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3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件1(苏教版必修5)


1,求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 ,求由三直线 及 所围成的平面区域所表示的不等式。 所围成的平面区域所表示的不等式。

解:此平面区域在 的右下方, x-y≥0 此平面区域在x-y=0的右下方 的右下方, 此平面区域在
Y

x-y=0

它又在x+2y-4=0的左下方, x+2y-4≤0 的左下方, 它又在 的左下方 它还在y+2=0的上方, y+2≥0 的上方, 它还在 的上方

x+2y-4=0 o

2
4

则用不等式可表示为: 则用不等式可表示为
x

-2 y+2=0

?x ? y ≥ 0 ? ?x + 2 y ? 4 ≤ 0 ?y + 2 ≥ 0 ?

应该注意的几个问题: 应该注意的几个问题:
1、若不等式中不含 ,则边界应画成虚线, 、若不等式中不含0,则边界应画成虚线 画成虚线, 不含 否则应画成实线 画成实线。 否则应画成实线。 2、画图时应非常准确,否则将得不到正确结果。 、画图时应非常准确,否则将得不到正确结果。 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

y
第二节

o

x

一.复习回顾 复习回顾 1.在同一坐标系上作出下列直线 在同一坐标系上作出下列直线: 在同一坐标系上作出下列直线 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
结论 : 形如 2 x + y = t ( t ≠ 0) 的直线与2 x + y = 0平行 .

o

x

2.作出下列不等式组的所表示的平面区域 作出下列不等式组的所表示的平面区域

? x ? 4 y ≤ ?3 ? ?3 x + 5 y ≤ 25 ?x ≥ 1 ?

y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)

C
5

? x ? 4 y ≤ ?3 ? ?3 x + 5 y ≤ 25 ?x ≥ 1 ?
x-4y+3=0

A B
O
1 5 x=1 3x+5y-25=0

x
问题1 有无最大( 问题1:x 有无最大(小)值? 问题2 有无最大( 问题2:y 有无最大(小)值? 问题3 有无最大( 问题3:2x+y 有无最大(小)值?

二.提出问题 提出问题 把上面两个问题综合起来: 把上面两个问题综合起来

? x ? 4 y ≤ ?3 ? z=2x+y,求满足 设z=2x+y,求满足 ?3 x + 5 y ≤ 25 ?x ≥ 1 ?
的最大值和最小值. 时,求z的最大值和最小值 求 的最大值和最小值

y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)

? x ? 4 y ≤ ?3 ? 1.先作出?3 x + 5 y ≤ 25 ?x ≥ 1 ? 所表示的区域 .
2.作直线 l 0 : 2 x + y = 0
x-4y+3=0

C
5

3.作一组与直线 l 0 平行的 直线l : 2 x + y = t , t ∈ R

A B
O
1 5 x=1

2x + y = 0

直线L 直线L越往右平 ,t随之增大 随之增大. 移,t随之增大. x 以经过点A(5,2)的 以经过点A(5,2) A(5,2)的 3x+5y-25=0 直线所对应的t 直线所对应的t值 最大;经过点B(1,1) 最大;经过点B(1,1) 的直线所对应的t 的直线所对应的t 值最小. 值最小. Z max = 2 × 5 + 2 = 12, Z min = 2 × 1 + 1 = 3

线性目 标函数

线性约 束条件

? x ? 4 y ≤ ?3 ? z=2x+y,求满足 设z=2x+y,求满足 ?3 x + 5 y ≤ 25 ?x ≥ 1 最优解 ?
的最大值和最小值. 时,求z的最大值和最小值 求 的最大值和最小值 线性规 划问题
所有的

任何一个满足 不等式组的 x,y) (x,y) 可行解

可行域

有关概念
的不等式(或方程 组成的不等式组称为x 或方程)组成的不等式组称为 由x,y 的不等式 或方程 组成的不等式组称为 , y 的约束条件。关于 ,y 的一次不等式或方程组 约束条件。关于x 成的不等式组称为x 线性约束条件。 成的不等式组称为 ,y 的线性约束条件。欲达到 最大值或最小值所涉及的变量x, 最大值或最小值所涉及的变量 ,y 的解析式称为 目标函数。关于x, 的一次目标函数称为线性目 目标函数。关于 ,y 的一次目标函数称为线性目 标函数。 标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值问题称为线性规划问题 线性规划问题。 大值或最小值问题称为线性规划问题。满足线性 可行解。 约束条件的解( , )称为可行解 约束条件的解(x,y)称为可行解。所有可行解 组成的集合称为可行域 可行域。 组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大值 最优解。 或最小值的可行解称为最优解 或最小值的可行解称为最优解。

三、课堂练习 (1)已知 已知

?x - y ≤ 0 ? ?x + y - 1 ≤ 0 ?y + 1 ≥ 0 ?

求z=2x+y的最大值和最小值。 的最大值和最小值。 的最大值和最小值

y

y-x=0

5

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

z max = 3

zmin = ?3

x+y-1=0

练习2、 练习 、已知 ?y ≤ x + 1 ? ?x - 5y ≤ 3 ?5x + 3y ≤ 15 ? 的最大值和最小值。 求z=3x+5y的最大值和最小值。 的最大值和最小值

5x+3y=15 y y=x+1
5

B(3/2,5/2)
1

X-5y=3

O
-1

1 5

x

A(-2,-1)

Z max = 17 ; Z min = ? 11

解线性规划问题的步骤: 解线性规划问题的步骤:
画出线性约束条件所表示的可行域; (1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中, 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线; 点且纵截距最大或最小的直线; 通过解方程组求出最优解; (3)求:通过解方程组求出最优解; 作出答案。 (4)答:作出答案。

一、引例: 引例: 某工厂生产甲、乙两种产品,生产 某工厂生产甲、乙两种产品,生产1t 甲种产品需要A种原料 种原料4t、 种原料 种原料12t, 甲种产品需要 种原料 、 B种原料 , 产生的利润为2万元 生产1t乙种产品需要 万元; 产生的利润为 万元;生产 乙种产品需要 A种原料 、 B种原料 ,产生的利润为 种原料1t、 种原料 种原料9t,产生的利润为1 种原料 万元。现有库存A种原料 种原料10t、 种原料 种原料60t, 万元。现有库存 种原料 、 B种原料 , 如何安排生产才能使利润最大? 如何安排生产才能使利润最大?

几个结论: 几个结论:
1、线性目标函数的最大(小)值一般 、线性目标函数的最大( 在可行域的顶点处取得, 在可行域的顶点处取得,也可能在边界 处取得。 处取得。 2、求线性目标函数的最优解,要注意 、求线性目标函数的最优解, 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。 轴上的截距或其相反数。 在 轴上的截距或其相反数

在关数据列表如下: 在关数据列表如下: A种原料 B种原料 甲种产品 乙种产品 现有库存 4 1 10 12 9 60 利润 2 1

设生产甲、 设生产甲、乙两种产品的吨数

? 4 x + y ≤ 10 ? 12 x + 9 y ≤ 60 ? ? ?x ≥ 0 ?y ≥ 0 ?
利润

分别为x、 分别为 、y

P = 2x + y

何时达到最大? 何时达到最大?


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