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福建省2012届高三安溪一中、惠安一中、养正中学上学期期中联考(数学理)


安溪一中、惠安一中、养正中学 2011—2012 学年度高三(上)期中联考 安溪一中、惠安一中、 2011— 学年度高三(

数学(理科)
(考试时间为 120 分钟,满分为 150 分)

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 选择题( 小题, 在每小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的,把答案填涂在答题卡上) 有一项是符合题目要求的,把答案填涂在答题卡上) 1.设全集 U = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} ,集合 A = {1, 2,3, 5} , B = {2, 4, 6} ,则图中的阴影部分 表示的集合为 A. {2} C. {1,3,5} ( ) B. {4, 6} D. {4, 6, 7,8} ( )

2. α = 2 kπ + β , k ∈ Z ”是“ sin α = sin β ”的 “ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要

3.下列命题中是假命题的是 A. ?x ∈ ? 0,

( B. ?x0 ∈ R, lg x0 = 0 D. ?x0 ∈ R, sin x0 + cos x0 = 2



? ?

π? ? , x > sin x 2?

C. ?x ∈ R , 3 x > 0 4.

∫ (x ? sin x )dx 等于
2 0

π





A.

π2
4

?1

B.

π2
8

?1

C.

π2
8

D.

π2
8

+1

?y ≥1 ? 5.已知实数 x, y 满足 ? y ≤ 2 x ? 1 ,如果目标函数 z = x ? y 的最小值为 ? 1 ,则实数 m 等于 ?x + y ≤ m ?
( A.3
3 6.函数 y = x 的图像是 1

) B.4 C.5 D.7





7.如右图所示,点 P 是函数 y = A sin(ω x + ? )( x ∈ R, ω > 0) 的图象的最高点, M 、N 是图象与 x 轴的交点, 若 MP ? MN = 2 , ∠MPN =60°,则 ω 的值为( )

uuur uuuu r

π
A.4 B. C.

π
2

4
8.若 a =

D. π

ln 2 6 ln 2 π ,b = ln 2 ? ln 3 ,c = ,则 a、b、c 的大小关系是 4 4
B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b





A.a>b>c

9.已知函数 f ( x ) = sin( 2 x + φ ) 满足 f ( x ) ≤ f ( a ) 对 x ∈ R 恒成立,则函数 ( A. f ( x ? a ) 一定为奇函数 C. f ( x + a ) 一定为奇函数 10.已 知函数 f ( x) = ? B. f ( x ? a ) 一定为偶函数 D. f ( x + a ) 一定为偶函数



?log a ( x + 1) , ? 1 < x < 1 , a > 0 且 a ≠1) ( ,若 x1 ≠ x2 , 且 ? f (2 ? x) + a ? 1 , 1 < x < 3
( C.可能为 2 D.与 a 相关 )

f ( x1 ) = f ( x2 ) ,则 x1 + x2 的值
A.恒小于 2 B.恒大于 2

小题, 把答案填在答题卡的相应位置。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。 填空题: 11.角 θ 终边上一点 M( x ,-2) ( x ≠ 0) ,且 cos θ = (

x ,则 sin θ = 3

. . .

12.若幂函数 f (x ) 的图象经过点 A(4, 2) ,则它在 A 点处的切线方程为 13.若函数 f(x)=a x ? b + 2 在[0,+∞)上为增函数,则实数 a、b 的取值范围是

14. 若函数 f ( x ) = 2 x 2 ? lnx 在其定义域内的一个子区间 (m ? 1, m + 1) 内不是单调函数, 则 .... 实数 m 的取值范围是 ;

15.在直角坐标系中, 如果两点 A(a, b), B(-a, -b)在函数 y = f (x ) 的图象上, 那么称 [A, B]为函数 f (x)的一组关于原点的中心对称点 ([A , B]与[B, A]看作一组). 函数

? π ?cos x, x ≤ 0, 关于原点的中心对称点的组数为 g ( x) = ? 2 ?log 4 ( x + 1), x > 0 ?



小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 16.(本小题满分 13 分) . 本小题满分 如图,在 ?ABC 中, BC 边上的中线 AD 长为 3, 且 cos B = A

10 1 , cos ∠ADC = ? . 8 4
B D
第 16 题

(Ⅰ)求 sin ∠BAD 的值; (Ⅱ)求 AC 边的长.

C

17. 本题满分 13 分) . (本题满分 ( 设函数 f(x)= a ? b ,其中向量 a =(2cosx,1), b =(cosx, 3 sin2x),x∈R. (1)若 f(x)=1- 3 且 x∈[-

r r

r

r

π


π
],求 x;

3

3

π
),平移后得

(2)若函数 y=2sin2x 的图象按向右平移 m 个单位,向上平移 n 个单位(|m|<

2
到函数 y=f(x)的图象,求实数 m、n 的值。

18. (本小题满分 13 分) 如图, 某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动比赛道, 赛道的前一部分为曲线段 FBC, 该曲线段是函数 y = A sin(ω x +
2π ) 3

( A > 0, ω > 0 ) ,x ∈ [ ?4,0] 时的图象,且图

象的最高点为 B(-1,2) 。赛道的中间部分为长 3 千米的直线跑道 CD,且
? (1)求 ω 的值和 CD// EF。赛道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 DE .
∠DOE 的大小;

(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个“矩形草坪” ,矩形的
? 一边在道路 EF 上,一个顶点在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 DE 上,且
∠POE = θ ,求当“矩形草坪”的面积取最大值时 θ 的值.

19. (本小题满分 13 分) 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合

放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)=|

x 2 -a|+2a+ ,x∈[0,24],其 3 x2+1

1 中 a 是与气象有关的参数,且 a∈[0, ],若用每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污 2 染指数,并记作 M(a). x (1)令 t= 2 ,x∈[0,24],求 t 的取值范围; x +1 (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射 性污染指数是否超标?

20.(本小题满分 14 分) ( 设函数 f ( x ) = ( x + a ) ln x ? x + a . (Ⅰ)设 g ( x) = f ′( x ) ,求函数 g ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)已知 ?a > 0, ?0 < x < a , 使得 a + x ln x > 0. 试研究 a > 0 时 函数 y = f (x ) 的零点个数. 21.本题( 、 2 、 3 三个选答题, 题做答, 21.本题(1)(2)(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分,如 本题 ( ( 果多做,则按所做的前两题计分. 作答时, 果多做,则按所做的前两题计分. 作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑, 涂黑,并将所选题号填入括号中 (1) 本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 ( 已知矩阵 A = ?

u ?7 ? r ? 1 2? ,向量 α = ? ? 。 ? ? ?1 4 ? ?4?

α ①求矩阵 A 的特征值 λ1、λ2 和对应的特征向量 α1、 2 ;
②求 A
5

uu uu r r

α 的值。

u r

( (2) 本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知圆 C 的参数方程为 ?

? x = 1 + 2 cos θ , ? y = 3 + 2 sin θ

(θ为参数 )

, P 是圆 C 与 x 轴正半轴的交点, 若

以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设过点 P 的圆 C 的切线为 l ,求直线 l 的极坐标方程. (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲
2 2 2 2 求 已知实数 a , b, c, d 满足 a + b + c + d = 3, a + 2b + 3c + 6d = 5 , a 的最大值和最小值。

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数学参考试卷(理科)
参考答案及评分说明
一、选择题 二、填空题

BADBC

BCADB

11、 ?

2 3

12、 x ? 4 y + 4 = 0

13、 a > 0 : b ≤ 0

3 14. ?1, ? 15、2 ? ? ? 2?

小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解答题: 16.(本小题满分 13 分)解:(Ⅰ)因为 cos B =

10 3 6 ,所以 sin B = …………2 分 8 8

又 cos ∠ADC = ?

1 15 ,所以 sin ∠ADC = …………………………………… 4 分 4 4

所以 sin ∠BAD = sin(∠ADC ? ∠B ) = sin ∠ADC cos B ? cos ∠ADC sin B

=

15 10 1 3 6 6 ……………………………………………7 分 × ? (? ) × = 4 8 4 8 4
AD BD 3 BD ,即 ,解得 = = sin B sin ∠BAD 3 6 6 8 4

( Ⅱ ) 在 ?ABD 中 , 由 正 弦 定 理 , 得

BD = 2 ……………10 分
故 DC = 2 ,从而在 ?ADC 中,由余弦定理,得

AC 2 = AD 2 + DC 2 ? 2 AD ? DC cos ∠ADC

= 32 + 2 2 ? 2 × 3 × 2 × ( ? ) = 16 , 所 以

1 4

AC = 4 ………………………………………………………13 分

17. 本小题满分 13 分) . (本小题满分 ( 解: f ( x ) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = 1 + cos 2 x + 3 sin 2 x = 2 sin( 2 x + (1) 依题意 f ( x ) = 2 sin( 2 x + ∴ sin( 2 x +

π
6

) + 1 ………4 分

π
6

) +1 = 1? 3 ,

π
6

)=?

3 , 2

∵ x ∈ ?? ∴ 2x +

π ? π 5π ? ? π π? , ? ∴ 2 x + ∈ ?? , ? 6 ? 2 6 ? ? 3 3?
π
6 =?

π
,

x=?

π
4

3
……… 8 分

(2) 函数 y=2sin2x 的图象平移后为 y=2sin2(x-m)+n; 对照 f ( x ) = 2 sin( 2 x + 得 2m = 2kπ ?

π
6

) +1

π
6

(k ∈ Z ) ;n=1 又∵ m <

π
2
……… 13 分

m=?

π
12

;n = 1

18.解:解: (1)由条件,得 A = 2 ,

T =3 4

∵T =



ω

,∴ ω =

π . 6

π 2π ∴ 曲线段 FBC 的解析式为 y = 2sin( x + ) .……………………4 分 6 3 π π 当 x=0 时, y = OC = 3 .又 CD= 3 ,∴ ∠COD = ,即∠DOE = .……6 分 4 4

(2)由(1) ,可知 OD = 6 . 又易知当“矩形草坪”的面积最大时,点 P 在弧 DE 上,故 OP = 6 . 设 ∠POE = θ , 0 < θ ≤
S = 6 sin θ

π , “矩形草坪”的面积为 4

(

6 cos θ ? 6 sin θ = 6 ( sin θ cos θ ? sin 2 θ )

)

1 1 1 π = 6( sin 2θ + cos 2θ ? ) = 3 2 sin(2θ + ) ? 3 . 2 2 2 4

……11 分

∵0 <θ ≤

π π π π ,故 当2θ + = 时,θ = 时,S 取得最大值.………………………13 分 4 2 8 4

19.解 : 1)当 x=0 时,t=0; (
1 1 1 1 当 0<x≤24 时, =x+ .对于函数 y=x+ ,∵y′=1- 2, t x x x

…………2 分

1 ∴当 0<x<1 时,y′<0,函数 y=x+ 单调递增,当 1<x≤24 时,y′>0, x 1 1 1 函数 y=x+ 单调递增,∴y∈[2,+∞).∴ ∈(0, ]. x t 2 1 综上,t 的取值范围是[0, ]. 2

………………5 分

3a-t+ ,0≤t≤a, 3 1 2 ? (2)当 a∈[0, ]时,f(x)=g(t)=|t-a|+2a+ =? ………………8 分 1 2 2 3 ?t+a+3,a≤t≤2. 2 1 7 1 1 ∵g(0)=3a+ ,g( )=a+ ,g(0)-g( )=2a- . 3 2 6 2 2

2

?g(2),0≤a≤4, ?a+6,0≤a≤4, 故 M(a)=? =? . 1 1 1 2 1 g(0), <a≤ 3a+ , <a≤ ? ? 3 4 2 2 4
4 当且仅当 a≤ 时,M(a)≤2, 9 4 4 故 a∈[0, ]时不超标,a∈( ,1]时超标. 9 9

1

1

7

1

………………10 分

………………12 分

………………13 分

20.解: Ⅰ) f (x ) 的定义域为 (0,+∞ ). 解 (Ⅰ (

Q f ′( x ) = ln x + ( x + a ) ?

1 a ? 1 = ln x + . x x 1 a x?a ∴ g ′( x ) = ? 2 = 2 . x x x

a ∴ g ( x ) = ln x + . -----------------1 分 x

① 当 a ≤ 0 时, g ′( x ) > 0 恒成立,∴ g (x ) 的递增区间为 (0,+∞ ); ----------3 分 ② 当 a > 0 时, x ∈ (0, a ), g ′( x ) < 0; x ∈ ( a ,+∞ ), g ′( x ) > 0,

∴ g (x ) 的递减区间为 (0, a); 递增区间为 ( a,+∞ ). ------------------6 分
(Ⅱ) a > 0 时,由(Ⅰ)知, f ′(x ) 的递减区间为 (0, a ); 递增区间为 ( a,+∞ ).

∴ f ′( x ) min = f ′( a ) = ln a +
① 当 ln a + 1 ≥ 0 ,即 a ≥

a = ln a + 1. ------------7 分 a

1 时,有 f ′( x ) ≥ 0 恒成立, e

∴ f (x ) 为 (0,+∞ ) 上的增函数,

1 1 1 1 2 ? + a = ? < 0, f (e) = (e + a ) ln e ? e + a = 2a > 0. e e e e e 1 ∴ f ( ) ? f ( e ) < 0. e 1 ∴ ?x 0 ∈ ( , e), 使得, f ( x 0 ) = 0. e
又 f ( ) = ( + a ) ln

Q f (x) 为 (0,+∞ ) 上的增函数,∴ x = x0 为 f (x ) 的唯一的零点. -----------9 分

② 当0 < a <

1 时, f ′( x) min = f ′(a) = ln a + 1 < 0. e

由条件提供的命题:“ ?a > 0, ?0 < x < a , 使得 a + x ln x > 0. ” 为真命题, 即, ?a > 0, ?0 < x < a , 使得 f ′( x ) = ln x + 所以, ?x1 ∈ (0, a), 使得 f ′( x1 ) = 0.

a a + x ln x = > 0. x x

Q f ′(x) 在区间 (0, a ) 上为减函数,

∴ x ∈ (0, x1 ), f ′( x) > 0; x ∈ ( x1 , a), f ′( x) < 0.
又Q f ′(e) = ln e +

a a = + 1 > 0. e e

∴ f ′( a ) ? f ′(e) < 0.

∴ ?x2 ∈ (a, e), 使得 f ′( x2 ) = 0.
Q f ′(x) 在区间 ( a,+∞ ) 上为增函数,

∴ x ∈ (a, x 2 ), f ′( x) < 0; x ∈ ( x 2 ,+∞), f ′( x) > 0.
所以, f (x ) 的递增区间为 (0, x1 ) 和 ( x 2 ,+∞); 递减区间为 ( x1 , x 2 ). ------------11 分

1 Q 0 < x1 < a < ,∴ ln x1 < ?1. e

∴ f ( x1 ) = ( x1 + a) ln x1 ? x1 + a < ?( x1 + a) ? x1 + a = ?2 x1 < 0.
Q f (x) 在 ( x1 , x2 ) 上 为 递 减 函 数 ,
---------12 分

∴ f ( x 2 ) < 0.

∴ x ∈ (0, x2 ), f ( x) < 0 恒 成 立 .

Q x → +∞, f ( x) → +∞.
∴ 在区间 ( x2 ,+∞) 上,函数 f (x ) 有且只有一个零点. ----------------13 分
综上, a > 0 时,函数 f (x ) 有且只有一个零点. -------------------14 分

21. (1)解:①矩阵 A 的特征多项式 f (λ ) =

λ ?1
1

?2 = λ 2 ? 5λ + 6 , λ ?4

令 f (λ ) = 0 ,得 λ1 = 2, λ2 = 3 ……………2 分 当 λ1 = 2 时, α1 = ? ? ,当 λ2 = 3 时,得 α 2 = ? ? 。…………4 分

uu r

? 2? ?1 ?

uu r

?1? ?1?

u r ur uu r 2m + n = 7 ②由 α = ma1 + nα 2 得 ? ,得 m = 3, n = 1 ……………5 分 ? ?m + n = 4
所以 A
5

α = A5 (3α1 + α 2 ) = 3( A5 a1 ) + A5 α 2

u r

uu uu r r

ur

uu r

uu r uu r ?2? ?1? ? 435 ? = 3(λ15 α1 ) + λ25 α 2 = 3 × 25 ? ? + 35 ? ? = ? ? …………7 分 ?1 ? ?1? ?339 ?
(2)解:由题设知,圆心 C 1, 3 , P (2.0 ) ……………………………………1 分 ∠CPO=60°,故过 P 点的切线的倾斜角为 30° ……………………………3 分

(

)

设 M (ρ ,θ ) ,是过 P 点的圆 C 的切线上的任一点,则在△PMO 中, ∠MOP= θ ∠OMP = 30 0 ? θ , ∠OPM = 150 0

由正弦定理得

OM OP ρ 2 = ,∴ = 0 sin ∠OPM sin ∠OMP sin150 sin 30 0 ? θ

(

)

……5 分

∴ ρ cos θ + 60 0 = 1 或ρsin 30 0 ? θ = 1 ,即为所求切线的极坐标方程。…7 分
(3)由柯西不等式得

(

)

(

(

) )

1 1 1 (2b 2 + 3c 2 + 6d 2 )( + + ) ≥ ( a + b + c ) 2 ……………2 分 2 3 6
即 2b 2 + 3c 2 + 6d 2 ≥ ( a + b + c ) 2 由条件可得, 5 ? a 2 ≥ (3 ? a ) 2 , 解得 1 ≤ a ≤ 2 ……………………………………5 分

2b
当且仅当

1/ 2
代入 b =

=

3c 1/ 3

=

6d
时等号成立,…………6 分

1/ 6

1 1 1 , c = , d = 时, amax = 2 , 2 3 6 2 1 b = 1, c = , d = 时, amin = 1 。…………7 分 3 3


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