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上海市四区联考(静杨青宝)2013届高三数学二模试卷(含答案,文科)


2012 学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试

数学试卷(文科)
(满分 150 分,答题时间 120 分钟)

2013.04.

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ,则 CU A ? 2.若复数 z 满足 z ? i (2 ? z ) ( i 是虚数单位) ,则 z ? 3.已知直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角大小是 ? ,则 tan 2? ? 4.若关于 x、 y 的二元一次方程组 ? 是 . . .

?

?

.

?m x ? y ? 3 ? 0 有唯一一组解,则实数 m 的取值范围 ?(2m ? 1) x ? y ? 4 ? 0

5. 已知函数 y ? f (x) 和函数 y ? log2 ( x ? 1) 的图像关于直线 x ? y ? 0 对称, 则函数 y ? f (x) 的解析式为 .

6.已知双曲线的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 3
. 开始 输入 p n=1 S=0

.

7.函数 f ( x) ?

cos x sin x 的最小正周期 T ? sin x cos x

?x ? 1 ? 8.若 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值 ?x ? y ? 6 ?
为 .

n=n+1 S=S+2?n n<p?
否 是

9.执行如图所示的程序框图,若输入 p 的值是 7 ,则输出 S 的值 是 .

输出 S 结 束 (第 9 题图)

10. 已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm , 如果圆锥的体积恰好 也与球的体积相等,那么这个圆锥的母线长为
1/4

cm .

11.某中学在高一年级开设了 4 门选修课,每名学生必须参加这 4 门选修课中的一门,对于该年 级的甲乙 2 名学生,这 2 名学生选择的选修课相同的概率是 示). 12.各项为正数的无穷等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 lim 围是 . (结果用最简分数表

Sn ? 1 , 则其公比 q 的取值范 n ?? S n ?1

13.已知函数 f ( x) ? x x .当 x ? ?a, a ? 1? 时,不等式 f ( x ? 2a) ? 4 f ( x) 恒成立,则实数 a 的 取值范围是 .

14.函数 y ? f (x) 的定义域为 ?? 1,0? ? ?0,1?,其图像上任一点 P( x, y) 满足 x 2 ? y 2 ? 1 . ①函数 y ? f (x) 一定是偶函数; ②函数 y ? f (x) 可能既不是偶函数,也不是奇函数; ③函数 y ? f (x) 可以是奇函数; ④函数 y ? f (x) 如果是偶函数,则值域是 ?0,1? 或 ?? 1,0? ; ⑤函数 y ? f (x) 值域是 ?? 1,1? ,则 y ? f (x) 一定是奇函数. 其中正确命题的序号是 (填上所有正确的序号) .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案 纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 ? ? ( (A)

?
2

, ? ) , sin ? ?
(B) ?

3 ? ,则 tan(? ? ) 的值等于………………………( 5 4
(C) 7 . (D) ? 7 .



1 . 7

1 . 7

16.一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是 1 的正方形,俯 视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形,则这个几何体的表面积等 于 ………………………………………………( )

(A) 2 ? (D) 6 .

2.

(B) 3 ?

2.

(C) 4 ?

2.

2/4

17. 若直线 ax ? by ? 2 通过点 M (cos? , sin ? ) ,则 ………………………………( (A) a 2 ? b 2 ? 4 . (C) (B) a 2 ? b 2 ? 4 . (D)



1 1 ? 2 ?4 . 2 a b

1 1 ? 2 ? 4. 2 a b

D

C P

F

2 2 18.某同学为了研究函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? x) (0 ? x ? 1) 的

性质, 构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC , P 点 是边 BC 上的一个动点,设 CP ? x ,则 f ( x) ? AP ? PF .那么,可 推知方程 f ( x) ? (A) 0 .

A

B

E

22 解的个数是………………………………………………………( 2
(B) 1 . (C) 2 . (D) 4 .



三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . 如图,设计一个正四棱锥形冷水塔,高是 0.85 米,底面的边长是 1.5 米. (1)求这个正四棱锥形冷水塔的容积; (2)制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板? (精确到 0.01 米 2)
S

0.85

O E 1.5

(第 19 题图) 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 如图所示,扇形 AOB ,圆心角 AOB 的大小等于 过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P . (1)若 C 是 OA 的中点,求 PC ; (2)设 ?COP ? ? ,求△ POC 周长的最大值及此时 ? 的值. 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
3/4

? ,半径为 2 ,在半径 OA 上有一动点 C , 3

x2 y2 ? 1. 已知椭圆 ?: ? 12 4
C (1) 直线 AB 过椭圆 ? 的中心交椭圆于 A、B 两点, 是它的右顶点, 当直线 AB 的斜率为1 时,
求△ ABC 的面积; (2) 设直线 l:y ? kx ? 2 与椭圆 ? 交于 P、Q 两点, 且线段 PQ 的垂直平分线过椭圆 ? 与 y 轴 负半轴的交点 D ,求实数 k 的值. 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满 分 6 分. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a . (1)若函数 y ? f ( f ( x)) 的图像过原点,求 f (x) 的解析式; (2)若 F ( x ) ? f ( x) ?

2 是偶函数,在定义域上 F ( x) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; bx ? 1

(3)当 a ? 1 时,令 ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ,问是否存在实数 ? ,使 ? (x) 在 ?? ?,?1? 上是减 函数,在 ?? 1,0? 上是增函数?如果存在,求出 ? 的值;如果不存在,请说明理由. 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满 分 8 分. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 2 , na n ?1 ? S n ?

n(n ? 1) .从 {an } 中抽出部分项 3

ak1 , ak2 ,?, akn ,?, (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的数列 {a kn } 是等比数列,设该等比数列的公
比为 q ,其中 k1 ? 1, n ? N .
*

(1)求 a2 的值; (2)当 q 取最小时,求 {k n } 的通项公式; (3)求 k1 ? k 2 ? ? ? k n 的值.

4/4

四区联考 2012 学年度第二学期高三数学(文理)
参考答案及评分标准 说明 1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评 分标准的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评 阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题的 内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数 之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. [?1,3] ; 2. 2 ; 3. 2013.04

4 ; 3

4. m ?

1 ; 3

5. y ? 2 x ? 1 ;

6.1 ;

1 C4 1 P43 3 63 7. (文、理)? ;8. (文)4(理)5 ;9. ;10. 17 ;11. (文) 2 ? (理) 3 ? ; 64 4 8 4 4

12. ?0,1? ;13. (文) (1, ??) (理)

4 3 ;14. (文)②③⑤(理) (17,25) . ② 3

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. D ; 16. (文)B (理)A ; 17. B ;18. (文)C(理)A

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 .
5/4

(文)解: (1)如图正四棱锥底面的边长是 1.5 米,高是 0.85 米

S

V ?

1 1 sh ? ? 1.5 ? 1.5 ? 0.85 ? 0.6375 m 3 3 3
O

0.85

m 所以这个四棱锥冷水塔的容积是 0.6375 .
(2)如图,取底面边长的中点 E ,连接 SE ,

3

E 1.5

SE ? SO2 ? EO2 ? 0.852 ? 0.752
1 S 侧 ? 4 ? ? 1.5 ? SE 2 1 ? 4 ? ? 1.5 ? 0.85 2 ? 0.75 2 ? 3.40 m 2 2

答:制造这个水塔的侧面需要 3.40 平方米钢板. (理)

19. (理)解法一:建立坐标系如图 (1) 平面 B1BCC1 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0) 因为 E (2,1,2) C (0,2,0) ,?EC ? (?2,1,?2) , 可知直线 EC 的一个方向向量为?d ? (?2,1,?2) . 设直线 EC 与平面 B1 BCC1 成角为 ? , d 与 n1 所成角为 ? ,则

sin ? ? cos? ?

n1 ? d n1 d

?

1 9 ?1

?

1 3

6/4

故EC 与平面 B1 BCC1成角大小为 arcsin

1 3

19 1) ( 解法二: 1 ? 平面 B1BCC1 , B1C 为 EC 在平面 B1BCC1 内的射影, ?ECB1 即 故 EB 为直线 EC 与平面 B1 BCC1 所成角, 在 Rt?EB1C 中, EB1 ? 1, B1C ? 2 2 , 故 tan?ECB1 ?

EB1 1 2 ? ? B1C 2 2 4

故EC与平面B1BCC1成角大小为arctan
19(2) (理科)

2 4

解法一:建立坐标系如图.平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) 设平面 AEF 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,因为 AF ? (?2,1,0) , AE ? (0,1,2) 所以 ?

?? 2 x ? y ? 0 ,令 x ? 1 ,则 y ? 2, z ? ?1 ? n2 ? (1,2,?1) ? y ? 2z ? 0
n1 ? n2 n1 n2 ? ?1 1? 4 ?1 ? 6 6
6 . 6

cos? ?

由图知二面角 E ? AF ? B 为锐二面角,故其大小为 arccos

19(2)解法二:过 E 作平面 ABC 的垂线,垂足为 E ? , ?EGE ? 即为所求

E ? ? AB ,过 E ? 作 AF 的垂线设垂足为 G , ?ADF ∽ ?AGE

G ?E AD GE ? 2 2 ? ? ? 即 GE ? ? AE ? AF 1 5 5
在 Rt?EE ?Q 中 tan ?EG E ? ?

EE ? ? 5 GE ?

7/4

所以二面角 E ? AF ? B 的大小为 arctan 5 . 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

2? , OP ? 2, OC ? 1 3 2? 2 2 2 由 OP ? OC ? PC ? 2OC ? PC cos 3
解:(1)在△ POC 中, ?OCP ?

? 1 ? 13 . 2 ? (2)∵ CP ∥ OB ,∴ ?CPO ? ?POB ? ? ? , 3
得 PC ? PC ? 3 ? 0 ,解得 PC ?
2

在△ POC 中,由正弦定理得

2 CP OP CP ? ? ,即 2? sin ? sin ?PCO sin ? sin 3 ? CP 4 ? ?OC ? sin( ? ? ) . 2? 3 3 sin 3

∴ CP ?

4 3

sin ? ,又

OC sin(

?
3

??)

(文)记△ POC 的周长为 C (? ) ,则

C (? ) ? CP ? OC ? 2 ?

4 3

sin ? ?

4

sin( ? ? ) ? 2 3 3

?

=

? 4 ? 3 1 4 ?? ? cos? ? sin ? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 3? 3? 2 3 ? ? ?

∴? ?

? 4 3 时, C (? ) 取得最大值为 ?2. 6 3
1 2? CP ? OC sin , 2 3

(理)解法一:记△ POC 的面积为 S (? ) ,则 S (? ) ?

?

4 ? 1 4 4 ? 3 ? sin ? ? sin( ? ? ) ? sin ? ? sin( ? ? ) ? 3 2 3 3 2 3 3

?

4 3

sin ? (

2 3 1 sin 2 ? cos? ? sin ? ) ? 2 sin ? cos? ? 2 2 3
8/4

? sin 2? ?

? 3 3 3 2 3 ? (sin 2? ? ) ? cos 2? ? 3 6 3 3 3

∴? ?

? 3 时, S (? ) 取得最大值为 . 6 3
2? OC 2 ? PC 2 ? 4 1 ? ?? 3 2OC ? PC 2

解法二: cos

2 2 2 2 即 OC ? PC ? OC ? PC ? 4 ,又 OC ? PC ? OC ? PC ? 3OC ? PC 即 3OC ? PC ? 4

当且仅当 OC ? PC 时等号成立, 所以 S ?

1 2? 1 4 3 3 CP ? OC sin ? ? ? ? 2 3 2 3 2 3

? OC ? PC ∴ ? ?

? 3 时, S (? ) 取得最大值为 . 6 3

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (文)解:(1)依题意, a ? 2 3 , C(2 3,0) ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 由 ?12 4 ,得 y ? ? 3 , ?y ? x ? 设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) ,? OC ? 2 3

1 1 OC ? y1 ? y 2 ? ? 2 3 ? 2 3 ? 6 ; 2 2 ? y ? kx ? 2 ? 2 2 2 (2)如图,由 ? x 2 y 2 得 (3k ? 1) x ? 12kx ? 0 , ? ? (12k ) ? 0 ? ?1 ?12 4 ? 依题意, k ? 0 ,设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,线段 PQ 的中点 H ( x0,y0 ) , x ? x2 ?6 k 2 ? 2 则 x0 ? 1 , y0 ? kx0 ? 2 ? , D (0, ? 2) , 2 2 3k ? 1 3k ? 1
∴ S ?ABC ?

9/4

2
由 k DH ? k PQ ? ?1,得 3k ? 1
2

?2

?

6k 3k 2 ? 1

? k ? ?1 ,∴ k ? ?

3 3

2 (理)解:(1) F ( x) ? x ? a ?

2 是偶函数,?b ? 0 bx ? 1

即 F ( x) ? x 2 ? a ? 2 , x ? R 又 F ( x) ? ax 恒成立即 x 2 ? a ? 2 ? ax ? a( x ? 1) ? x 2 ? 2 当 x ? 1时 ? a ? R 当 x ? 1 时, a ?

x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ? 2 ,a ? 2 3 ? 2 x ?1 x ?1 x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ?2, x ?1 x ?1

当 x ? 1 时, a ?

a ? ?2 3 ? 2

综上: ? 2 3 ? 2 ? a ? 2 3 ? 2 (2) ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ? x 4 ? (2 ? ? ) x 2 ? (2 ? ? )

? ? (x) 是偶函数,要使 ? (x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数在 ?? 1,0? 上是增函数,即 ? (x) 只要满
足在区间 ?1,??? 上是增函数在 ?0,1? 上是减函数.
2 令 t ? x ,当 x ? ?0,1? 时 t ? ?0,1? ; x ? ?1,??? 时 t ? ?1,??? ,由于 x ? ?0,??? 时,

t ? x 2 是增函数记 ? ( x) ? H (t ) ? t 2 ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) ,故 ? (x) 与 H (t ) 在区间 ?0,???
上有相同的增减性,当二次函数 H (t ) ? t ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) 在区间 ?1,??? 上是增函数在
2

?0,1? 上是减函数,其对称轴方程为 t ? 1 ? ? 2 ? ?
2

? 1 ? ? ? 4.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小

10 / 4

题满分 6 分. (文)解:(1)? y ? f ( f ( x)) ? x 4 ? 2ax2 ? a 2 ? a 过原点, a 2 ? a ? 0

? a ? 0或a ? ?1 得 f ( x) ? x 2 或 f ( x) ? x 2 ? 1
(2)(3)同理 21 (理)解(1) AP ? 1 ,所以 AP ? 5 ,设 P ? x, y ? 1 3 3

?? x ? 1?2 ? y 2 ? 25 ? 则? ,消去 y ,得 x2 ? 11x ? 30 ? 0 ,…(2 分) ?3x ? y ? 18 ? 0 ?
解得 x1 ? 5 , x2 ? 6 ,所以 P 的坐标为 ? 5, ?3? 或 ? 6, 0 ? 3 (2)由题意可知点 A 到圆心的距离为 t ?

(3 ? 1) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 13 …(6 分)

(ⅰ)当 0 ? r ? 13 时,点 A ?1,0 ? 在圆上或圆外, 2d ? AP3 ? AP1 ? P1 P3 , 又已知 d ? 0 , 0 ? P P ? 2r ,所以 1 3

?r ? d ?0 或 0? d ? r
max

(ⅱ)当 r ? 13 时,点 A ?1,0 ? 在圆内,所以 2d

?

13 ? r ? r ? 13 ? 2 13 ,

又已知 d ? 0 , 0 ? 2d ? 2 13 ,即 ? 13 ? d ? 0 或 0 ? d ? 13 结论:当 0 ? r ? 13 时,? r ? d ? 0 或 0 ? d ? r ;当 r ? 13 时,? 13 ? d ? 0 或 0 ? d ? 13 (3)因为抛物线方程为 y ? 4 x ,所以 A ?1,0 ? 是它的焦点坐标,
2

点 P 的横坐标为 3 ,即 AP ? 8 2 2 设 P ? x1, y1 ? , P ? x3 , y3 ? ,则 AP ? x1 ? 1, AP ? x3 ? 1 , AP ? AP ? 2 AP , 1 3 1 3 1 3 2 所以 x1 ? x3 ? 2 x2 ? 6

11 / 4

直 线 PP 的 斜 率 k ? 1 3

y3 ? y1 4 , 则 线 段 PP 的 垂 直 平 分 线 l 的 斜 率 ? 1 3 x3 ? x1 y3 ? y1

kl ? ?

y3 ? y1 4 y3 ? y1 y ?y ? ? 3 1 ? x ? 3? 2 4

则线段 PP 的垂直平分线 l 的方程为 y ? 1 3 直线 l 与 x 轴的交点为定点 ? 5,0 ?

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 8 分. (文)解: (1)令 n ? 1 得 1 ? a 2 ? a1 ?

1? 2 2 ,即 a 2 ? a1 ? ; 3 3

又 a1 ? 2 ? a 2 ?

8 3

n(n ? 1) ? , ?nan ?1 ? S n ? 2 ? 3 (2)由 a 2 ? a1 ? 和 ? 3 ? n(n ? 1) (n ? 1)a n ? S n ?1 ? ? 3 ?
? na n ?1 ? (n ? 1)a n ? a n ?

2 2n ? a n ?1 ? a n ? , 3 3
2 2 为公差的等差数列,所以 a n ? ( n ? 2) . 3 3 8 3

所以数列 {an } 是以 2 为首项,

解法一: 数列 {an } 是正项递增等差数列, 故数列 {a kn } 的公比 q ? 1 , k 2 ? 2 , 若 则由 a 2 ? 得q?

a2 4 4 32 32 2 10 ? ( n ? 2) 解 得 n ? ? N * , 所 以 ,由 ? , 此 时 a k3 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 9 9 3 3 a1 3

k 2 ? 2 ,同理 k 2 ? 3 ;若 k 2 ? 4 ,则由 a4 ? 4 得 q ? 2 ,此时 akn ? 2 ? 2 n?1 组成等比数列,

12 / 4

所以 2 ? 2

n ?1

?

2 n ?1 (m ? 2) ,3 ? 2 n?1 ? m ? 2 , 对任何正整数 n , 只要取 m ? 3 ? 2 ? 2 , a kn 即 3
n ?1

是数列 {an } 的第 3 ? 2

? 2 项.最小的公比 q ? 2 .所以 kn ? 3 ? 2n ?1 ? 2 .………(10 分)

解法二: 数列 {an } 是正项递增等差数列,故数列 {a kn } 的公比 q ? 1 ,设存在

ak1 , ak2 ,?, akn ,? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的数列 {a kn } 是等比数列,则
2 ?2 ? 2 a ? ak1 ? ak3 ,即 ? (k 2 ? 2)? ? 2 ? (k3 ? 2) ? ?k 2 ? 2? ? 3?k3 ? 2? 3 ?3 ?
2 k2
2

因为 k 2、k3 ? N * 且k 2 ? 1 所以 k 2 ? 2 必有因数 3 ,即可设 k 2 ? 2 ? 3t , t ? 2, t ? N ,当数 列 {a kn } 的公比 q 最小时,即 k 2 ? 4 , ? q ? 2 最小的公比 q ? 2 .所以 kn ? 3 ? 2n ?1 ? 2 . (3)由(2)可得从 {an } 中抽出部分项 ak1 , ak2 ,?, akn ,? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的 数列 {a kn } 是等比数列,其中 k1 ? 1 ,那么 {a kn } 的公比是 q ?

k2 ? 2 ,其中由解法二可得 3

k 2 ? 3t ? 2, t ? 2, t ? N .
a kn ? 3 ? ( k 2 ? 2 n ?1 2 k ? 2 n ?1 3t ? 2 ? 2 n ?1 ) ?2 ) ? (k n ? 2) ? k n ? 3 ? ( 2 ) ? 2 ? kn ? 3 ? ( 3 3 3 3

? k n ? 3 ? t n?1 ? 2 , t ? 2, t ? N
所以 k1 ? k 2 ? ? ? k n ? 3(1 ? t ? t ? ? ? t
2 n?1

) ? 2n ? 3 ? t n ? 2n ? 3

n (理)解: (1) an?1 ? S n ? 3n ? S n?1 ? 2S n ? 3 , bn ? S n ? 3n , n ? N ? ,当 a ? 3 时,

bn?1 Sn?1 ? 3n?1 2Sn ? 3n ? 3n?1 =2,所以 ?bn ? 为等比数列. ? ? bn Sn ? 3n Sn ? 3n

b1 ? S1 ? 3 ? a ? 3 , bn ? (a ? 3) ? 2 n?1 .
(2) 由(1)可得 S n ? 3n ? (a ? 3) ? 2 n?1
13 / 4

an ? S n ? S n?1 , n ? 2, n ? N ?

a n ?1 ? ; an ? ? n ?1 n?2 n?2 ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2
? a 2 ? a1 an?1 ?a n , ? ?a n ?1 ? a n n ? 2
, a ? ?9

所以 a ? ?9 ,且 a ? 3 .所以 a 的最小值为 (3)由(1)当 a ? 4 时, bn ? 2 n?1
n 当 n ? 2 时, Cn ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? 1 , C1 ? 3 ,

所以对正整数 n 都有 Cn ? 2 n ? 1. 由t
p

? 2 n ? 1 , t p ? 1 ? 2 n ,( t, p ? N ? 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数.

p

p

①当 p 为偶数时, t p ? 1 ? (t 2 ? 1)(t 2 ? 1) ? 2 n , 因为 t
p 2

? 1 和 t ? 1 都是大于 1 的正整数,
p 2

p 2

所以存在正整数 g, h ,使得 t

?1 ? 2 , t ? 1 ? 2h ,
g

p 2

2 g ? 2 h ? 2 , 2 h (2 g ?h ? 1) ? 2 ,所以 2 h ? 2 且 2 g ?h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 ,相应的

n ? 3 ,即有 C3 ? 32 , C3 为“指数型和”;
p 2 p ?1 2 p ?1 ②当 p 为奇数时, t ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t ) ,由于 1 ? t ? t ? ? ? t 是 p 个奇

数之和,仍为奇数,又 t ? 1 为正偶数,所以 (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t
2

p ?1

) ? 2 n 不成立,此时

没有“指数型和”.

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