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2013-2014学年高中数学 2.3.1 双曲线及其标准方程知能演练 理(含解析)新人教A版选修2-1


2013-2014 学年高中数学 2.3.1 双曲线及其标准方程知能演练 理 (含解析)新人教 A 版选修 2-1

x2 y2 x2 y2 1.椭圆 + 2=1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 a 的值是( 4 a a 2
A. 1 2 B.1 或-2

)

1 C.1 或 D.1 2 2 2 解析:选 D.由于 a>0,0<a <4,且 4-a =a+2,所以可解得 a=1,故选 D. 2.若方程 + =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( ) 10-k 5-k A.(5,10) B.(-∞,5) C.(10,+∞) D.(-∞,5)∪(10,+∞) 解析:选 A.由题意得(10-k)(5-k)<0,解得 5<k<10. 3.已知 A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当 a=3 或 5 时,P 点的轨迹为( A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条直线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 解析:选 D.当 a=3 时,2a=6,此时|AB|=10, ∴P 的轨迹为双曲线的一支. 当 a=5 时,2a=10,此时|AB|=10, ∴P 的轨迹为射线.

x2

y2

)

(

4.以椭圆 + =1 的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是 3 4 ) A. -y =1 3 C. - =1 3 4

x2 y2

x2

2

B.y - =1 3 D. - =1 3 4

2

x2

x2 y2

y2 x2

解析:选 B.椭圆 + =1 的焦点为 F1(0,1),F2(0,-1),长轴的端点 A1(0,2),A2(0, 3 4 -2),所以对于所求双曲线 a=1,c=2,b =3,焦点在 y 轴上,双曲线的方程为 y - = 3 1. 5.双曲线 ( - =1 上一点 P 到点(5,0)的距离为 15,那么该点到(-5,0)的距离为 16 9
2 2

x

2

y

2

x2

x2

y2

) A.7 B.23 C.5 或 25 D.7 或 23 2 2 2 解析:选 D.由题知 a =16,b =9,∴c =25. 又焦点在 x 轴上,
1

∴焦点为 F1(-5,0),F2(5,0),||PF1|-|PF2||=2a=8, ||PF1|-15|=8,∴|PF1|-15=8 或|PF1|-15=-8, ∴|PF1|=23 或|PF1|=7.故选 D. 6.(2011·高考上海卷)设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线 - =1 的一个焦点,则 m m 9 =__________. 2 解析:由已知条件知 m+9=5 ,所以 m=16. 答案:16 7.已知双曲线的焦点分别为(0,-2)、(0,2),且经过点 P(-3,2),则双曲线的标准 方程是________. 解析:由题知 c=2,又点 P 到(0,-2)和(0,2)的距离之差的绝对值为 2a, 2 2 2 2 2 2a =| ? -3-0? +[2-? -2? ] - ? -3-0? +? 2-2? |=2,∴ a =1,∴ b 2 2 =c -a =3,又焦点在 y 轴上, ∴双曲线的方程为 y - =1. 3 答案:y - =1 3 8. 已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标为 5, 则点 M 到左焦点的距离是__________. 9 16 解析:由于双曲线 - =1 的右焦点为 F(5,0),将 xM=5,代入双曲线方程可得|yM| 9 16 16 16 34 = ,即为点 M 到右焦点的距离,由双曲线的定义知 M 到左焦点的距离为 +2×3= . 3 3 3 34 答案: 3 9.根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)c= 6,经过点(-5,2),且焦点在 x 轴上; (2)已知双曲线两个焦点的坐标为 F1(0,-5),F2(0,5),双曲线上一点 P 到 F1,F2 的距 离之差的绝对值等于 6. 解:(1)∵c= 6,且焦点在 x 轴上, 故可设标准方程为 2-
2 2

y2 x2

x2

x2

x2

y2

x2

y2

x2 y2 2 =1(a <6). a 6-a2

∵双曲线经过点(-5,2), 25 4 2 2 ∴ 2- =1,解得 a =5 或 a =30(舍去). a 6-a2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 5 4 (2)∵双曲线的焦点在 y 轴上,

x2 y2

∴所求双曲线标准方程为 - =1. 9 16 2 2 10.已知圆 C 方程为(x-3) +y =4,定点 A(-3,0),求过定点 A 且和圆 C 外切的动圆 圆心 P 的轨迹方程. 解:∵圆 P 与圆 C 外切,∴|PC|=|PA|+2, 即|PC|-|PA|=2, ∵0<|PC|-|PA|<|AC|=6, ∴由双曲线定义,点 P 的轨迹是以 A,C 为焦点的双曲线的左支,

y2 x2 a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16. y2 x2
∴设它的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0).

2

其中 a=1,c=3, 2 2 2 ∴b =c -a =9-1=8, 故所求轨迹方程为 x - =1(x<0). 8
2

y2

1.已知双曲线 - =1 的焦点为 F1,F2,点 M 在双曲线上,且 MF1⊥x 轴,则 F1 到直线 6 3 F2M 的距离为( ) 3 6 5 6 A. B. 5 6 6 5 C. D. 5 6 解析:选 C.

x2 y2

不妨设点 F1(-3,0), 容易计算得出 3 6 |MF1|= = , 6 2 |MF2|-|MF1|=2 6. 5 解得|MF2|= 6. 2 而|F1F2|=6,在直角三角形 MF1F2 中, 1 1 由 |MF1|·|F1F2|= |MF2|·d, 2 2 6 求得 F1 到直线 F2M 的距离 d 为 . 5 2.已知双曲线 C: - =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为 C 右支上的一点,且|PF2| 9 16 =|F1F2|,则△PF1F2 的面积等于__________. 解析:依题意得|PF2|=|F1F2|=10,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=6,|PF1|=16, 1 ?16?2 2 因此△PF1F2 的面积等于 ×16× 10 -? ? =48. 2 ?2? 答案:48 3.焦点在 x 轴上的双曲线过点 P(4 2,-3),且点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直, 求此双曲线的标准方程. 解: 因为双曲线焦点在 x 轴上, 所以设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0, >0), 1(- b F

x2

y2

x 2 y2 a b

c,0),F2(c,0).
因为双曲线过点 P(4 2,-3),

3

32 9 所以 2 - 2=1.①

a

b

又因为点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直, → → 2 所以QF1·QF2=0,即-c +25=0. 2 解得 c =25.② 2 2 2 又 c =a +b ,③ 2 2 2 所以由①②③可解得 a =16 或 a =50(舍去).所以 b =9,所以所求的双曲线的标准方 程是 - =1. 16 9 4.已知双曲线 - =1 的两焦点为 F1、F2. 16 4 → → (1)若点 M 在双曲线上,且MF1·MF2=0,求 M 点到 x 轴的距离; (2)若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点,且过点(3 2,2),求双曲线 C 的方程. 解:

x2

y2

x2

y2

(1)如图所示,不妨设 M 在双曲线的右支上,M 点到 x 轴的距离为 h, → → MF1·MF2=0, 则 MF1⊥MF2, 设|MF1|=m,|MF2|=n, 由双曲线定义知,m-n=2a=8,① 2 2 2 又 m +n =(2c) =80,② 由①②得 m·n=8, 1 1 ∴ mn=4= |F1F2|·h, 2 2 2 5 ∴h= . 5 (2)设所求双曲线 C 的方程为 - =1(-4<λ <16), 16-λ 4+λ 由于双曲线 C 过点(3 2,2), 18 4 所以 - =1, 16-λ 4+λ 解得 λ =4 或 λ =-14(舍去). ∴所求双曲线 C 的方程为 - =1. 12 8

x2

y2

x2

y2

4


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