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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.9三角函数的简单应用课时作业 北师大版必修4


三角函数的简单应用

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系是 I=2sin100π t,t∈(0,+∞),则电流 I 变化的周期是 ( A. B.100 = C. = . D.50 )

【解析】选 C.由题意知,T=

2.(2014· 亳州高一检测)某人的血压满足函数关系式 f(t)=24sin(160π t)+110,其中 f(t)为血压,t 为时间, 则此人每分钟心跳的次数为 A.60 B.70 ( ) C.80 D.90

【解题指南】本题的实质是求函数的频率. 【解析】选 C.T= = ,所以频率 f=80.

3.如图为一半径 r 为 3 米的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 米,已知水轮每分钟旋转 4 圈,水轮上的点 P 到水 面的距离 y(米)与时间 x(秒)满足函数关系 y= Asin( ω x+φ )+2,则有 ( )

A.ω = C.ω =

,A=3 ,A=5

B.ω = D.ω =

,A=3 ,A=5 π rad,所以ω = π.

【解析】选 B.水轮每分钟旋转 4 圈,即每秒钟旋转

又水轮上最高点离水面的距离为 r+2=5(米),即 ymax=A+2=5,所以 A=3. 【变式训练】(2013·杭州高一检测)如图,一个大风车的半径是 8 米,每 12 分钟旋转一周,最低点离地面 2 米,若风车翼片从最低点按逆时针方 向开始旋转,则该翼片的端点 P 离地面的距离 h(米)与时间 t(分钟)之 间的函数解析式是 ( )
-1-

A.h=8cos t+10 C.h=-8sin t+10

B.h=-8cos t+10 D.h=-8cos t+10

【解析】选 D.首先考虑建立直角坐标系,以最低点的切线作为 x 轴, 最低点作为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系. 那么,风车上翼片端点所在位置 P 可由函数 x(t),y(t)来刻画,而且 h(t)=y(t)+2. 所以,只需要考虑 y(t)的解析式.又设 P 的初始位置在最低点 ,即 y(0)=0. 在 Rt△O1PQ 中,由 cosθ = 得 y(t)=-8cosθ +8. 又 = ,所以θ = t,y(t )=-8cos t+8, ,

h(t)=-8cos t+10. 4.(2014·西安高一检测)稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地 的房地产市场产生了影响.北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价进行了统计与预测 :发现每 个 季 度 的 平均 单 价 y( 每平 方 米 面 积的 价 格 , 单 位为 元 ) 与 第 x 季 度之 间近 似 满 足 :y=500sin( ω x+ φ )+9500(φ >0),已知第一、二季度平均单价如下表所示: x y 1 10 000 ) 2 9 500 3 ?

则此楼群在第三季度的平均单价大约是 ( A.10000 元 B.9500 元

-2-

C.9000 元

D.8500 元

【解析】选 C.由表格数据可知,10000=500sin(ω +φ )+9500, 9500=500sin(2ω +φ )+9500, 所以 sin(ω +φ )=1,sin(2ω +φ )=0; ω +φ =2k1π + (k1∈Z),① 2ω +φ =2k2π +π (k2∈Z),② ②×2-①得 3ω +φ =4k2π -2k1π + =2k3π + (k3∈Z), +9500=9000(元).故选 C.

所以 x=3 时,y=500sin 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.有一种波,其波形为函数 y=sin 整数 t 的最小值 是 【解析】因为函数 y=sin 数 t 的最小 值是 5. 答案:5 .

的图像,若在区间[0,t](t>0)上至少有 2 个波峰(图像的最高点),则正

的周期 T=4,y=sin

的图像在[0,t]上至少有 2 个波峰,所以 t≥ T=5,故正整

6.(2014 · 潍 坊 高 一 检 测 ) 某 同 学 利 用 描 点 法 画 函 数 φ) x y 0 1 1 0 2 1 的图像,列出的一组数据如下表: 3 -1 4 -2

y=Asin( ω

x+

经检查 , 发现表格中恰有一组数据计算错误 , 请你根据上述信息推断函数 y=Asin( ω x+ φ ) 的解析 式应 是 .

【解析】因为(0,1)和(2,1)关于直线 x=1 对称, 故 x=1 与函数图像的交点应是最高点或最低点, 故数据(1,0)错误,从而由(4,-2)在图像上知 A=2,
-3-

由过(0,1)点知 2sinφ =1, 因为- < φ < ,所以φ = , 所以 y=2sin 所以 2ω + = ,再将点(2,1)代入得,2sin +2kπ 或 2ω + = +2kπ ,k∈Z, =1,

因为 0<ω <2,所以ω = , 所以函数解析式为 y=2sin 答案:y=2sin 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现:该商品的出厂价格是在 6 元 基础上按月份随正弦曲线波动的,已知 3 月份出厂价格最高为 8 元,7 月份出厂价格最低为 4 元,而该商品在 商店的销售价格是在 8 元基础上按月随正弦曲线波动的,并已知 5 月份销售价最高为 10 元,9 月份销售价最 低为 6 元 ,假设某商店每月购进这种商品 m 件,且当月售完,请估计哪个月盈利最大?并说明理由. 【解析】由条件可得:出厂价格函数为 y1=2sin 销售价格函数为 y2=2sin 则利润函数为: y=m(y2-y1)=m 2sin 所以,当 x=6 时,y=(2+2 +8-2sin )m,即 6 月份盈利最大. 在同一周期内的图像. -6 =m(2-2 sin x), +8, +6, .

8.如图表示电流 I 与时间 t 的函数解析式:I=Asin(ω t+φ ) (1)根据图像写出 I=Asin(ω t+φ )的解析式. (2)为了使 I=Asin(ω t+φ )中 t 在任意-段 ω 的最小值是多少?

秒的时间内电流 I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数

-4-

【解题指南】 先由图中的数据观察出函数的最值、 周期,从而确定 A,ω ,再代入图像中的一个点的坐标求φ ; 根据(1)求出的解析式,列出不等式求ω 的范围后确定最小值. 【解析】(1)由图知 A=300,t1=因为 T=2(t3-t1)=2 所以ω = =100π . = ,t3= , ,

由ω t1+φ =0 得φ =-ω t1= , 所以 I=300sin (2)问题等价于 ≤ ,即 ≤ . ,

所以ω ≥100π ,所以正整数ω 的最小值为 314.

一、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1.(2013·烟台高一检测)车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某 十字路口的车流量由函数 F (t)=50+4sin (0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t 的单位是分,则下列哪个 时间段内车流量是增加的 ( ) B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20]

A.[0,5]

【解析】选 C.由 2kπ - ≤ ≤2kπ + 得 4kπ -π ≤t≤4kπ +π (k∈Z),由于 0≤t≤20,所以 0≤t≤π 或 3 π ≤t≤5π ,从而车流量在时间段[10,15]内是增加的. 2.(2014· 合肥高一检测)绳子绕在半径为 50cm 的轮圈上,绳子的下端 B 处悬挂着物体 W,如果轮子按逆时针 方向每分钟匀速旋转 4 圈,那么把物体 W 的位置向上提升 100cm 需要 ( )
-5-

A.

s

B.

s

C. s

D. s

【解析】选 A.设需 x 秒上升 100cm. 则 ×4×2π ×50=100, .

所以 x=

3.(2014·青岛高一检测)海水受日月的引力作用,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚 潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道 ,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是港口在某季节 每天的时间与水深关系的表格: 时 0:00 刻 水 5.0 深 选用函数 y=Asin(ω x+φ )+b(A>0,ω >0)来模拟港口的水深与时间的关系.如果一条货船的吃水深度是 4 米, 安全条例规定至少有 2.25 米的安全间隙(船底与洋底的距离),则该船一天之内在港口内呆的时间总和为 小时. ( A.10 ) B.8 C.6 D.4 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00

【解析】选 B.由题意可得 y=2.5sin x+5(0≤x≤24),则 2.5sin x+5≥6.25, sin x≥ ,2kπ + ≤ x≤ +2kπ ,k∈Z,

即 12k+1≤x≤5+12k,该船可以 1 点进港,5 点离港,或 13 点进港,17 点离港,在港口内呆的时间总和为 4+4=8 小时. 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 4.如图,点 P 是半径为 r 的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置 P0 开始,按逆时针方向以角速度ω (rad/s) 做圆周运动,则点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系式为 .

-6-

【解析】 当质点 P 从 P0 转到点 P 位置时,点 P 转过的角度为ω t,则∠POx=ω t+φ ,由任意角的三角函数定义 知 P 点的纵坐标 y=rsin(ω t+φ ). 答案:y=rsin(ω t+φ ) 5.(2014·北京高一检测)一观览车的主架示意图如图所示,其中 O 为轮轴的中心,距地面 32m(即 OM 长),巨 轮的半径为 30m,AM=BP=2m,巨轮逆时针旋转且每 12min 转动一圈.若点 M 为吊舱 P 的初始位置,经过 tmin, 该吊舱 P 距离地面的高度为 hm,则 h= .

【解析】过点 O 作地面的平行线 ON,过点 B 作 ON 的垂线 BM 交 ON 于 M 点.点 A 在 ☉O 上逆时针运动的角速度是 数为 t, 设 θ = , 当 t, 当 θ > = ,所以 tmin 转过的弧度 ,h=OA+BM=30+30sin θ

时 , ∠ BOM= θ -

0< θ ≤

时 , 上 述 关 系 式 也 适 合 . 故 +30.

h=30+30sin 答案:30sin

=30sin +30

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 6.如图,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+b. (1)求这一天 6~14 时的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式.
-7-

【解析】(1)由图可知:这段时间的最大温差是 20℃. (2)从图可以看出:从 6~14 是 y=Asin(ω x+φ )+b 的半个周期的图像, 所以 =14-6=8, 所以 T=16, 因为 T= ,

所以ω = ,

又因为

所以

所以 y=10sin 将点(6,10)代入得:sin 所以 +φ =2kπ +

+20, =-1,

,k∈Z, ,

所以φ =2kπ + 所以 y=10sin

,k∈Z,可取φ =

+20(6≤x≤14).

【拓展延伸】三角函数的建模问题关键点 (1)解决实际问题时的关键是观察出周期性,搜集数据,作出相应的散点图. (2)求解的关键是能抽象出三角函数模型,解决的步骤是:审题,建模,求解,还原. 7.(2014· 虹口区高一检测)某种型号汽车的四个轮胎半径相同,均为 R=40cm,该车的底盘与轮胎中心在同一
-8-

水平面上.该车的涉水安全要求是:水面不能超过它的底盘高度.如图所示:某处有一“坑形”地面,其中坑 ABC 形成顶角为 120°的等腰三角形,且 AB=BC=60cm,如果地面上有 h(cm)(h<40)高的积水(此时坑内全是水, 其他因素忽略不计). (1) 当轮胎 与 AB,BC 同时接触时 , 求证 : 此轮胎露在水面外的高度 ( 从轮胎最上部到水面的距离 ) 为 d=10+ -h.

(2)假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时,符合涉水安全要求),求 h 的最大值.(精确到 1cm)

【解析】(1)当轮胎与 AB,BC 同时接触时, 设轮胎与 AB 边的切点为 T, 轮胎中心为 O, 则|OT|=40, 由∠ABC=120°,知∠OBT=60°, 故|OB|= . +40, +40-(60·cos60°+h)= +10-h=10+ -h,得证.

所以,从 B 点到轮胎最上部的距离为 此轮胎露在水面外的高度为 d= (2)只要 d≥40,即

+10-h≥40,解得 h≤16cm,所以 h 的最大值为 16cm.

【 变 式 训 练 】 单 摆 从 某 点 开 始 来 回 摆 动 , 离 开 平 衡 位 置 的 距 离 s( 厘 米 ) 和 时 间 t(s) 的 关 系 式 为 s=6sin (1)作出它的图像. (2)单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少厘米? (3)单摆摆到最右边时,离开平衡位置多少厘米? 【解析】(1)列表如下:
-9-

.

t(s)

0

s(厘米) 描点作图.

3

6

0

-6

0

(2)t=0 时,s=3 厘米,此时离开平衡位置 3 厘米. (3)离开平衡位置 6 厘米.

- 10 -


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