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三角函数公式大全


三角函数公式大全 倒数关系: tanα ?cotα =1 sinα ?cscα =1 cosα ?secα =1 商的关系: sinα /cosα =tanα =secα /cscα cosα /sinα =cotα =cscα /secα 平方关系: sin2(α )+cos2(α )=1 1+tan2(α )=sec2(α ) 2 2 1+cot (α )=csc (α ) 平常针对不同条件的常用的两个公式 tanα *cotα =1 一个特殊公式 (sina+sinθ ) (sina-sinθ )=sin(a+θ )sin(a-θ ) 证明: ( sina+sinθ ) ( sina-sinθ ) =2 sin[(θ +a)/2] cos[(a-θ )/2] 2 cos[(θ +a)/2] sin[(a-θ )/2] =sin(a+θ )sin(a-θ ) 坡度公式: 我们通常半坡面的铅直高度 h 与水平高度 l 的比叫做坡度(也叫坡比) ,用 字母 i 表示, 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如 i=1:5.如果把坡面与水 平面的夹角记作 a(叫做坡角) ,那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式: 正弦:sin α =∠α 的对边/∠α 的斜边 余弦:cos α =∠α 的邻边/∠α 的斜边 正切:tan α =∠α 的对边/∠α 的邻边 余切:cot α =∠α 的邻边/∠α 的对边 半角公式: sin2(α /2)=(1-cosα )/2 cos2(α /2)=(1+cosα )/2 tan2(α /2)=(1-cosα )/(1+cosα ) tan(α /2)=sinα /(1+cosα )=(1-cosα )/sinα )=0 倍角和半角相对而言, 两倍角余弦公式的变形可引出半角公式推导过程中可得到 一组降次公式,即

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万能公式: sinα =2tan(α /2)/[1+tan2(α /2)] 2 2 cosα =[1-tan (α /2)]/[1+tan (α /2)] tanα =2tan(α /2)/[1-tan2(α /2)] 其他 sinα +sin(α +2π /n)+sin(α +2π *2/n)+sin(α +2π *3/n)+……+sin[α +2π *( n-1)/n]=0 cosα +cos(α +2π /n)+cos(α +2π *2/n)+cos(α +2π *3/n)+……+cos[α +2π *( n-1)/n]=0 以及 sin2(α )+sin2(α -2π /3)+sin2(α +2π /3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B 和差化积: sinθ +sinφ = 2 sin[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2] sinθ -sinφ = 2 cos[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2] cosθ +cosφ = 2 cos[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2] cosθ -cosφ = -2 sin[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 两角和公式: sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 积化和差: sinα sinβ =-[cos(α +β )-cos(α -β )] /2 cosα cosβ = [cos(α +β )+cos(α -β )]/2 sinα cosβ = [sin(α +β )+sin(α -β )]/2 cosα sinβ = [sin(α +β )-sin(α -β )]/2
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公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ +α )= sinα cos(2kπ +α )= cosα tan(2kπ +α )= tanα cot(2kπ +α )= cotα 公式二: 设 α 为任意角,π +α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π +α )= -sinα cos(π +α )= -cosα tan(π +α )= tanα cot(π +α )= cotα 公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )= -sinα cos(-α )= cosα tan(-α )= -tanα cot(-α )= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π -α )= sinα cos(π -α )= -cosα tan(π -α )= -tanα cot(π -α )= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到 2π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π -α )= -sinα cos(2π -α )= cosα tan(2π -α )= -tanα cot(2π -α )= -cotα 公式六: π /2±α 及 3π /2±α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π /2+α )= cosα cos(π /2+α )= -sinα tan(π /2+α )= -cotα cot(π /2+α )= -tanα sin(π /2-α )= cosα cos(π /2-α )= sinα tan(π /2-α )= cotα cot(π /2-α )= tanα sin(3π /2+α )= -cosα cos(3π /2+α )= sinα tan(3π /2+α )= -cotα cot(3π /2+α )= -tanα
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sin(3π /2-α )= -cosα cos(3π /2-α )= -sinα tan(3π /2-α )= cotα cot(3π /2-α )= tanα (以上 k∈Z) A?sin(ω t+θ )+ B?sin(ω t+φ ) = √{(A? +B? +2ABcos(θ -φ )} ? sin{ ω t + arcsin[ (A?sinθ +B?sinφ ) / √{A2 +B2; +2ABcos(θ -φ )} } √表示根号,包括{……}中的内容 三角函数的诱导公式(六公式) (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证:A+B=π -C tan(A+B)=tan(π -C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ -tanC)/(1+tanπ tanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 同样可以得证,当 x+y+z=nπ (n∈Z)时,该关系式也成立 由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA) 2;+(cosB) 2+(cosC) 2=1-2cosAcosBcosC (8)(sinA) 2+(sinB) 2+(sinC) 2=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数: (1)tanA= sinA/cosA (2)csc(a) = 1/sin(a) (3)sec(a) = 1/cos(a) (4)sec2a +csc2α =sec 2α .csc2α 二倍角公式: sin2A=2sinA?cosA cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A tan2A=(2tanA)/(1-tan2A) 三倍角公式: sin3α =3sinα -4sin3 α =4sinα ?sin(π /3+α )sin(π /3-α ) cos3α =4cos3α -3cosα =4cosα ?cos(π /3+α )cos(π /3-α ) tan3a =tan ( α ) (-3+tan2α ) /(-1+3tan2α ) =tan a ? tan(π /3+a)? tan(π /3-a) 三倍角公式推导 sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin?a)+(1-2sin?a)sina=3 sina-4sin3a cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos?a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa=4co s3a-3cosa

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sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin?a)=4sina[(√3/2)?-sin?a]=4sina(sin?6 0°-sin?a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[ (60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos?a-3/4)=4cosa[cos?a-(√3/2) 2] =4cosa(cos?a-cos?30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2] {-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cos asin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 四倍角公式: 2 sin4A=-4 (cosA.sinA(2sin A-1)) cos4A=1+(-8cos2A+8cos4A) tan4A=(4tanA-4tan3A)/(1-6tan2A+tan4A) 五倍角公式: 5 3 sin5A=16sin A-20sin A+5sinA cos5A=16cos5A-20cos3A+5cosA tan5A=tanA (5-10tan2A+tan4A)/(1-10tan2A+5tan4A) 六倍角公式: sin6A=2(cosAsinA(2sinA+1)(2sinA-1)(-3+4sin2A)cos6A=(-1+2cos2A) 16cos4A-16cos2A+1) tan6A=(-6tanA+20tan3A-6tan5A)/(-1+15tan2A-15tan4A+tan6A) 七倍角公式: sin7A=-sinA(56sin2A-112sin4A-7+64sin6A) cos7A=cosA(56cos2A-112cos4A+64cos6A-7) tan7A=tanA (-7+35tan2A-21tan4A+tan6A)/(-1+21tan2A-35tan4A+7tan6A) 八倍角公式: sin8A=-8(cosAsinA(2sin2A-1)(-8sin2A+8sin4A+1) cos8A=1+(160cos4A-256cos6A+128cos8A-32cos2A) tan8A=-8tanA (-1+7tan2A-7tan4A+tan6A)/(1-28tan2A+70tan4A-28tan6A+tan8A) 九倍角公式: sin9A=sinA(-3+4sin2A)(64sin6A-96sin4A+36sin2A-3); cos9A=(cosA(-3+4cos2A)(64cos6A-96cos4A+36cos2A-3); tan9A=tanA (9-84tan2A+126tan4A-36tan6A+tan8A)/(1-36tan2A+126tan4A-84tan6A+9tan8A) 十倍角公式: sin10A=2(cosAsinA(4sin2A+2sinA-1)(4sin2A-2sinA-1)(-20sin2A+5+16sin4A) cos10A=(-1+2cos2A)(256cos8A-512cos6A+304cos4A-48cos2A+1) tan10A=-2tanA (5-60tan2A+126tan4A-60tan6A+5tan8A)/(-1+45tan2A-210tan4A+210tan6A-45ta n8A+tan10A) N 倍角公式: 根据棣美弗定理,(cosθ + i sinθ ) n = cos(nθ )+ i sin(nθ )为方便描
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述 , 令 sinθ =s , cosθ =c 考 虑 n 为 正 整 数 的 情 形 : 2 (n-4) cos(nθ )+isin(nθ )=(c+is)n=C(n,0)cn+C(n,2)c(n-2)(is) +C(n,4)c (is)4+... +C(n,1)c(n-1)(is)1+(n,3)c(n-3)(is)3+C(n,5)c(n-5)(is)5+...=>比较两边 的 实 部 与 虚 部 , 实 部 : n (n-2) 2 (n-4) 4 cos(nθ )=C(n,0)c +C(n,2)c (is) +C(n,4)c (is) +...i*( 虚 部 ) : i*sin(nθ )=C(n,1)c(n-1)(is)1+ C(n,3)c(n-3)(is)3+C(n,5) c(n-5)(is)5+... 对所有 的自然数 n, 1. cos(nθ ): 公式中出现的 s 都是偶次方,而 s2=1-c2(平方关系),因此全部 都可以改成以 c(也就是 cosθ )表示。 2. sin(nθ ): (1)当 n 是奇数时: 公式中出现的 c 都是偶次方, 而 c2=1-s2(平 方关系),因此全部都可以改成以 s(也就是 sinθ )表示。 (2)当 n 是偶数时:公 式中出现的 c 都是奇次方,而 c2=1-s2(平方关系),因此即使再怎么换成 s,都至 3 2 2 5 2 少会剩 c(也就是 cosθ )的一次方无法消掉。 (例. c =c*c =c(1-s ),c =c(c ) 2 =c(1-s2) 2 幂级数展开式: sin x = x-x3/3!+x5/5!-……+(-1) (k-1) (x (2k-1))/(2k-1)!+……。 (-∞<x<∞) 2 4 2k cos x = 1-x /2!+x /4!-……+(-1)k*(x )/(2k)!+…… (-∞<x<∞) arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ……(|x|<1) arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + …… ) (|x|<1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 -……(x≤1) 无限公式: sinx=x(1-x2/π 2)(1-x^2/4π 2)(1-x2/9π 2)…… cosx=(1-4x2/π 2)(1-4x2/9π 2)(1-4x2/25π 2)…… tanx=8x[1/(π 2-4π 2)+1/(9π 2-4x2)+1/(25π 2-4π 2)+……] secx=4π [1/(π 2-4π 2)-1/(9π 2-4π 2)+1/(25π 2-4π 2)-+……] (sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8…… (1/4)tanπ /4+(1/8)tanπ /8+(1/16)tanπ /16+……=1/π arctan x = x - x3/3 + x5/5 -……(x≤1) 双曲函数: sha = (ea-e –a)/2 cha = (ea+e-a)/2 tha = sin h(a)/cos h(a) 和自变量数列求和有关的公式 sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2) cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x/2sin(nx/2)]/sin(x/2) an((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+……+ cosnx) sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sin2nx)/sinx cosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx) 内容规律: 三角函数看似很多, 很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会 发现三角函数各个公式之间有强大的联系。 而掌握三角函数的内部规律及本质也 是学好三角函数的关键所在。 1.三角函数本质:
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[1] 根据右图,有 sinθ =y/ r; cosθ =x/r; tanθ =y/x; cotθ =x/y。 深刻理解了这一点, 下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如 以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 推导: 首先画单位圆交 X 轴于 C,D,在单位圆上有任意 A,B 点。角 AOD 为 α ,BOD 为 β ,旋转 AOB 使 OB 与 OD 重合,形成新 A'OD。 A(cosα ,sinα ),B(cosβ ,sinβ ),A'(cos(α -β ),sin(α -β )) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α -β )-1] 2+[sin(α -β )] 2=(cosα -cosβ ) 2+(sinα -sinβ ) 2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2 与(a-b)/2) 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。 单位圆定义 在实际计算上没有大的价值; 实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位 圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π /2 弧度之间的角。 它也提供了一个图象, 把所有重要的三角函数都包含了。 根据勾股定理,单位圆的等式是: 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角,而顺 时针的度量是负角。设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ ,并与 单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ 。图象中的 三角形确保了这个公式; 半径等于斜边且长度为 1,所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1 的一种查看无限个三角形的方式。

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