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福建省福州八中2011-2012学年高二下学期期中考试数学理试题(1)

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福州八中 2011—2012 学年第二学期期中考试 高二数学

考试时间:120 分钟

试卷满分:150 分

第 I 卷(共 18 题,100 分) 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卷上) 1.下列说法正确的是 A.若 f ?( xn ) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极值 B.若 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极值,则 f ( x) 在 x 0 处有导数 C.函数 f ( x) 至多有一个极大值和一个极小值 D.定义在 R 上的可导函数 f ( x) ,若方程 f ?( x) ? 0 无实数解,则 f ( x) 无极值 2.复数 z ? a ? bi(a,b ? R) ,则 z 2 ? R 的充要条件是 A. a 2 ? b2 ? 0 B. a ? 0 且 b ? 0 3.下列计算错误的是 A. ?? π sin xdx ? 0 C. ? 2π cos xdx ? 2? 2 cos xdx
? 2 0 π π
π

C. ab ? 0 B. ?
1

D. a ? 0
2 3

0
π

xdx ?

D. ?? π sin 2 xdx ? 0

4.已知两条曲线 y ? x2 ? 1 与 y ? 1 ? x3 在点 x 0 处的切线平行,则 x 0 的值为 2 2 A.0 B. ? C.0或 ? D.0 或 1 3 3 5.某个命题与正整数有关,若当 n ? k (k ? N * ) 时该命题成立,那么可推得当

n ? k ? 1 时该命题也成立,现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得
A.当 n ? 6 时,该命题不成立 C.当 n ? 4 时,该命题成立 6.函数 y=x cosx 的导数为 A. y′ =2xcosx-x2sinx C. y′ cosx-2xsinx =x
2 2

B.当 n ? 6 时,该命题成立 D.当 n ? 4 时,该命题不成立 B. y′ =2xcosx+x2sinx D. y′ =xcosx-x sinx
2

7.求曲线 x ? y ? 0 , y ? x2 ? 2 x 所围成图形的面积 A.1 B.

9 2

C.9

D.

5 2

8.神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成,每两人为一组,若指定翟志刚、聂 海胜两人一定同在一个小组,则这六人的不同分组方法有 A.3 种 B.6 种 C.36 种 D.48 种 9.某学习小组男女生共 8 人,现从男生中选 2 人,女生中选 1 人,分别去做 3 种
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不同的工作,共有 90 种不同的选法,则男女生人数为 A.2,6 B.3,5 C.5,3 D.6,2 10.四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐 1,2,3,4 号位子上(如 图) ,第一次前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,…,这样交替进行下 去,那么第 2009 次互换座位后,小兔的座位对应的是

A.编号 1

B. 编号 2
4

C. 编号 3

D. 编号 4

二、填空题(本题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分) 11.设 f ( x) ? e x ,则 ??2 f ( x)dx ? .

12.某单位有 7 个连在一起的停车位,现有 3 辆不同型号的车需要停放,如果要求 剩余的 4 个空车位连在一起,则不同的停放方法有 x y 5 13.设 x,y ? R 且 ,则 x ? y ? ? ? 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i 种。 .

14.当 n ? 1 时,有 (a ? b)(a ? b) ? a 2 ? b 2 ;当 n ? 2 时,有

(a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a 3 ? b3 ;当 n ? 3 时,有 (a ? b)(a 3 ? a 2b ? ab2 ? b3 ) ? a 4 ? b 4 ;
当 n ? 4 时,有 (a ? b)(a 4 ? a 3b ? a 2b 2 ? ab3 ? b 4 ) ? a 5 ? b 5 ; 当 n ? N ? 时,你能得到的结论是: .

三、解答题(共 4 题,共 34 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本小题 8 分) 一个口袋内有 4 个不同的红球,6 个不同的白球 (1)从中任取 4 个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种? (2)若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,从中任取 4 个球,使总分不少于 7 分的取法有多少种? 16.(本小题 9 分) 1 1 求函数 y ? x3 ? (a ? a2 ) x2 ? a3 x ? a2 的单调递减区间. 3 2 17. (本小题 8 分) 如图, P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一点,PM ? BB1 交 AA1 于点 M , 点
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PN ? BB1 交 CC1 于点 N .

(1) 求证: CC1 ? MN ; (2) 在任意 ?DEF 中有余弦定理: DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos ?DFE . 拓展 到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的 二面角之间的关系式(只写结论,不必证明) 18. (本小题 9 分) 如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,SD ? 平面 ABCD,SD=2a, AD ? 2a , 点 E 是 SD 上的点,且 DE ? ? a(0 ? ? ? 2)

(Ⅰ)求证:对任意的 ? ? (0, 2] ,都有 AC ? BE (Ⅱ)设二面角 C—AE—D 的大小为 ? ,直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 ? ,若

tan? tan? ? 1 ,求 ? 的值

第Ⅱ卷(共 5 题,50 分) 四、填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 19. 已知 x ? R , 奇函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 [1, ??) 上单调, 则字母 a, b, c 应 满足的条件是
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20.在 R 上定义运算△:x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数 x 恒 成立,则实数 a 的取值范围是 。

五、解答题(共 3 题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 21. (本小题满分 12 分,本题分 A,B 两小题,只选作一题,两题都做选得分低的题得 分) A. 已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素,A∩B 含 4 个元素,试求同时满足下面 ? 两个条件的集合 C 的个数: (1)C ≠? B ,且 C 中含有 3 个元素; A (2) C ? A ? ? ( ? 表示空集) 。 B. 某人手中有 5 张扑克牌,其中 2 张为不同花色的 2,3 张为不同花色的 A,最多 有 5 次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方 法? 22. (本小题满分 14 分) 1 在数列 ?an ? 中,a1 ? , 且前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2 n ? 1 倍 n ? N? ) (即 ( . 3 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (2n ? 1)an ) n (1)写出此数列的前 5 项; (2)归纳猜想 ?an ? 的通项公式,并加以证明.

23. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( 2 ? 3 x) ?

3 2 x . 2

(1)求 f (x) 在[0,1]上的极值; (2)若对任意 x ? [ , ] ,不等式 a ? ln x ? ln[ f ' ( x) ? 3x] ? 0 成立,求实数 a 的取值 范围; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? ?2 x ? b 在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数 b 的取 值范围.

1 1 6 3

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福州八中 2011—2012 学年第二学期期中考试
高二数学 选修 2 试卷参考答案及评分标准
第Ⅰ卷(共 18 题,100 分) 一、选择题 题号 答案 11.
e ?e
2 4

1 D

2 C 12. 24

3 D

4 C

5 D

6 A

7 B

8 A

9 B

10 B 二、填空题

13. ?6

14. (a ? b)(a n ? a n?1b ? a n?2b 2 ? ? ? ? ? a 2b n?2 ? abn?1 ? b n ) ? a n?1 ? b n?1

三、解答题 15. .解: (1)将取出 4 个球分成三类情况:
4 3 1 1)取 4 个红球,没有白球,有 C 4 种; 2)取 3 个红球 1 个白球,有 C 4 C 6 种;

4 3 1 2 2 2 2 3)取 2 个红球 2 个白球,有 C4 C6 种,?C4 ? C4 C6 ? C4 C6 ? 115种.

-----4 分

(2)设取 x 个红球, y 个白球,则 ?

? x ? y ? 4(0 ? x ? 4) , 2 x ? y ? 7(0 ? y ? 6) ?

?x ? 3 ?x ? 4 或? . 解得 ? y ?1 ?y ? 0 ? 3 1 4 0 符合题意的取法种数为 C4 C6 ? C4 C6 ? 25种. ?
答:略。

---------------7 分

---------------8 分

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(1)证法 2:以 D 为原点, DA, DC, DS 的方向分别作为 x,y,z 轴的正方向建立如 图 2 所示的空间直角坐标系,则 0) ,C(0, 2a ,0) ,E(0,0 ? a ) , D(0,0,0) ,A( 2 ,0,0) ,B( 2a , 2a , ---------2 分

??? ???? ??? ? ?

? ? ?? ? ? ?? ? A C? ( ? 2 a, 2a , 0 )B E ? ( , ? ??? ??? ? ? 2 2 ? AC ? BE ? 2a ? 2a ? 0 ? ?a ? 0 ,
??? ?
解法 2:

a? , ? a2 , 2 a
??? ?

)
---------3 分

即 AC ? BE 。

(I)

由(I)得 EA ? ( 2a,0, ??a), EC ? (0, 2a, ??a), BE ? ( ? 2 a, ? 2 a, ?a) .

??? ?

??? ? ?n ? EA ? 0, ? 2x ? ? z ? 0, ? ? 即? 取z ? 2,得n( ?, ? , 2) 。--------------------5 分 ? ? ??? ?n ? EC ? 0, ? 2y ? ? z ? 0, ? ? ??? ? ??? ? 易知平面 ABCD 与平面 ADE 的一个法向量分别为 DS ? (0,0, 2a)与DC ? . (0,2a,0) ???? ??? ??? ? ? DC ? n ? DS ? BE ? -------------7 分 ?sin ? ? ??? ??? ? ,cos ? ? ???? ? ? ? 2 DS ? BE DC ? n ? ?4 2? 2 ? 2

设平面 ACE 的法向量为 n=(x,y,z),则由 n ? EA ,n ? EC 得

??? ?

??? ?

? 0< ? , ? ?

?
2

,? ? 0,

? tantantantan ? ? ?? ? ? ?? sin ? ?? ? cos ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin cos ? ? ? ?2 =1 2 2 2 2 2 2 ? ? 4 ? 4 2? 2? 2 ? 2 ? ?
由于 ? ? (0, 2] ,解得 ? ? 2 ,即为所求。--------------------9 分 第Ⅱ卷(共五题,50 分) 19. a ? c ? 0, b ? 3 ;
2 解析:? f (0) ? 0 ? c ? 0 ; f ( x) ? f (? x) ? 0 ? a ? 0 .? f '( x) ? 3x ? b , 2 若 f ( x ) x ? [1, ??) 上是增函数,则 f '( x) ? 0 恒成立,即 b ? (3x )min ? 3

? ?

? ?

? ?

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综上可得: a ? c ? 0, b ? 3 ; 20. (?

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若 f ( x ) x ? [1, ??) 上是减函数,则 f '( x) ? 0 恒成立,这样的 b 不存在.

1 3 , ) 2 2

1 a ? a ? a3 ? ? ? an 3, 5 22.解: (1)由已知 a1 ? , 1 2 ? (2n ? 1)an ,分别取 n ? 2, 4,, 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 得 a2 ? a1 ? , a4 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? ? , a3 ? (a1 ? a2 ) ? ? ? , 5 3 ? 5 15 14 5 ? 7 35 27 7 ? 9 63 1 1 1 1 a5 ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? ? ,所以数列的前 5 项是: a1 ? , 44 9 ?11 99 3 1 1 1 1 a2 ? ,a3 ? ,a4 ? ,a5 ? .__4 分 15 35 63 99 1 (2)由(1)中的分析可以猜想 an ? .______6 分 (2n ? 1)(2n ? 1) 下面用数学归纳法证明:
①当 n ? 1 时,公式显然成立.②假设当 n ? k 时成立,即 ak ? 得
1 ,那么由已知, (2k ? 1)(2k ? 1)

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? (2k ? 1)ak ?1 , k ?1 即 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? (2k 2 ? 3k )ak ?1 ,所以 (2k 2 ? k )ak ? (2k 2 ? 3k )ak ?1 , 1 ? (2k ? 3)ak ?1 , 即 (2k ? 1)ak ? (2k ? 3)ak ?1 ,又由归纳假设,得 (2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 1) 1 所以 ak ?1 ? ,即当 n ? k ? 1 时,公式也成立. (2k ? 1)(2k ? 3) 1 由①和②知,对一切 n ? N? ,都有 an ? 成立. ----------14 分 (2n ? 1)(2n ? 1)

3 ? 3( x ? 1)( 3 x ? 1) ? 3x ? , 2 ? 3x 3x ? 2 1 1 令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? ?1 (舍去) ? 当 0 ? x ? 时, f ' ( x) ? 0 ,单调递增; . 3 3 1 1 1 当 ? x ? 1 时,单调递减.? f ( ) ? ln 3 ? 为函数在[0,1]上的极大值. --4 分 3 3 6
23.解: (1) f ' ( x) ?
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3 2 x ? 2x ? b ? 0 . 2 3 2 3 7 ? 9x 2 ? 3x ? 2 ? 令 ? ( x) ? ln( 2 ? 3x) ? x ? 2 x ? b ,则 ? ' ( x) ? , 2 2 ? 3x 2 ? 3x 7 7 当 x ? [0, ] 时, ? ' ( x) ? 0 ,于是 ? (x) 在 [0, ] 上递增; 3 3 7 7 当 x ?[ ,1] 时, ? ' ( x) ? 0 ,于是 ? (x) 在 [ ,1] 上递减. 3 3
(3)由 f ( x) ? ?2 x ? b ? ln( 2 ? 3 x) ? 而 ? ( 7 ) ? ? (0) , ? ( 7 ) ? ? (1) ,
3
3

---------------11 分

? f ( x) ? ?2 x ? b 即 ? ( x) ? 0 在[0,1]恰有两个不同实根等价于
? ,----------13 ?? (0) ? ln 2 ? b ? 0 ? 7 7 2 7 ? ?b ? 0 ?? ( ) ? ln(2 ? 7 ) ? ? 6 3 ? 3 1 ? ?? (1) ? ln 5 ? 2 ? b ? 0 ?

分?

ln 5 ?

1 7 2 7. ? b ? ln(2 ? 7 ) ? ? 2 6 3

--14 分

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