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高中数学必修5(人教B版)第三章不等式3.1知识点总结含同步练习题及答案

高中数学必修5(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式

一、学习任务 1. 了解现实世界和日常生活中的一些不等关系,掌握比较两实数大小的基本方法——作差法. 2. 理解掌握不等式的性质,能根据所学的不等式的基本性质证明一些不等式关系. 二、知识清单
不等式的性质

三、知识讲解
1.不等式的性质 描述: 不等式的定义 用不等号表示不等关系的式子叫做不等式. 实数的基本性质 如果 a ? b 是正数,那么 a > b; 如果 a ? b 等于零,那么 a = b; 如果 a ? b 是负数,那么 a < b. 不等式的基本性质 对称性:如果 a > b,那么 b < a;如果 b < a,那么 a > b .即 a > b ? b < a . 传递性:如果 a > b,b > c ,那么 a > c .即 a > b,b > c ? a > c. 可加性:如果 a > b,那么 a + c > b + c . 推论1 a + b > c ? a > c ? b .

a>b } ? a + c > b + d. c>d a>b a>b 可乘性: } ? ac > bc; } ? ac < bc. c>0 c<0 a>b>0 推论1 } ? ac > bd . c>d>0     推论2 a > b > 0 ? an > b n (n ∈ N + , n > 1) . 1 1 a>b     推论3 }? < . a b ab > 0 n n 可开方:a > b > 0 ? √ a>√ b (n ? 2, n ∈ N).
推论2

例题: 若 x < y < 0 ,试比较 (x 2 + y 2 )(x ? y) 与 (x2 ? y 2 )(x + y) 的大小. 解:

(x2 + y 2 )(x ? y) ? (x2 ? y 2 )(x + y) = (x ? y)[(x2 + y 2 ) ? (x + y)2 ] = ? 2xy(x ? y).
因为 x < y < 0 ,所以 xy > 0,x ? y < 0 .所以

?2xy(x ? y) > 0.
因此

(x2 + y 2 )(x ? y) > (x2 ? y 2 )(x + y).
判断下列各命题的真假,并说明理由. (1)若 a < b,c < 0 ,则

c c < ; a b (2)若 ac ?3 > bc ?3 ,则 a > b; (3)若 a > b,b > c ,则 a ? b > b ? c; (4)若 a > b,且 k ∈ N + ,则 ak > b k .
解:(1) 假命题.因为 a < b,没有指出 a 与 b 同号,故

(2) 假命题.当 c < 0 时,c ?3 < 0,有 a < b. (3) 假命题.当 a = 2,b = 0 ,c = ?4 时,满足 a > b,b > c ,但 a ? b < b ? c. (4) 假命题.当 a = 1,b = ?2,k = 2 时,显然命题不成立. 已知 2 < a < 3,1 < b < 4 ,求(1)a ? b,(2) 解:(1) 因为 1 < b < 4 ,所以

c c < . a b

1 1 不一定成立,因此推不出 > a b

a 的取值范围. b

?4 < ?b < ?1,
又因为 2 < a < 3,所以

?2 < a ? b < 2. 1 1 < < 1 ,所以 4 b 2×


(2) 因为

1 a < < 3 × 1, 4 b 1 a < < 3. 2 b

e e . > a?c b?d 证明:因为 c < d < 0,所以 ?c > ?d > 0.又因为 a > b > 0,所以
已知 a > b > 0,c < d < 0,e < 0,求证:

a ? c > b ? d > 0,

所以

0<
又 e < 0,所以

1 1 < . a?c b?d

e e > . a?c b?d

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 设 a, b, c ∈ R ,且 a > b ,则 ( A.ac > bc
答案: D

B.

1 1 < a b

)
C.a2 > b 2 D.a3 > b 3

2. 若 x + y > 0 , a < 0 , ay > 0 ,则 x ? y 的值为 ( A.大于 0
答案: A 解析: 因为

)
D.符号不能确定

B.等于 0

C.小于 0

a < 0 , ay > 0 , 所以 y < 0 , 又 x + y > 0, 所以 x > ?y > 0 , 所以 x ? y > 0 . )
C.

3. 若 a > b > 0 ,c < d < 0 ,则一定有 ( A.

a b > c d

B.

a b < c d

a b > d c

D.

a b < d c

答案: D

4. 设 m ≠ n , x = m 4 ? m 3 n , y = n3 m ? n4 ,则 x 与 y 的大小关系为 ( A.x > y
答案: A

)

B.x = y

C.x < y

D.x ≠ y

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