3 3

8、构造法 有些不等式可构造函数利用函数性质,或构造复数利用复数向量有关性质,或构造几何 图形利用集合知识,还可以构造数列利用数列相关性质来证明不等式。 1)利用函数的单调性

例 19:求证:

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

.
x .( x ? 0) 的 形 式 , 因 此 可 考 虑 函 数 1? x

分 析 : 由 不 等 号 两 边 形 式 可 归 纳 为 f ( x) ?
f ( x) ? x 在 x ? 0 时的单调性。 1? x

证明:构造函数 f ( x ) ?

x x x1 ? x2 x ,设 0 ? x1 ? x2 ,? 1 ? 2 ? ?0 1? x 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

? f ( x) 在 x ? 0 上是增函数,且 a ? b ? a ? b

令 x1 ? a ? b , x2 ? a ? b ,则有

a?b 1? a ? b

?

a?b 1? a ? b

?

a 1? a ? b

?

b 1? a ? b

?

a 1? a ?

?

b 1? ? b

.

得证。

2)构造复数利用复数向量有关性质 例 20:求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 .(a与c,b与d不同时相等 ) 证明:设 z1 ? a ? bi,z 2 ? c ? di,那么z1 ? z 2 ? (a ? c) ? (b ? d )i
z2 ? c 2 ? d 2 由于 z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ,而 z1 ? a 2 ? b 2 ,

则 z1 ? z 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2
? 有 (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 . 得证。

9、用微分法证明不等式 微分在中学时又称为求导,用微分法其实就是用求导的方法来解决问题。 例 21:设函数 f ( x) ? a1 sin x ? a2 sin 2x ? ? ? an sin nx, 其中a1 , a2 ,?, an都为实数, n 为正 整数。已知对于一切实数 x ,有 f ( x) ? sin x ,试证: a1 ? 2a2 ? ? ? nan ? 1. 分析:问题中的条件与结论不属于一类型的函数,如果能找出它们之间的关系,无疑能 帮助解决此题,可以看出: a1 ? 2a2 ? ? ? nan ? f / (0). 于是问题就转化为求证: f / (0) ? 1. 证明:因 f / ( x) ? a1 cos x ? 2a2 cos2x ? ? ? nan cosnx. 则 f / (0) ? a1 ? 2a2 ? ? ? nan . 利用导数的定义得:

f / (0) ?

lim
x ?0

f ( x) ? f (0) ? x?0

lim
x ?0

f ( x) f ( x) ? lim x x x ?0 sin x ? 1, x

由于 f ( x) ? sin x, 所以 f / (0) ? lim
x ?0

即 a1 ? 2a2 ? ? ? nan ? 1. 得证。


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